гидромеханика нефти
.pdfСПБГУАП| Институт 4 группа 4736
НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ |
245 |
Изображение по Лапласу функции f(t) , то есть L[f(t)] и ее изобра- жение по Лапласу–Карсону K[f(t)] связаны между собой соотношени- ем
K[f(t)] = sL[f(t)].
Эта формула позволяет находить оригинал f(t) , если известно его изобра- жение L[f(t)], с помощью таблиц обращения для преобразования Лапласа– Карсона. Рассмотрим некоторые примеры использования формулы обра-
щения (13.47).
§6. Примеры расчета нестационарных процессов в трубах
Расчет нестационарных процессов в трубопроводах различного назна- чения, в частности, расчет гидравлического удара, часто сводится к зада- чам, когда по концам трубы заданы давление или скорость течения как функции времени.
Рассмотрим следующие случаи:
A. t ≥ 0, p( 0,t) = ϕ 1( t) , B. t ≥ 0, p( 0,t) = ϕ 1( t) , C. t ≥ 0, w( 0,t) = ψ 1( t) , D. t ≥ 0, w( 0,t) = ψ 1( t) ,
w( l,t) = ψ p( l,t) = ϕ w( l,t) = ψ p( l,t) = ϕ
2( )t ,
2( )t , |
||
2( |
)t |
(13.61) |
, |
||
2( |
)t |
, |
Начальные условия во всех четырех случаях принимаются нулевыми, то есть определяются по формулам (13.48).
Очевидно, |
что |
случай D сводится к случаю |
А заменой y = l − x , |
||||
ϕ 2 (t) = ϕ 1( t) , ψ |
1(t) = |
|
− ψ |
2( t) . В дальнейшем будем считать, что граничные |
|||
функции ϕ i (t), ψ i( t) |
могут иметь разрывы при t = |
+ 0 . Из формул (13.54), |
|||||
(13.56), (13.61) следует, что |
|
|
|
||||
в случае А |
α 1 |
= |
1, |
β 4 |
= |
1, |
|
в случае В |
α 1 |
= |
1, |
β 3 |
= |
1, |
|
в случае С |
α 2 |
= |
1, |
β 4 |
= |
1. |
|
Остальные α i, β i во всех трех случаях равны нулю.
Вычислив с помощью этих соотношений определители (13.58) из фор- мул (13.60), получим:
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts
СПБГУАП| Институт 4 группа 4736
246 |
ГЛАВА XIII |
случай А
Ρ ( x,s)= |
Φs 1( s−) |
ϕ+1( +0) |
ϕ+ 1( |
0) |
−F(1 l − x,)s |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
− ρ c2 sΨ |
2 ( s)− ψ |
2+( 0+) ψ |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V ( x,s) = |
|
1 |
sΦ |
1 ( s)− ϕ 1+( |
+0) |
ϕ+ 1( |
0) F−3( l |
|
|
|
|||||||
|
|
ρ c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ sΨ |
2 ( s)− ψ |
2+( |
0+) ψ +2( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
случай В
+2( |
0) |
F2( x,)s , |
|
|
|
+x,)s |
|
|
0) |
F1( x,)s ; |
|
|
|
|
|
Ρ ( x,s)= |
|
Φs |
1( s−) |
ϕ+1( +0) |
ϕ+ 1( |
0) −F(4 l |
+ x,)s |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ sΦ |
2 ( s)− |
ϕ 2+( |
+0) |
ϕ + 2( |
0) |
F4( x,)s , |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V ( x,s) |
= |
1 |
|
|
sΦ |
1 ( s)− |
ϕ 1+( |
+0) |
ϕ+ 1( |
0) F−5( l −x,)s |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ρ c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
1 |
sΦ |
2 ( s)− |
ϕ 2+( |
+0) |
ϕ + 2( |
0) |
F5( x,)s ; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ Ò2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
случай C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ρ ( x,s)= ρ c2 Ψs |
1( s)− ψ +1( |
+0) ψ + 1( |
0) F−(6 l −x,)s |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− ρ c2 sΨ 2 ( s)− ψ |
2+( |
0+) ψ +2( |
0) |
F6( x,)s , |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
V ( x,s) |
= sΨ |
|
1( s) − ψ |
1(+ |
0+) |
ψ +1( |
0) F(−4 l x+ ,)s |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ sΨ |
2 ( s)− ψ 2+( |
0+) |
ψ +2( |
0) |
F4( x,)s , |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Φ i (s) = ∫ ϕ i( t) e− st dt, |
Ψi( s) |
= ∫ ψ (i )t e− st dt, |
i = 1, 2, |
|||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
F1 |
(y, s) = |
|
ch λ y |
, |
F2 (y, s) = |
|
|
λ sh λ y |
, |
F3 (y, s) = |
sh λ y |
, |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
s ch λ l |
|
|
|
|
|
|
|
s2 ch λ l |
|
|
|
|
λ ch λ l |
|||||||||||
F4 |
(y, s) = |
|
sh λ y |
, |
F5 (y, s) = |
|
|
ch λ y |
, |
F6 (y, s) = |
λ ch λ y |
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
s sh λ l |
|
|
|
|
|
|
|
|
λ sh λ l |
|
|
|
|
|
s2 sh λ l |
(13.62)
(13.63)
(13.64)
(13.65)
При выводе формул (13.65) было использовано вытекающее из фор- мул (13.51) соотношение
Z(s) = |
ρ c2 |
λ . |
|
s |
|||
|
|
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts
СПБГУАП| Институт 4 группа 4736
НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ |
247 |
|||||||||||||||
Так как выражение sΦ (s) − ϕ ( + |
0) |
представляет собой изображение |
||||||||||||||
функции |
∂ ϕ |
, то в соответствии с теоремой о свертке и формулами (13.62), |
||||||||||||||
∂ t |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(13.63), (13.64) имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
случай А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
p |
( |
x,t |
t |
|
′ |
N l x,t |
)θ− |
c2 |
′ |
N x,t |
|
d |
|
|||
|
|
) = ∫ |
ϕ |
1( θ) |
1( − − |
ρ ψ |
2( θ) |
(2 − |
)θ |
+ |
θ |
|
||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ϕ 1 (+ 0) N1( −l x,t−) |
ρ cψ2 +2( |
0) N2( x,)t , |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
t |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
w( x,t) = ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
1′ (θ) N3( l− |
|
x,t− |
|
θ+) |
|
ψ 2′( |
θ) N1( |
x−,t )θ |
|
+d θ |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
ρ c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
+ |
|
|
1 |
|
|
ϕ |
1 (+ 0) N3( −l x,t+) |
ψ +2( |
0) N1( x,)t ; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ρ c2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
случай В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p( x,t) = |
|
t |
|
|
|
1′(θ) N4( l− |
|
|
|
θ)+ |
|
|
ϕ2′( θ) |
|
N(4 x−,t )θ +d θ |
|||||||||||||||||||||
|
∫ |
ϕ |
|
x,t− |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
0 |
+ ϕ 1 (+ 0) N4( −l x,t+) ϕ +2( |
|
0) N4( x,)t , |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
w( x,t) = |
|
|
1 t |
ϕ |
1′ (θ) N5( l− |
|
x,t− |
|
θ−) |
|
ϕ 2′( |
θ) N5( |
x−,t )θ +d θ |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
ρ c2 0∫ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
+ |
|
|
|
|
1 |
|
|
ϕ |
1 (+ 0) N5( −l x,t−) |
ϕ +2( |
0) N5( |
|
x,)t |
; |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ρ c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
случай С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p(x, t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
[ |
′( ) N( l |
|
|
|
|
|
) |
|
(′ |
) |
N( x, t |
) |
|
] d |
|||||||||
= |
|
|
ρ |
|
c2 |
∫ |
− |
x, t |
|
|
ψ |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ψ |
1 θ |
|
6 |
|
|
|
− θ − |
2 |
θ |
|
6 |
|
− θ |
θ+ |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ρ Ò2 [ψ 1(+ 0) N6( l − x, t) − ψ 2( + 0) N(6 x,)t ], |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
w(x, t) |
|
|
|
|
t |
|
[ |
′( ) N |
( |
|
|
|
|
|
) |
|
|
(′ |
) |
N( |
|
|
) ] |
|
|
|||||||||||
= ∫ |
l |
− |
x, t |
− |
|
|
x, t |
− |
d |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ψ |
1 |
θ |
4 |
|
|
|
θ + ψ |
2 |
θ |
4 |
|
θ θ+ |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ψ 1(+ 0) N4( l − x, t) + ψ 2( + 0) N(4 x,)t , |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
где в соответствии с формулой обращения (13.47) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
γ |
+ |
i∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ni (y, t) |
= |
1 |
|
∫ Fi (y, s)e |
st |
ds, |
|
|
i = |
1, 2, ... , 6 . |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2π i |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
γ |
− |
i∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(13.66)
(13.67)
(13.68)
(13.69)
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts
СПБГУАП| Институт 4 группа 4736
248 |
|
ГЛАВА XIII |
Функции F1, F2, F3 обладают простыми полюсами sn , соответствую- |
||
щими корням уравнения |
|
|
|
ch λ l = cos iλ l = 0 , |
(13.70) |
а функции F4, F5, F6 – простыми полюсами sm, |
соответствующими кор- |
|
ням уравнения |
|
|
|
sh λ l = − i sin iλ l = 0 . |
(13.71) |
Кроме того, функции F1, F2, F4 обладают простым полюсом s0 = 0 , |
||
функция F5 |
– простыми полюсами s0 = 0 и s0(1) = |
− 2a , функция F6 – по- |
люсом s0 = |
0 второго порядка. |
|
Из уравнений (13.70) и (13.71) и первой формулы (13.51) следует, что простые полюса sn и sm определяются по формулам
sn = |
− a ± |
iνn, |
sm = |
|
− |
a ± iγ m, |
|
n = |
1, 2, 3, ... , |
m = 1, 2, 3, ... , |
||||||
νn = |
n − |
1 π c |
2 |
2 |
, |
γ m = |
mπ c |
2 |
|
|
2 |
, |
(13.72) |
|||
|
2 |
|
− a |
|
|
|
|
− |
a |
|
|
|||||
|
|
l |
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
то есть каждому n и каждому m соответствуют два полюса. |
||||||||||||||||
|
Все корни sn и sm отвечают условиям Re sn < |
0, Re sm < 0 и, следо- |
||||||||||||||
вательно, в формуле (13.69) можно положить γ = 0 . |
|
|||||||||||||||
|
Для замыкания контура интегрирования в формуле (13.69) рассмот- |
|||||||||||||||
рим при вычислении функций N1, N2, N3 последовательность дуг радиуса |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Rn |
= π c n, |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
а при вычислении N4, N5, N6 – радиуса |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Rm |
= |
π c 2m − |
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с центрами в начале координат и лежащих слева от мнимой оси комплекс- ной плоскости s . Из формул (13.72) видно, что ни один из полюсов sn не лежит на дугах радиуса Rn и ни один из полюсов sm не лежит на дугах ра- диуса Rm . Покажем, что на дуге радиуса Rn при n → ∞ величина
= ch λ x
A
ch λ l
ограничена. На дуге радиуса Rn
s = Rne |
iθ π |
≤ θ ≤ |
3π |
. |
, |
2 |
|||
|
2 |
|
|
Тогда, в соответствии с формулой (13.51), значение λ n на этой дуге будет равно
|
i |
|
|
R |
e |
i |
|
i |
θ |
|
2a |
λ n = α n + |
β n |
= |
n |
|
θ e |
|
+ |
, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
Rn |
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts
СПБГУАП| Институт 4 группа 4736
НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ |
249 |
откуда после элементарных преобразований имеем
|
|
2 |
|
1 + 4 a |
2 |
+ 4 a cosθ + |
α n2 |
= |
Rn |
|
|
||
|
|
2c2 |
Rn2 |
Rn |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 + 4 a |
2 |
+ 4 a cosθ − |
β n2 |
= |
Rn |
|
|
||
|
|
2c2 |
Rn2 |
Rn |
||
|
|
|
|
|
|
|
Из первой формулы (13.73) видно,
но, Rn → ∞ имеем − |
∞ < α n < +∞ . |
|
||||
Так как |
|
|
|
e− λ n (l− x) + e− λ n( l+ x) |
|
|
|
ch λ nx |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
ch λ nl |
|
|
1 + e− 2λ nl |
|
|
|
|
|
|
|
2 cos2 θ−
2 cos2 θ+
что при
= |
eλ n (l+ x) |
||
1 |
+ |
||
|
1 + 2 a Rn
1 − 2 a Rn
n → ∞
+ eλ n( l− x) e2λ nl
cosθ ,
(13.73)
cosθ .
и, следователь-
=
|
= |
sh2 |
α nx + |
|
|
cos2 β nx |
= |
A, |
|
|
|
||||||||
|
sh2 α nl + |
|
|
cos2 β nl |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
то при x < l Re λ n = α n → ±∞ |
A→ 0 . При x = l |
|
A = 1. При α n |
конечном |
|||||||||||||||
A – конечная величина. Условие α n = 0 |
выполняется, как это видно |
||||||||||||||||||
из формулы (13.73), |
только |
при |
|
|
cosθ = |
− |
a |
|
. При этом |
β n = ± |
Rn |
|
|||||||
|
|
Rn |
|
c |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
и cos2 β nl = cos2 π n = |
1, то есть A и в этом случае – конечная величина. |
||||||||||||||||||
Аналогично можно показать, что на дугах радиуса Rn при n → ∞ |
величина |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
sh λ x |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
ch λ l |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
а на дугах радиуса Rm при m → ∞ |
величины |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
sh λ x |
|
|
, |
|
|
ch λ x |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
sh λ l |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
sh λ l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ограничены. Из доказанного следует, как это видно из формул (13.65), что
при Rn → |
∞ величины |
|
F1 |
|
, |
|
F2 |
|
, |
|
F3 |
|
равномерно стремятся к нулю, а при |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Rm → ∞ |
равномерно стремятся к нулю величины |
|
F4 |
|
, |
|
F5 |
|
, |
|
F6 |
|
. Теперь, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
в соответствии с леммой Жордана, для t > 0 интеграл (13.69) на основа- нии интегральной теоремы Коши можно представить в виде
Ni ( y,t) = |
1 |
∫○Fj ( y, s) estds= |
2π i |
||
|
|
Γ k |
∞ |
|
|
|
st |
, |
∑Re s Fj ( y, s) e |
s= sn |
|
n= 0 |
|
|
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts
СПБГУАП| Институт 4 группа 4736
250 |
ГЛАВА XIII |
где Γk (k = |
n, m) – замкнутый контур, образованный дугой радиуса Rk |
и мнимой осью комплексной плоскости s . Применяя стандартную про- цедуру нахождения вычетов, после соответствующих вычислений полу- чим
N (y,t) = |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
e− |
|
|
|
∞ |
|
(− |
1) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n− 1 |
|
π y , |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1 + |
|
|
|
at |
|
|
|
|
|
|
ch iνnt + |
|
|
|
sh iνnt cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∑2n− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iνn |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(− 1)n a2 − νn2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
N2 (y,t) = |
|
|
2ay |
|
|
|
|
|
|
|
8l |
|
|
− at |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n− 1 π y |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sh iνnt + |
2a ch iνnt |
|
|
|
|
|
, |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
c |
2 |
|
|
|
|
|
π |
2 |
c |
2 e |
|
|
|
|
|
(2n− |
1) |
2 |
|
|
iνn |
|
sin |
|
2 l |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
N3 (y,t) = |
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
( |
− 1) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n − |
1 |
π y , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
− 2 |
e− |
at ∑ |
|
|
sh iνnt sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
iνn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
n= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(13.74) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(− |
|
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
N4 (y,t) = |
|
|
y |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
− at |
|
∞ |
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
∑ m |
|
|
|
ch iγ mt |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
sh iγ mt sin mπ |
|
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
l |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
iγ m |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(− |
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
N5 (y,t) = |
|
|
|
c2 |
|
(1 − |
|
|
|
|
2at) |
|
|
|
|
2c2 |
|
|
|
∞ |
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
e− |
+ |
|
|
|
|
|
e− at ∑ |
|
|
sh iγ mt cos mπ |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2al |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iγ m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
m= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
N6 (y,t) = |
|
t al ay2 |
|
|
|
|
|
2l |
|
|
|
∞ |
(− 1)m a2 − |
γ m2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
l |
|
3c |
|
|
|
|
|
|
|
π |
c |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sh iγ mt + 2a ch iγ mt cos mπ . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c l |
|
|
|
|
|
|
|
m= 1 |
|
|
|
|
|
|
iγ m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формулы (13.66)–(13.68) и (13.74) дают решение задач (13.61). Заметим, что при больших длинах трубопровода может иметь место случай, когда для малых значений n
|
|
|
|
|
|
|
2n − |
1 |
|
π c < |
a . |
|
|||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|||||
Тогда величина νn будет мнимой, и |
|
|
|
||||||||||||
* |
|
2 |
2n − 1 |
π c 2 |
|
|
|
|
* |
* |
|||||
iνn = − νn = |
a |
|
− |
|
, sh iνnt = − shνnt, ch iνnt = |
chνnt . |
|||||||||
|
|
|
2 |
l |
|
|
|
|
|
|
|
||||
При |
|
|
|
|
|
|
|
2n − |
|
|
π c > |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
a |
|
|||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|||||
νn – вещественная величина, и |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
sh iνnt = |
i sinνnt, ch iνnt = cosνnt . |
|
||||||||||
Аналогичные замечания будут справедливы и для случаев |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
mπ c |
< a и |
mπ c |
> a . |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
l |
|
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts
СПБГУАП| Институт 4 группа 4736
НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ |
251 |
§7. Гидравлический удар
Резкое изменение скорости в трубопроводе, например, при закры- тии задвижки, сопровождается соответствующим изменением давле- ния. Это явление называется гидравлическим ударом. Впервые гидрав- лический удар в идеальной жидкости был подробно исследован в 1898 г. Н.Е. Жуковским. Рассмотрим применение формул, полученных в преды- дущем параграфе, к классической задаче о гидравлическом ударе. При x = 0 расположен резервуар большой емкости, давление в котором считается постоянным. При x = l происходит изменение скорости по за- данному закону. При мгновенной остановке потока граничные условия для возмущений имеют, очевидно, вид
t ≥ 0, p(0, t) = ϕ 1( t) = 0, w( l, t) = ψ (2 )t = − w0 ,
где w0 – скорость стационарного течения.
Подставив граничные условия в формулы (13.65), получим
|
|
|
|
|
|
p(x, t) = ρ c2w0N2( x, t) , |
(13.75) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
w(x, t) = − |
w0N1( x, t) . |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Из формул (13.74) и (13.75) следует, что решение рассматриваемой |
|||||||||||||||||
задачи имеет вид медленно сходящихся рядов. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
При a = 0 , то есть для идеальной жидкости, |
|
|
|||||||||||||||
|
|
νn |
= |
2n − 1 |
π c , |
sh iνnt = i sinνnt |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и при x = l в соответствии с формулами (13.74) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
N2 (l,t) = |
|
4 |
|
∞ |
1 |
|
|
2n − |
1 |
π c t = |
|
1 |
|
2l |
|
||
|
∑ |
|
sin |
|
, 0 < t < |
, (13.76) |
|||||||||||
π c |
2n − |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
n = 1 |
1 |
|
l |
|
c |
c |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p(l, t) = |
ρ cw0, |
0 < t < |
2l |
. |
(13.77) |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
Соотношение (13.77) представляет собой классическую формулу
Н.Е. Жуковского для гидравлического удара в идеальной жидкости. Гра- |
|||||||||
фик зависимости Π |
= |
p(l, t) |
от τ |
= |
ct |
, то есть в безразмерных координа- |
|||
ρ cw0 |
|
||||||||
|
|
|
|
l |
p(l, t) |
|
|||
тах, представлен |
на |
рис. |
13.4. |
Графики зависимостей Π = |
от |
||||
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ρ cw0 |
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts
СПБГУАП| Институт 4 группа 4736
252 ГЛАВА XIII
τ = |
ct |
при a = 0,125 |
c |
, a = |
0,25 |
c |
, a = 0,5 |
c |
представлены на рис. 13.5, |
|
|
|
|
|
|||||||
|
l |
|
l |
|
l |
|
|
l |
||
13.6 и 13.7. Заметим, что величина |
2aρ w0l |
представляет собой отношение |
||||||||
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ρ w c |
|||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
потерь давления на длине l |
к ударному давлению, по Н.Е.Жуковскому. |
Из приведенных графиков видно, что при наличии трения давление в сече-
нии x = l продолжает возрастать до момента времени t = 2l , то есть до c
момента прихода волны, отраженной от сечения x = 0 . Этот факт был ус- тановлен И.А. Чарным. При a ≥ cl волновые явления практически исче- зают.
Рассмотрим гидравлический удар при граничных условиях
t ≥ 0, p(0, t) = ϕ 1( t) = 0, w( l, t) |
= ψ (2 )t = |
− |
w0t |
0 ≤ t ≤ T, |
||
|
|
|
|
|||
|
, |
|||||
|
T |
(13.78) |
||||
|
|
|
w0 , |
t ≥ T, |
||
|
|
− |
где T – время торможения потока.
Из формул (13.66) и (13.78) имеем
при 0 ≤ |
t ≤ T |
|
|
|
|
ρ c2w |
t |
|
p ( l, t) = |
∫ N2 ( l, t− θ) d θ= |
|
|
0 |
||
|
T |
||
при t > |
|
|
0 |
T |
|
|
|
|
|
ρ c2w0 |
T |
|
p(l, t) = |
∫ N2 (l, t − θ) dθ = |
|
|
T |
||
|
|
|
0 |
ρ c2w |
t |
|||
∫ N2 ( l, θ) d ,θ |
||||
|
|
0 |
||
|
T |
|
||
|
|
|
0 |
|
ρ c2w0 |
|
t |
||
|
∫ N2 (l,θ) dθ. |
|||
|
T |
|
t− T
Рис. 13.4 |
Рис. 13.5 |
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts
СПБГУАП| Институт 4 группа 4736
НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ |
253 |
|
|
|
|
Рис. 13.6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 13.7 |
|
|
||||||||||
Для простоты положим в дальнейших вычислениях a = 0 . Тогда, с уче- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
том формулы (13.76), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
p(l,t) |
|
|
|
|
|
8ρ w0l |
|
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2n − 1 |
π c |
|
t |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
− |
|
π |
2 |
|
|
|
∑ |
(2n − |
1) |
2 |
|
cos |
|
2 |
|
|
l |
t |
, |
|
(13.79) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
n= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t1 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
где при t ≤ |
|
T t1 = |
0 , а при t ≥ T |
t1 = |
|
t − |
T . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Сумма ряда (13.79) известна и равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2n − 1 |
π c |
|
|
π |
|
π |
|
|
|
|
π ct |
|
|
|
|
|
|
π ct |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
− |
|
|
|
− |
π ≤ |
≤ π |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
.(13.80) |
||||||||||||
(2n − 1) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
n = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
4 2 |
|
|
|
|
2l |
|
|
|
|
|
|
2l |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
С учетом периодичности формула (13.80) может быть представлена в |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
более удобном виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2n − |
1 π c |
|
|
π 2 |
F(t) , |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
cos |
t = |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
− 1) |
2 |
|
2 |
|
|
|
l |
|
|
8 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n= 1 |
|
(2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ct |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ct |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − |
|
|
|
+ 4k, |
4k ≤ |
|
|
|
|
≤ 4k + 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
F(t) = |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k = |
1, 2, 3, ... . |
(13.81) |
|||||
|
ct |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ct |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 + |
|
− 4k − |
|
4, 4k + |
|
|
|
2 ≤ |
≤ 4k + 4, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Теперь формула (13.79) может быть представлена в виде |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p(l, t) = |
|
− |
ρ w0l |
[F(t) |
− |
|
F( t1) ] . |
|
|
|
|
(13.82) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts
СПБГУАП| Институт 4 группа 4736
254 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ГЛАВА XIII |
||||||
|
|
Для иллюстрации применения формул (13.81) и (13.82) рассмотрим |
||||||||||||||||||||||||||||||||
случай T = l / c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
При t ≤ T |
0 ≤ |
ct |
≤ |
1, k = |
0, |
F(t) = 1− |
|
ct |
|
, F(t1) = |
F( 0) |
= 1 и p = ρ cw0 |
|
t |
. |
|||||||||||||||||
|
|
l |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t − T) = |
|
T |
|||||||
|
|
При t ≥ T область изменения величин |
ct |
и |
ct1 |
= |
|
c |
ct |
|
− 1 |
|||||||||||||||||||||||
l |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
l |
|
|
l |
||||||||
разобьем на отрезки и получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1≤ |
ct≤ |
2, k= |
0, F ( t=) |
− 1 |
|
ct |
; |
≤ 0 ≤ |
ct1 |
|
1,= |
k |
0, F= (−t ) |
2 |
ct |
, |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
1 |
|
|
l |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
p = |
ρ cw0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
ct |
|
0, F ( t=) |
|
|
ct |
|
|
|
|
|
ct1 |
|
|
0, =F −( t1) |
|
|
ct |
|||||||||||||||
2 ≤ |
≤ |
3, k= |
+ 1 − |
|
|
|
4; |
≤ |
1 ≤ |
|
|
|
|
|
|
2=, k |
2 |
|
|
, |
|
|||||||||||||
l |
|
|
l |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ρ cw0 |
|
ct |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
p = − |
2 |
− |
5 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 ≤ |
ct≤ |
4, k= |
0, F ( t=) |
|
l |
|
|
|
|
|
p = − |
4 ≤ |
ct≤ |
5, k= |
1, F ( t=) |
|
l |
|
|
|
|
|
p = − |
+ 1 − |
ct |
|
|
4; |
≤ 2 ≤ |
ct1 |
=3, k 0, =F− ( t+ |
) |
4 |
ct |
, |
||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
l |
|
|
|
|
l |
1 |
|
|
l |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ρ cw0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
− 5 |
|
ct |
; |
|
|
≤ 3 ≤ |
ct1 |
|
4, k = 0, F ( t )= − |
+4 |
ct |
, |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
l |
|
|
|
|
l |
1 |
|
|
l |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ρ cw0 |
|
|
|
ct |
|
|
|
|
|
||||||
|
9− |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
l |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и т.д. График зависимости Π = |
|
p |
τ |
= |
(ct) l приведен на рис. 13.8. |
|||
|
|
|
от |
|||||
|
|
|
||||||
|
ρ cw0 |
|
|
|
|
|||
Зависимости Π от τ при T = |
|
2l |
и T = |
|
3l |
представлены на рис. 13.9 |
||
|
|
|
|
|||||
|
|
c |
|
|
c |
|
и рис. 13.10, соответственно.
Рис. 13.8 |
Рис. 13.9 |
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts