гидромеханика нефти

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

155

Из равенств (8.8), (8.9) и (8.10) имеем

ϕ =

ax− by, ψ =

bx+ ay,

dW = a + ib =

ve− iθ ,

arg dW = arctg b =

− θ ,

dz

dz

a

v =

a2 + b2 .

Линии тока ψ

=

const

и эквипотенциали ϕ

= const образуют семей-

ство взаимно ортогональных прямых. Комплексный потенциал W описы-

вает

поступательное

движение со

скоростью, направленной

под

углом

θ =

− arctg

b

к оси 0x (рис. 8.3).

a

2. W(z) = z2 = ( x + iy) 2 = ϕ + iψ .

В этом случае

ϕ = x2 − y2 ,

ψ = 2xy,

dW

= 2z = 2(x + iy) = ve− iθ ,

dz

arg dW = arctg y =

− θ ,

v = 2

x2 + y2 .

dz

x

Линии тока ψ =

const

– равносторонние гиперболы с асимптота-

ми x = 0, y = 0 ; эквипотенциали – равносторонние гиперболы с асимпто- тами y = x и y = − x. В начале координат пересекаются линии тока x = 0 и y = 0 , то есть начало координат – особая точка, в которой v = 0 .

Так как при течении идеальной жидкости линии тока можно заменить твердыми стенками, то комплексный потенциал можно трактовать как об- текание прямого угла (рис. 8.4).

Рис. 8.3

Рис. 8.4

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

156

ГЛАВА VIII

3. W(z) =

zn , где n – любое вещественное число. По формуле Муавра

zn

=

rneinα = rn (cos nα

+

i sin nα ) ,

откуда

ϕ

=

rn cos nα ,

ψ =

rn sin nα ,

dW

=

zn − 1.

dz

Пусть ψ

=

rn sin nα

= 0 . Так как

r ≠

0 ,

то

α =

kπ

, где k – целое

n

число, и линии тока представляют

собой прямые, проходящие через

начало координат, которое является

особой

точкой. При ψ

= const ≠ 0

получим линии тока внутри угла α .

Это течение (рис. 8.5) можно толко-

Рис. 8.5

вать как обтекание угла α =

π . Ри-

n

сунок

8.5

соответствует

слу-

чаю n =

3.

Течение, соответствующее функции W(z) =

zn

можно рассматривать

для любых n ≥

1

. Если рассматривается течение во всей плоскости, то,

2

kπ

очевидно, должно выполняться условие

= 2π .

В противном случае

n

внутри жидкости окажутся точки, в которых скорость многозначна, чего физически быть не может. Такие точки могут существовать только на гра- нице области.

Рассмотрим случай n = 1 . Тогда

2

π = 2π ,

dW =

1

1

−

i

α

α

=

e 2 ,

θ =

.

2 z

2

n

dz

r

2

На оси Ox в точке P1 (рис. 8.6)

α

=

0, θ

= 0,

v =

1

, то есть ско-

2 r

рость направлена по оси Ox . При r →

0

v →

∞

, при r →

∞

v → 0 .

В точке P2 α = 2π , θ = π

и скорость направлена вдоль оси Ox , но в про-

тивоположную сторону. Вдоль оси скорость терпит разрыв – ее модуль со-

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

157

храняется, а направление меняется на противоположное. Течение пред- ставляет собой обтекание бесконечно тонкой пластины (рис. 8.6).

Рис. 8.6

Рис. 8.7

4. W(z) =

Γ

ln z =

Γ

ln(reiα ) =

Γ

(ln r + iα ) = ϕ + iψ .

2π

2π

2π

Значит,

ϕ =

Γ

ln r, ψ =

Γ

α ,

dW

=

Γ

=

Γ

e− iα , v =

Γ

, θ = α .

2π

2π

dz

2π z 2π r

2π

r

Линии тока ψ

=

const

(рис. 8.7) – прямые, проходящие через нача-

ло координат, эквипотенциали ϕ

=

const

– окружности с центром в на-

чале координат. Начало координат представляет собой особую точку.

При r →

0

v →

∞

, при r →

∞

v → 0 . Расход через окружность ра-

диуса r =

const

(а также через любую замкнутую кривую, охватывающую

начало координат)

равен

Q =

2π rv = Γ

. При Γ

>

0 в начале координат

имеется источник, при Γ <

0 – сток.

5. W(z) =

Γ

ln z =

Γ

ln reiα

=

Γ

(α − i ln r) = ϕ + iψ .

2π i

2π i

2π

Имеем

π

ϕ

Γ

α

, ψ

Γ

dW

Γ

Γ

− i α +

2

=

= −

ln r,

=

=

e

,

2π

2π

dz

π2 iz

π2 r

v =

Γ

,

θ =

α +

π

.

2π

2

r

Линии тока ψ

=

const – окружности с центром в начале координат,

эквипотенциали ϕ

=

const –

прямые, проходящие через начало коорди-

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

158 ГЛАВА VIII

нат. По сравнению с рис. 8.7 линии тока и эквипотенциали поменялись местами*.

Циркуляция вдоль линии тока r = const равна

2π

Γ

∫ v dr =

∫ vr dϕ =

2π

r

= Γ ,

2π r

0

то есть в начале координат имеется вихрь с интенсивностью Γ .

−

m2

− m2

− m2 (x − iy)

6. W =

=

z

=

= ϕ + iψ .

z

x2

+

y2

zz

В этом случае имеем

ϕ =

m2x

,

ψ = −

m2y

,

dW

= −

m2

= +

m2

e− i(2α + π )

,

x2 + y2

x2 + y2

z2

r2

dz

v =

m2

,

θ = 2α + π .

r

2

Полагая ψ

=

1

, ϕ

=

1

, получаем

2C

2C1

x2 + y2 + 2Cm2y = 0,

x2 + y2 − 2C1m2 x = 0 .

Таким образом, линии тока – окружности

с центрами на оси Oy и радиусами R =

C

m2 ,

эквипотенциали – окружности с центрами на

оси

Ox

и радиусами

R1 =

C1

m2 (рис. 8.8).

Ось

Ox также является линией тока ψ

= 0 ,

а ось

Oy –

эквипотенциалью ϕ

= 0 . В этом

примере функция W = m2z− 1

представляет со-

бой комплексный потенциал плоского диполя

с осью Ox .

Комбинируя

описанные

простейшие

Рис. 8.8

случаи, можно получить более сложные те-

чения.

1

W ( z) =

W( z) e− i

π

* Так как

2 , а линии тока и эквипотенциали взаимно ортогональны, то всегда линии

i

тока для течения W ( z)

переходят в эквипотенциали для течения

1

W ( z) , а эквипотенциали – в линии

i

тока.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

159

Рассмотрим комбинацию поступательного движения параллельно

оси Ox , диполя и вихря, то есть функцию

W = − V

R2

+

Γ

=

iα

+

R2

− iα

+

Γ

(

+

iα ) .(8.11)

ln

z

e

ln

r

z +

z

2π

i

− V re

r

2π i

Скорость поступательного движения, очевидно, равна − V , момент

диполя равен m2

=

− VR2 , а циркуляция равна Γ .

В соответствии с формулой (8.11) имеем

R2

Γ α

R2

Γ

+

+

,

ψ =

−

ln r, (8.12)

ϕ = − r

r

V cosα

2π

− r −

r

V sinα

2π

2

Γ

2

Γ

−

α +

π

dW

R

R

−

2iα

i

2

=

− V 1 −

2

+

2π

=

− V

1

−

2 e

+

2π

e

. (8.13)

dz

z

iz

r

r

Из формулы (8.12) следует, что при r =

R

ψ

= −

Γ

ln R =

const ,

2π

то есть окружность радиуса R с центром в начале координат является ли-

dW

=

− V . Итак, комплексный

нией тока. Из формулы

(8.13) имеем

dz

z=

∞

потенциал (8.11) описывает обтекание окружности (цилиндра с осью, пер- пендикулярной плоскости xOy) потоком, имеющим на бесконечности ско- рость, равную − V (рис. 8.9).

Рис. 8.9

В соответствии с формулой (8.13), квадрат скорости v в точках ок-

ружности r = R равен

dW

Γ

2

2

=

dW

=

2V sinα

+

v

.

2π

dz dz r= R

R

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

160

ГЛАВА VIII

Так как скорость,

вызванная циркуляцией

α

+

π

направлена

θ =

2

,

против часовой стрелки, то в верхней полуплоскости

v =

− 2V sin α

−

Γ

,

(α

<

π ) ,

(8.14)

2π

R

а в нижней –

Γ

v =

2V sin α +

,

(α

>

π ) ,

(8.15)

2π

R

точках A(α = 0)

При безциркуляционном обтекании

скорость

в

и B(α = π ) равна нулю, и эти точки – особые. При Γ

≠

0 скорость в этих

точках отлична от нуля. Максимальное значение модуля скорости, как

это видно из формул (8.14)

и (8.15), достигается в точке D и равно

v

= 2V +

Γ

.

2π

R

N , как это следует из форму-

Положение критических точек M и

лы (8.14), определяется из условия

2V sinα * =

Γ

α * =

−

Γ

sinα * ≥ − 1. (8.16)

или

sin

,

2π R

4π VR

При Γ

=

4π VR точки M и N сливаются с точкой C . При дальней-

шем росте Γ

критическая точка сходит с окружности.

Интеграл Коши–Лагранжа (7.65) при потенциальном течении несжи-

маемой жидкости имеет вид

∂ ϕ

−

Π +

p

+

v2

= f(t) .

(8.17)

ρ

∂ t

2

Если Γ

=

Γ (t) , то, как это следует из формулы (8.12), в уравнение (8.17)

войдет член

α

dΓ

. Следовательно, при Γ

= Γ (t) давление перестает быть

2π

dt

однозначной функцией координат (r,α

), что физически невозможно. Поэто-

му потенциальное обтекание возможно только при Γ =

const .

При V =

const

∂ ϕ

= 0

и давление в потоке вычисляется через его

∂ t

скорость и условия на бесконечности (или любые другие условия, позво- ляющие определить константу в интеграле Бернулли). Из формул (8.14) и (8.15) видно, что скорости над цилиндром больше, чем под ним. Поэтому давление над цилиндром меньше, чем под ним. Благодаря этому при цир-

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

161

куляционном обтекании цилиндра возникает подъемная сила. Сопротивле- ние отсутствует, так как поток симметричен относительно оси Oy.

Таким образом, при циркуляционном обтекании цилиндра модель иде- альной жидкости позволяет вычислить подъемную силу (и не только ци- линдра), причем, как показывает эксперимент, с достаточно высокой сте- пенью точности.

§3. Конформное отображение потоков

Рассмотрим функцию комплексного переменного ζ = F(z) . С помо- щью этой функции каждой точке в комплексной плоскости z ставится в со- ответствие точка в комплексной плоскости ζ . Поэтому функцию ζ = F(z) можно рассматривать как отображение некоторой области D в плоско- сти z на некоторую область D1 в плоскости ζ (рис. 8.10).

Рис. 8.10

Отображение, при котором сохраняются углы между кривыми в точ- ках их пересечения и бесконечно малые элементы преобразуются подоб- ным образом, называется конформным. Для того, чтобы функция F(z) реализовала конформное отображение области D, необходимо и доста- точно, чтобы она была взаимно однозначной, аналитической и чтобы в об- ласти D производная F′(z) была отличной от нуля и бесконечности. Важ- ное значение конформных отображений в гидромеханике определяется тем, что если известны комплексные потенциалы каких-либо простейших течений, то можно с помощью этих отображений строить комплексные по- тенциалы более сложных течений.

Пусть в плоскости		z задано течение с комплексным потенциалом W =
= W ( z)	Так как при конформном отображении функция ζ		= ξ + iη = F(z)
должна	быть взаимно	однозначной, то всегда можно	найти функцию

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

162								ГЛАВА VIII
z =	f(ζ ) . Тогда
W(z)		= ϕ ( x, y)	+ iψ ( x, y) = W(f( ζ)	) =	W *( ζ )	= ϕ(	ξ , η) + iψ(	ξ , η) .	(8.18)
	Из	равенства (8.18) сразу следует, что				при	ϕ (x, y) =	const	име-
ем ϕ	=	ϕ (ξ , η ) =	const и при ψ (x, y)	=	const ψ	(ξ , η )	= const . Таким обра-

зом, эквипотенциали и линии тока в плоскости z переходят, соответствен- но, в эквипотенциали и линии тока в плоскости ζ (рис. 8.10).

Рассмотрим выражение

W(z) = ∫ dWdz dz = ∫(vx − ivy)(dx+ idy) = ∫vxdx+ vydy+ i∫vxdy− vydx. (8.19)

В соответствии с формулами (3.39), (8.3), (8.5) и (8.6) имеем

∫ vx dx + vydy = ∫ dϕ = Γ , ∫ vx dy − vydx = Q,

то есть действительная часть интеграла (8.19) представляет собой цирку- ляцию скорости вдоль кривой, а мнимая – расход жидкости через эту кри- вую и

W(z) =

∫

dW

dz =

Γ

+ iQ.

(8.20)

dz

f(ζ ) , имеем

Выполняя в формуле (8.19) замену переменных z =

W(z) = W[f( ζ ) ] = ∫

dW dζ

= ∫

dW

=

Γ + iQ .

dz

dζ

(8.21)

dζ

dz

dζ

Из формул (8.20) и (8.21) видно, что циркуляция скорости вдоль ка- кой-либо линии в плоскости z и вдоль соответствующей линии в плоско- сти ζ совпадают. Это же справедливо и для расхода жидкости через соответствующие линии.

Установим связь между скоростями потоков в соответствующих точ- ках плоскостей z и ζ .

Воспользовавшись формулой (8.9), имеем

dW

=

vze− iθ z =

dW

dζ

=

dW

F′(z) ,

(8.22)

dζ

dz

dz

dζ

где vz,θ z – модуль и аргумент скорости в плоскости z . Так как

dW = v e− iθ ζ ,

dζ

ζ

то

F′(z)

arg F′(z) .

vz =

vζ

,

θ z =

θ ζ −

(8.23)

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

163

Формула (8.23) дает связь между скоростями потока в плоскостях z и ζ . Так как, по условию, F′(z) ≠ 0 и F′(z) ≠ ∞ , то из этого следует, что при конформном преобразовании критические точки переходят в критические точки и никаких новых критических точек возникнуть не может.

Зависимость W = W(z) можно рассматривать как отображение об- ласти D в плоскости z на область D * в плоскости W (рис. 8.11). Так как

функция W(z) аналитическая, то всюду, где	dW	≠ 0	и		dW	≠ ∞ , это
	dz				dz
отображение будет конформным. В плоскости W линии				тока ψ = const
суть прямые, параллельные оси Oϕ , а эквипотенциали ϕ				= const – пря-
мые, параллельные оси Oψ . Следовательно, W = W(z)			представляет со-

бой отображение потока в плоскости z на прямолинейное поступательное движение в плоскости W.

			Рис. 8.11
Пусть в плоскости z имеется ли-
ния тока ψ	=	const	с угловыми точ-
ками А и	В	(рис.	8.12) и пусть
W(z) – комплексный потенциал это-
го течения. В плоскости W все ли-
нии тока перейдут в прямые линии,
то есть в точках А и В конформность
нарушается.
В примере 3 настоящего пара-				Рис. 8.12
графа было показано, что комплекс-
ный потенциал вида			W − W0 = (z − z0)n
				(8.24)

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

164											ГЛАВА VIII
описывает обтекание угла α					=	π		с вершиной в точке z =			z0 . В точке А
						n
α <	π , n >		1, а в точке В α		>	π ,		n <	1. Тогда из формулы (8.24) следует,
что	dW	=	0 при z = zA ,	dW			=	∞	при z = zB ,	то есть при обтекании
	dz				dz
вдающегося угла v = 0 , а при обтекании острия v =										∞ .
	Из интеграла Коши–Лагранжа вытекает, что при v =										∞ p = −∞ и,

следовательно, потенциальное обтекание острия физически невозможно.

§4. Преобразование Жуковского

Рассмотрим комплексный потенциал
		R2
W =				= ϕ	+ iψ ,	(8.25)
	k z +	z

описывающий симметричное обтекание цилиндра радиуса R (рис. 8.13). Область течения – вся плоскость z , внешняя по отношению к цилиндру. Найдем соответствующую ей область в плоскости W.

Линии тока ψ

=

const в плоскости W суть прямые. Из формулы

(8.25) имеем

R2

R2

ϕ =

ψ =

k r +

r

cos θ ,

k r −

r

sin θ .

Линии тока ψ

=

0 в плоскости z соответствуют окружность радиу-

са R

с центром

в

начале координат

и

полусегменты

[R ≤ x <

∞ )

и (− ∞

< x ≤ − R] .

zA =

− R , zB =

Точкам А и В с координатами

R (рис. 8.13) в плос-

кости

W соответствуют

точки A1 , B1

на

оси ψ

= 0 с

координатами

ϕ A =

− 2kR, ϕ B

=

2kR.

Для

точки

C

с

координатами zC = Reiθ

на

1

1

плоскости W имеем

ψ

= 0,

ϕ

=

2kRcosθ ,

то есть точка С отображается на плоскости W во внутренность сегмен-

та [− 2kR, 2kR] .

Итак, функция (8.25) представляет собой отображение плоскости z на плоскость W, при котором внешность цилиндра отображается на внеш- ность отрезка A1B1 , а обтекание цилиндра преобразуется в обтекание от- резка A1B1 .

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts