Бутырин Алексейчик Сборник задач по ТОЭ т1

Расчет тока двигателя
UA		6æ103
I дв = -------	= --------	-------------------------		= 34,68 –36,86° А;
Zдв		3(80 + j60)
мощности двигателя
			6æ103
Pдв = 3UAIдв cos	(UAIдв) = 3		----------------	34,68 cos 36,86°	= 288 кВт;
			3
реактивной мощности двигателя
			6æ10	3
Qдв = 3UAIдв sin (UAIдв) = 3			----------------	34,68 sin 36,86°	= 216 квар,
			3

tgϕдв = tg36,86° = 0,749, tgϕ0,95 = tg(arccos0,95) = 0,328,

Qдв = Pдв tgϕдв, Q0,95 = Pдв tgϕ0,95 ,

(где Q0,95 — реактивная мощность после компенсации с cosϕ = 0,95);

мощности компенсирующих конденсаторов

QC = Qдв – Q0,95 = Pдв(tgϕдв – tgϕ0,95) = 288æ103(0,749 – 0,328) = 121,25 квар.

		U2	U2	3(6æ103)			2
Так как QC = 3		------ , то XC = 3	------- =	-----------------------------			= 890,7 Ом,
		XC	QC	121,25æ		103
XC	= --------1 , следовательно, C = -----------1			=	---------------------------1		= 3,57 мкФ.
	ωC		XCω		890,7	æ314

4.27*(р). Асинхронный трехфазный двигатель (рис. к задаче 4.27*(р) мощностью 55 кВт подключен к сети с помощью трехфазного кабеля и имеет cosϕ = 0,707. Линейное напряжение двигателя Uл = 380 В, частота f = 50 Гц.

Определить ток кабеля и компенсирующую емкость (на одну фазу), которую нужно подключить к двигателю, чтобы на входе кабеля коэффициент мощности был равен 0,96. Компенсирующие емкости включены треугольником.

		I	A	I
A	Кабель			A
				I
				A
B				АД
C
		C		C
				C
	Рис. к задаче 4.27*(р)

191

Решение. Ток двигателя
		P		55æ10	3
IA	″ = --------	-----------------	= --------	-------------------------------	= 118,3 А.
		3U cos ϕ		3æ380æ0,707

Реактивная мощность двигателя

Q = P tgϕ = 55æ103æ1 = 55 квар (tgϕ = 1).

При cosϕ′ = 0,96 ϕ′ = 16,26°, tgϕ′ = 0,291. Реактивная мощность после компенсации

Q′ = Q – QC = P tgϕ′,

тогда

QC = Q – P tgϕ′ = P(tgϕ – tgϕ′) = 55æ103(1 – 0,291) = 38,995 квар,

Uл2

U2

3802

QC = 3

------

; XC = 3

------- = 3

---------------- = 11,1 Ом,

XC

QC

38 995

1

1

C =

ω-----------X

=

314------------------------æ11,1

= 286,9 мкФ,

C

P

55æ103

IA

= --------

-------------------

= --

----------------------------------

= 87,14 А.

3U cos ϕ′

3æ380æ0,96

4.28. К трехфазной сети с линейным

I

I

C

напряжением Uл = 380 В подключены два

A

A

A

приемника, состоящие из резисторов R и

I

конденсаторов С (рис. к задаче 4.28). Фаз-

A

C

B

ные токи обоих потребителей равны 10 А.

C

Определить линейный ток в сети и

C

коэффициент мощности, если сопротив-

R

R

ление резистора R = 380 Ом.

4.29. Два

трехфазных двигателя под-

Rключены к трехфазной сети с линейным

напряжением 220 В. Мощность первого двигателя Р1 = 3,6 кВт, коэффициент

Рис. к задаче 4.28

мощности cosϕ1 = 0,85; мощность второго двигателя Р2 = 2,2 кВт, коэффициент мощности cosϕ2 = 0,7. Обмотки первого двигателя соединены треу-

гольником, обмотки второго — звездой.

Определить ток и коэффициент мощности в трехфазной сети.

192

4.30. От линии электропередачи напряжением 110 кВ и длиной 120 км отключена нагрузка. Обмотка питающего линию трансформатора соединена звездой. Провода имеют емкость относительно земли, равную 0,005 мкФ/км на фазу (рис. к задаче 4.30).

A	A
		XL		XC
B		IR	IR
	B	R	R
C	XC			X	L
		IR
			R
	C	XL		XC
Рис. к задаче 4.30	Рис. к задаче 4.31

Определить токи в каждой фазе.

4.31. Для получения токов в трехфазном приемнике, не зависящих от нагрузки, применяют схему Бушеро. Схема Бушеро предполагает равенство реактивных сопротивлений XL = XС (рис. к задаче 4.31).

Показать, что токи в резисторах приемника не зависят от сопротивления резистора.

4.3. РАСЧЕТ НЕСИММЕТРИЧНОГО РЕЖИМА

4.32(р). Определить показания вольтметров (рис. 1 к задаче 4.32(р)), если Uл = 380 В, R = ωL = 1/ωC = 76 Ом.

Построить	топографическую диа-
грамму напряжений.
Решение.		Фазное	напряжение
		Uл	380
источника Uф		= ------ =	--------	= 220 В.
		3	3
Рассчитаем	напряжение			смещения
нейтрали

A		R
U	л		V1
B		L	N
			V2
C		C
			V3

Рис. 1 к задаче 4.32(р)

220 0	-----1	+ 220 –120°			-------1	+	220	120°	----------1
UN′N = ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------	76	1		1	j76	1			–j76 =
		-----	+	-------	+ ----------
		76		j76	–j76
= 220(1 + 1 –210° + 1 210°) = 220(1							– 1,73) = –160,6 В.

193

Фазные напряжения на нагрузке:

UAN′ = UA – UN′N = 220 – (–160,6) = 380,6 В,

UBN′ = UB – UN′N = 220 –120° – (–160,6) = 196,9 –75° В,

UCN′ = UC – UN′N = 220 120° – (–160,6) = 196,9 75° В.

Показания вольтметров:

UV = 380,6 В, UV = UV = 196,9 В.

1

2

3

Топографическая диаграмма показана на рис. 2 к задаче 4.32(р).

		+1
		UA
				UAN
+j				N
UC		UN N		UB
	UCN	N		UBN

R

A A1

L

B A2

C

C A3

N A4

Рис. 2 к задаче 4.32(р)

Рис. 1 к задаче 4.33(р)

4.33(р). Определить показания амперметров (рис. 1 к задаче 4.33(р)), если фазное напряжение Uф = 220 В, а R = ωL = 1/ωC = 55 Ом.

Построить векторную диаграмму токов.

Решение. Несимметричная нагрузка, идеальная нейтраль, токи в линейных проводах определяются фазными напряжениями на источнике:

					UA		220
		I A		=	-------R	=	--------55	= 4 А,
I B		UB		220 –120°
	=	jX--------L	=	----------------------------	j55			= 4 –210° А,
I C		UC			220 120°
	=	–------------jXC		=	-------------------------	–j55		= 4 210° А,

I N = I A + I B + I C = 4 + 4 –210° + 4 210° = –2,92 А.

194

	Векторная диаграмма показана на рис. 2 к задаче 4.33(р).
			+1					A	A1
			UA
								B	R		R
			IA						A2
										L
	+j							C		A3
		UC				UB
				IN
			IB			IC
									Рис. к задаче 4.34
		Рис. 2 к задаче 4.33(р)
			*						L
A	*	W	1	A	1				A
			*			R	C		R		C
B			* W2			A2			B	L	N
									L		R
						L
C									C
			Рис. к задаче 4.35						Рис. 1 к задаче 4.36(р)
	Показания амперметров: IA						= IA	= IA	= 4 А, IA	= 2,92 А.
						1		2	3	4

4.34. Дано: Uф = 220 В, R = ωL = 38 Ом.

Определить показания амперметров (рис. к задаче 4.34). Построить векторную диаграмму токов.

4.35. Дано: Uф = Uл = 220 В, R = ωL = 1/ωC = 11 Ом.

Определить показания приборов (рис. к задаче 4.35). Построить векторную диаграмму токов.

4.36(р). Дано: Uл = 380 В, R = ωL = 1/ωC = 30 Ом (рис. 1 к задаче 4.36(р)).

Определить токи. Построить векторную диаграмму токов. Решение. Несимметричная нагрузка в трехфазной цепи без ней-

трального провода показана на рис. 2 к задаче 4.36(р). Фазные напряжения:

UA = 220 В, UB = 220 –120° В, UC = 220 120° В.

Эквивалентная расчетная схема (резонанс в фазе А) имеет вид, показанный на рис. 3 к задаче 4.36(р).

195

A

L

C

+1

R

R

IC

B

N

IA

L

L

C

N =A

Рис. 2 к задаче 4.36(р)

IB

IA

A

I

2R

+j

N

B

B

A = N

U

CA

U

BA

IC

2 L

C

B

C

Рис. 3 к задаче 4.36(р)

Рис. 4 к задаче 4.36(р)

Фазные напряжения		на		нагрузке:		UBN′ = UBA , UCN′ = UCA ;
линейные токи:
I B =	UBA		380 –150°
	----------	=	----------------------------		= 6,33 –150° А,
	2R			60
I C	UCA			380 150°
	= -------------		=	-------------------------		= 6,33 60° А,
	j2ωL			j60

I A = –I B – I C = – 6,33 –150° – 6,33 60° = 3,26 –45° А.

Векторная диаграмма токов приведена на рис. 4 к задаче 4.36(р). 4.37(р). Дано: Uл = 380 В, R = ωL = 1/ωC = 38 Ом (рис. 1 к задаче

4.37(р)).

Определить токи. Построить векторную диаграмму токов. Решение. Фазные и линейные

напряжения источника:

L

A

UA = 220 0 В,

B	R	R	C
			UAB = 380 30° В,

LL

C	UBC = 380 –90° В,
	UCA = 380 150° В.
	Рис. 1 к задаче 4.37(р)

196

Преобразуем треугольник нагрузки в эквивалентную звезду (рис. 2 к задаче 4.37(р)) и найдем комплексные сопротивления фаз:

A

IA

L

a

A

IA

j L a

ZA

Ica

B

IB

R

R

ZA C

IB

R b

ZB

N

Iab

B

N

IC

ZC ZB

C

L

ZC

c

Ibc

L

b

C

I

C

j L

c

Рис. 2 к задаче 4.37(р)

Рис. 3 к задаче 4.37(р)

		R		–j	1
					ω--------C
							38(	–j38)
		ZA = --------------------------------------				=	38------------------------------------+ j	38 – j38	= –j38	Ом,
		R + jωL – j--------1
					ωC
		j38(–j38)						38(j38)
ZB	=	------------------------------------			= 38	Ом, ZC =		38------------------------------------+ j38 – j38		= j38 Ом.
		38 + j38 – j38

Эквивалентная расчетная схема приведена на рис. 3 к задаче 4.37(р).

Смещение нейтрали UN′N = UA , так как jωL + ZA = 0 , следовательно,

I B	UBA			380 –150°
	= ----------------		=	----------------------------		= 5 –150° А,
	R + ZB			38 + 38
	UCA				380 150°
I C	= -----------------------			= -------------------------			= 5 60° А,
	jωL	+ ZC			j38 + j38

I A = –I B – I C = – 5 –150° – 5 60° = 2,58 –45° А.

Фазные напряжения на нагрузке:

Uab = I AZA – I BZB = 2,58 –45°(–j38) – 5 –150°(38) = 98,36 15° В,

Ubc = –I CZC + I BZB = –5 60°(j38) + 5 –150°(38) = 190,36 –90° В,

Uca = I CZC – I AZA = 5 60°(j38) – 2,58 –45°(–j38) = 189,9 120,1° В.

197

Фазные токи нагрузки:
	Uab			98,36 15 °
I ab =	–-------------j 1		=	---------------------------– j 38	= 2,59 105° А,
	ωC
	Ubc			190 –90 °
I bc	= ---------		= -------------------------	j 38	= 5 –180°		А,
	jωL
I ca =	Uca		189,9 120,1°
	---------R	=	----------------------------------	38		= 5 120,1° А.

Топографическая диаграмма напряжений и векторная диаграмма токов приведены на рис. 4 к задаче 4.37(р).

	+1
IC	IA		L
			A
Iab	N =A			R
Ica	a		R
	Ibc		B	N
		Uab
Uca	IB		L	C
c		b	L
	Ubc		C	L0
+j	N

U		CA		U	BA	N
C					B

Рис. к задаче 4.38

Рис. 4 к задаче 4.37(р)

4.38. Дано Uл = 380 В, R = 10 Ом, ωL0 = 30 Ом, ωL = 60 Ом,

1/ωC = 20 Ом (рис. к задаче 4.38).

Определить токи. Построить векторную диаграмму токов.

						4.39. Для определения последовательностей
A						фаз в трехфазных цепях применяют фазоуказа-
						тели. Простейшая схема фазоуказателя состоит
						из конденсатора и двух ламп, включенных в
B						звезду (рис. к задаче 4.39).
						Найти фазные напряжения на фазоуказателе,
C						если модули проводимостей ламп и конденсатора
						равны, т.е. YA = YB = YC. Какая из ламп будет
Рис. к задаче 4.39						гореть ярче?

198

4.40(р). Дано: Uл = 380 В, R = ωL = 1/(ωC) = 20 Ом (рис. 1 к задаче 4.40(р)).

R R A A

R

R

B BN

C	C
C	C
R L R	R L R
V	N
Рис. 1 к задаче 4.40(р)	Рис. 2 к задаче 4.40(р)

Определить показание вольтметра.

Решение. Фазное напряжение источника UA = Uф 0 = 220 0 В.

Находим смещение нейтрали для двух узлов: N′ и N″ (рис. 2 к задаче 4.40(р)):

						220	1	+ 220 –120°							1			+ 220 120						°		1
							---								---										-------------	1
							R								R
																									–j	--------
																										ωC
	UN′N =					------------------------------------------------------------------------------------------------------------																					=
												1	+	1	+				1
												---		---			-------------		1
												R		R
																	–j--------
																			ωC
220	1		+ 1 – 120°						1	+ 1 120					°			j	1
	-----																		20-----
=		20						20														= 139,1 –131,56° В,
						1		1			1
						-----	+	-----	+	j	-----
						20		20			20
													1									1
	220			1		+ 1 – 120				°		–j			+ 1				120
				-----									20-----									°-----
UN″N =					20																	20		= 139,1 131,56° В.
	---------------------------------------------------------------------------------------------------------							1		1				1
								-----	+	-----		– j		-----
								20		20				20

Показание вольтметра 208 В, так как

UV = UN′N – UN″N = 139,1 –131,56° – 139,1 131,56° = –j208 В.

199

4.41(р). Дано: Uф = 100 В, R = ωL = 1/(ωC) = 10 Ом (рис. 1 к

задаче 4.41(р)).

Определить показание амперметра.

R		R
A	A
L		L
B	B	N
C		C
C	C
R C L	R	C L
A		N
Рис. 1 к задаче 4.41(р)	Рис. 2 к задаче 4.41(р)

Решение. Решим задачу методом эквивалентного генератора для тока амперметра I A .

Найдем напряжение холостого хода относительно узлов N′N и N′′N (рис. 2 к задаче 4.41(р)), где N — общая точка источника,

U		1			–j		1	+ 1 120°(jωC)
	ф		--- + 1 –120°			ω-------L
			R
UN′N =								=
		1			1
			--- –	j	-------		+ jωC

RωL

		1								1							1
100				+ 1 – 120°					–j			+ 1 120°
		-----															j-----
		10							10								10
= -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------																		=
				1					1			1
				-----	–		j	-----		+	j	-----
				10				10				10
= 100(1 + 1 –210° + 1 210°) = –73 В,
100		1		+ 1 – 120°					1		+ 1 120		°				1
		--						j-----							–j-----
			1						10								10
UN″N =				1
									1			1										= 273 В.
				-----	+		j		-----	–	j	-----
				10					10			10

Входное сопротивление относительно узлов N″N′ ZN N = 2R.

″ ′

Ток амперметра:

	UN″N′	UN″N – UN′N		273 – (–73)
I A	= ---------------	= ----------------------------------	=	-----------------------------	= 17,3	А.
	ZN″N′	ZN″N′		20

200