гидромеханика нефти
.pdfСПБГУАП| Институт 4 группа 4736
ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ |
165 |
Рис. 8.13
При z = ± R производная |
|
|
|
|
|
|
|
|
dW |
|
|
|
R2 |
||
|
|
= |
|
− |
|
|
|
|
dz |
k 1 |
z |
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
обращается в нуль, то есть в точках А и В конформность отображения на- рушается. Бесконечно удаленная точка плоскости z переходит в беско- нечно удаленную точку плоскости W. Направление скорости в бесконеч-
|
dW |
= |
k , а k > |
0 – действительное число. |
||||||
ности сохраняется, так как |
|
|
||||||||
|
||||||||||
|
|
dz ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Преобразование вида (8.25) называется преобразованием Жуковского*. |
||||||||||
Возьмем в плоскости z окружность с центом в начале координат и ра- |
||||||||||
диусом r > R. Тогда z = |
reiθ и в соответствии с формулой (8.25) |
|
||||||||
|
R2 |
|
|
ψ = |
|
−r |
R2 |
|
(8.26) |
|
ϕ = k r+ |
|
cosθ , |
|
k |
|
sinθ , |
||||
|
r |
|
|
|
|
|
r |
|
|
то есть преобразование Жуковского отображает внешность окружности
в плоскости z на внешность эллипса в плоскости W, причем точки |
A1 |
и B суть фокусы этого эллипса.* |
|
1 |
|
Можно показать, что окружности с центром в точке (x, 0) соответст- |
|
вует в плоскости W симметричный крылообразный профиль С – руль Жу- |
|
ковского, окружности с центром в точке ( O, y) – дуга окружности, |
ок- |
ружности с центром в точке (x, y) – несимметричный крылообразный профиль G – профиль Жуковского (рис. 8.14). Угол у задней кромки про- филей Жуковского равен 2π , что и является их отличительной особенно- стью.
* Николай Егорович Жуковский (1847–1921), один из основоположников современной аэромеханики.
* Формулы |
(8.26) |
представляют |
собой параметрические |
уравнения эллипса с полуосями |
|
a = k (r+ |
Rr2 ) , |
b= k (−r |
R2 |
) и фокусами в точках ϕ |
= ± 2kR. |
r |
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts
СПБГУАП| Институт 4 группа 4736
166 |
ГЛАВА VIII |
§5. Обтекание профиля произвольной формы
Пусть в комплексной плоскости ζ задан контур С. Требуется постро- ить его потенциальное обтекание так, чтобы в бесконечности движение было поступательным со скоростью Vζ , направленной под углом α к оси
Oξ . Угол α называется углом атаки (рис. 8.15).
Рис. 8.14 |
|
|
Рис. 8.15 |
Для решения поставленной задачи необходимо найти комплексный |
|||
потенциал W(ζ ) = ϕ ( ξ ,η) |
+ |
iψ ( ξ ,η) |
. Рассмотрим наряду с плоскостью ζ |
плоскость комплексного переменного z и возьмем в плоскости z окруж- ность радиуса R (рис. 8.16). Определим функцию ζ = F(z) , дающую отображение внешности окружности S на внешность профиля С так,
чтобы точке |
z = ∞ |
соответствовала точка ζ = ∞ и чтобы производная |
|||
ds |
= k |
была |
вещественной и положительной. При этих условиях |
||
|
|
|
|||
|
|||||
dz ∞ |
|
F(z) |
|
||
функция ζ = |
существует для всякого контура С и определяется един- |
ственным образом.
Будем считать, что функция ζ = F(z) известна. Так как контур С представляет собой линию тока, то окружность S – также линия тока. В соответствии с формулами (8.20) и (8.21) циркуляция Γ в плоскостях z и ζ имеет одно и то же значение.
Из формул (8.22) и (8.23) имеем
dW |
|
|
= |
|
|
dW |
|
|
|
dζ |
|
|
= k |
dW |
|
|
, V = kV , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
dz |
|
∞ |
|
|
dζ |
|
|
|
dz |
|
∞ |
|
dζ |
|
|
z |
ζ |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts
СПБГУАП| Институт 4 группа 4736
ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ |
167 |
||||||
а так как k , по условию, вещественно и k > |
0 , то |
|
|||||
dW |
dW |
|
|||||
arg |
|
|
= arg |
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||
|
dz ∞ |
|
dζ |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
||||
Следовательно, на бесконечности скорость Vz |
составляет с осью Ox тот |
||||||
же угол α . |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 8.16
Выберем систему координат x′Oy′ таким образом, чтобы ее начало совпадало с центром окружности S, а ось Ox′ была параллельна скоро- сти Vz . Тогда в соответствии с формулой (8.11) для циркуляционного об-
текания окружности S имеем |
|
|
|
|
|
|
W(z′) |
|
R2 |
|
+ |
Γ |
|
= − Vz z′ + |
z′ |
|
2 i ln z′. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
Функция W(z′) описывает обтекание в системе координат x′0y′. Пе- реходя от z′ к z путем поворота системы координат на угол α , получим комплексный потенциал W(z) .
Так как функция ζ = F(z) взаимно однозначная, то можно найти функ-
цию z = f(ζ ) и
W(z) = W(f( z) ) = W*( ζ ) ,
то есть, зная комплексный потенциал W(z) и функцию ζ = F(z) , можно построить комплексный потенциал обтекания контура C .
Предположим, что обтекаемый контур С имеет угловую точку К (рис. 8.15). Этой точке на окружности S соответствует точка К1 (рис. 8.16). Так как угол в точке К1 равен π , а в точке К больше π , то конформность отображения в точке К нарушается, и в этой точке ζ ′ = F′(z) = 0 .
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts
СПБГУАП| Институт 4 группа 4736
168 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ГЛАВА VIII |
Модуль скорости в любой точке профиля С в соответствии с форму- |
|||||||||||
лой (8.22) равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dW |
|
= |
|
dW |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
F′(z) |
|
, |
||
|
dζ |
|
dz |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда видно, что при dW ≠ 0 скорость в точке К обращается в беско- dz
нечность. Выше было показано, что это характерно для обтекания выступа и что это физически невозможно. Следовательно, в точке К1 должно вы-
полняться условие dW = 0 , то есть точка К1 должна быть критической. dz
Выбором величины циркуляции Γ можно добиться того, чтобы любая точка окружности S была критической, а также, чтобы в ней выполнялось
условие dW = 0 . Тогда скорость в точке К будет иметь конечное значе- dz
ние. Это требование было сформулировано в постулате Чаплыгина–Жуков- ского: циркуляция должна быть определена таким образом, чтобы в уг- ловой точке К скорость имела конечное значение.
Из формулы (8.16) видно, что при циркуляционном обтекании окруж- ности критические точки расположены так, что их стягивающая хорда параллельна Vz (рис. 8.17) и
Γ |
= 4π RVz |
|
sinα * |
|
= 4π RVk (sin(α + γ )) . |
(8.27) |
|
|
|||||
Величины k, R, γ |
представляют собой константы, определяемые вы- |
|||||
бранной окружностью и конформным отображением. Угол атаки α |
и ско- |
рость на бесконечности Vζ могут задаваться произвольным образом*,
а циркуляция Γ определяется по формуле (8.27).
§6. Силы, действующие на профиль при стационарном обтекании
Пусть в плоскости z имеется некоторый контур С (рис. 8.18), обтекае-
мый потоком |
жидкости, причем комплексный потенциал тече- |
ния W(z) = ϕ + iψ |
известен, действующее на контур С давление в соответ- |
ствии с интегралом Бернулли (7.28) равно (массовыми силами пренебрегаем)
p = p0 |
− ρ |
v2 |
, |
|
|||
где p0 – давление при v = 0 . |
2 |
|
|
|
|
|
* Для каждого профиля имеется предельное значение угла атаки, при превышении которого происходит срыв обтекания. Поэтому угол атаки можно задавать непревышающим этот предел.
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts
СПБГУАП| Институт 4 группа 4736
ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ |
169 |
Рис. 8.17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 8.18 |
||
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v2 = (vx − ivy)( vx + ivy) = |
|
|
|
|
|
||||||
dW |
|
dW |
, |
||||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
dz |
dz |
||||
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ |
|
|
|
|
|
|
||||
p = p0 − |
|
dW |
|
dW |
. |
(8.28) |
|||||
|
|
|
|||||||||
2 |
|
dz dz |
|
|
|||||||
На элемент контура dz действует элементарная сила с проекциями |
|||||||||||
dΧ = − p dy, |
|
dΥ = p dx |
|
|
(обход контура С происходит против часовой стрелки, а давление направ- лено внутрь контура). Тогда с учетом формулы (8.28) будем иметь
dX − idY = − ip (dx − |
|
|
|
|
ρ |
|
dW |
dW |
|
|
|
|
||
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
idy) = − ipdz = − i po |
2 |
|
|
|
|
|
|
dz . (8.29) |
||||||
|
|
|
|
|
|
dz dz |
Интегрируя соотношение (8.29) по замкнутому контуру С, получим |
|
|||||||||
|
iρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Χ − iΥ = |
∫ |
dW |
|
dW |
|
|
. |
(8.30) |
||
|
dz |
|||||||||
|
|
|
||||||||
2 |
dz dz |
|
C
Для преобразования формулы (8.30) заметим, что
dW dz = vxdx + vydy + i (vydx − vxdy) , dz
dW dz = vxdx + vydy − i (vydx − vxdy) . dz
Обтекаемый контур С представляет собой линию тока, а вдоль линии тока, как известно, vxdy − vydx = 0 . Поэтому вдоль контура С
dW |
|
|
= |
dW |
|
|
dz |
|
dz, |
(8.31) |
|||
|
|
|||||
dz |
dz |
|
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts
СПБГУАП| Институт 4 группа 4736
170 ГЛАВА VIII
и формулу (8.30) можно представить в виде
Χ − iΥ = |
|
ρ |
dW 2 |
|
|||
i |
|
|
|
|
dz. |
(8.32) |
|
|
|
||||||
|
|
2 |
∫ |
dz |
|
|
C
Выражение (8.32) представляет собой первую формулу Чаплыгина*. Элементарный момент силы относительно начала координат (рис. 8.18)
дается выражением
dM = x dΥ − y dΧ = Re iz (dΧ − idΥ) ,
откуда с учетом равенства (8.29) и (8.31) после интегрирования по замкну- тому контуру С получаем вторую формулу Чаплыгина
M = − ρ
2
|
∫ |
dW 2 |
|
|||
Re |
z |
|
|
dz. |
(8.33) |
|
|
||||||
|
|
dz |
|
|
C
Для вычисления интегралов в формулах (8.32) и (8.33) заметим, что
функция dW вблизи бесконечно удаленной точки представляет собой од- dz
нозначную аналитическую функцию. Поэтому она может быть разложена в ряд Лорана, а так как при z = ∞ она имеет конечное значение, то это раз- ложение имеет вид
dW |
= C0 + |
C1 |
+ |
C2 |
+ ... . |
|
|
|
|
2 |
|||
dz |
z |
z |
|
|||
|
|
Полагая в формуле (8.34) z = ∞ , получим
dW |
= C0 . |
||
|
|
|
|
|
|||
|
dz |
z= ∞ |
|
|
|
|
С другой стороны, в соответствии с формулой (8.9)
dW |
= Vze− iθ , |
||
|
|
|
|
|
|||
|
dz |
z= ∞ |
|
|
|
|
где Vz – модуль скорости потока в бесконечности, следовательно,
C0 = Vze− iθ .
(8.34)
(8.35)
Так как в соответствии с теоремой о вычетах интегралы по замкнуто- му контуру равны
∫ dzz = 2π i, ∫ dzzn = 0, n > 1,
CC
*Сергей Алексеевич Чаплыгин (1869–1942), один из основоположников аэромеханики. Действительный член АН СССР.
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts
СПБГУАП| Институт 4 группа 4736
ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ |
171 |
то из формул (8.34) и (8.20) имеем
∫ dWdz dz = 2π iC1 = Γ + iQ .
C
Расход несжимаемой жидкости через замкнутый контур при отсутст- вии источников равен нулю, и, следовательно,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C1 |
= |
|
|
Γ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.36) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Возводя равенство (8.34) в квадрат, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
dW |
2 |
C02 |
|
|
|
C |
C |
|
|
|
(C12 |
|
2C0C2 ) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
= |
+ |
2 |
|
|
0 |
|
1 |
+ |
|
+ |
|
|
|
+ |
..., |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
или, учитывая формулы (8.35) и (8.36), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
dW 2 |
2 − 2iθ |
|
|
Γ |
|
|
|
|
− iθ |
|
|
|
|
Γ 2 |
|
|
|
− iθ |
|
1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
Vz e |
|
+ |
π iz |
Vze |
|
|
+ |
|
− |
4π |
2 + VzC2e |
|
|
|
2 + ... . (8.37) |
|||||||||||||
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|||||||
Подставив выражение (8.37) в формулу (8.32), после интегрирования |
|||||||||||||||||||||||||||||||
по замкнутому контуру С имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Χ − iΥ = iρ Γ Vze− iθ , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Χ + iΥ = |
− iρ Γ Vzeiθ |
|
= − |
ρ Γ |
|
i θ + |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
Vze |
2 . |
|
|
|
|
(8.38) |
|||||||||||||||||||||
Равенство (8.38) выражает собой теорему Жуковского: равнодейст- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
вующая сил давления равна произведению плотности ρ |
, циркуляции Γ |
||||||||||||||||||||||||||||||
и скорости набегающего потока Vz |
и направлена под прямым углом к этой |
||||||||||||||||||||||||||||||
скорости. Поэтому величина |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ρ = |
|
Χ |
+ |
iΥ |
|
= ρ Γ Vz |
|
|
|
|
|
|
|
(8.39) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
называется подъемной силой.
При безотрывном обтекании циркуляция в формулах (8.38) и (8.39) определяется из соотношения (8.27).
Подставив ряд (8.37) в формулу (8.33), после соответствующих пре- образований получаем
M = 2πρ Re(iC2Vze− iθ ), |
(8.40) |
то есть получаем формулу для определения момента подъемной силы от- носительно начала координат.
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts
СПБГУАП| Институт 4 группа 4736
172 |
ГЛАВА VIII |
Из формул (8.38) и (8.40) видно, что для вычисления подъемной силы и ее момента достаточно знать Vz , Γ и C2 , то есть достаточно знать пер- вые три члена разложения (8.34).
Заметим, что при циркуляционном обтекании контура, то есть при Γ ≠ 0 , модель идеальной жидкости позволяет вычислить величину подъемной силы, и результаты расчета достаточно хорошо согласуются с экспериментом. При Γ = 0 ËΡ = 0 – имеет место парадокс Даламбера.
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts
СПБГУАП| Институт 4 группа 4736
Глава IX
ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ПО ПРИЗМАТИЧЕСКИМ ТРУБАМ
Давно известно, что существуют две формы (два режима) течения жидкости. Первые фундаментальные исследования в этой области были опубликованы немецким ученым Г. Гагеном в 1839 и 1854 гг. Им было показано, что при течении воды в трубах существует режим, при кото- ром частицы жидкости движутся параллельно стенкам трубы, то есть жидкость движется несмешивающимися слоями. Для другого режима характерно перемешивание частиц жидкости в направлении, попереч- ном по отношению к оси трубы. Впоследствии указанные режимы те- чения были названы, соответственно, ламинарным и турбулентным.
Ламинарным течением называется течение, при котором траектории частиц жидкости представляют собой плавные кривые. Вид этих кривых определяется геометрией области течения. В частности, при течении по призматическим трубам траектории представляют собой прямые линии, параллельные образующим трубы. Из сказанного следует, что при лами- нарном течении жидкости по призматическим трубам вектор скорости должен быть направлен параллельно оси трубы.
Условие существования ламинарного режима течения было установ- лено Осборном Рейнольдсом в 1883 г. Ламинарный режим имеет место, если число Рейнольдса Re удовлетворяет условию
Re = |
ρ wl |
< |
Re , |
|
|
||||
|
|
кр |
||
|
|
|
||
где w – характерная скорость течения, l |
– характерный размер, – дина- |
мический коэффициент вязкости жидкости, Reкр – критическое число Рей-
нольдса. Численное значение Reкр существенно зависит от геометрии об-
ласти течения.
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts
СПБГУАП| Институт 4 группа 4736
174 |
ГЛАВА IX |
§1. Уравнения прямолинейного движения вязкой несжимаемой жидкости по призматическим трубам
Уравнения изотермического движения вязкой несжимаемой жидкости в общем случае имеют вид (4.42), или
ρ |
dv |
= ρ F − p + µ ∆ v, |
div v = 0 . |
(9.1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt
Введем систему координат Oxyz и направим ось Oz по оси рассматриваемой призматической трубы (рис. 9.1). Будем считать, что вектор скоро- сти течения направлен параллельно оси трубы, то есть, что
|
|
|
|
vx = vy = |
0, vz = |
|
= ku , (9.2) |
u, v |
|
|
|
|
где k – единичный вектор оси Oz. Из уравнения не- |
|||||||||||||||
Рис. 9.1 |
|
разрывности (9.1) и равенств (9.2) следует, что |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂ u |
= 0, u = u(x, y, t) . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ z |
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким образом, в рассматриваемом случае |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ u |
|
|||||||
|
dv |
= |
∂ v |
+ vx |
|
∂ v |
+ vy |
∂ v |
+ vz |
∂ v |
= |
|
∂ v |
= k |
, |
||||
|
|
|
|
∂ x |
|
|
|
|
|||||||||||
|
dt |
∂ t |
|
|
∂ y |
∂ z |
|
∂ t |
∂ t |
||||||||||
и уравнение движения может быть записано в виде |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂ u |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
kρ |
= ρ F − p + |
kµ ∆ |
u . |
(9.3) |
|||||||||||
|
|
|
|
∂ t |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Необходимо особо отметить, что из-за отсутствия конвективных чле- нов уравнение (9.3) является линейным, что существенно упрощает про- блему его интегрирования. Проектируя уравнение (9.3) на оси координат,
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ Fx = |
∂ p |
, |
ρ Fy = |
∂ p |
, |
ρ |
∂ u |
= |
ρ Fz − |
∂ p |
+ µ ∆ u . |
(9.4) |
|
|
|
|
|||||||||
|
∂ x |
|
∂ y |
|
∂ t |
|
∂ z |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полагая F = |
|
const , получаем, что первые два уравнения (9.4) сов- |
||||||||||
g = |
падают с уравнениями (6.2). Следовательно, в плоскости xOy, перпендику- лярной оси трубы, имеет место гидростатический закон распределения давления.
Так как u = u(x, y, t) , то из последнего уравнения (9.4) следует, что
∂ p = f(x, y, t) .
∂ z
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts