Бутырин Алексейчик Сборник задач по ТОЭ т1

3.6. Формулы для общего выражения тригонометрического ряда:

		Umax		2Umax		sin kωt1
U		= ------------	, U ′	= ---------------		------------------------------------	;
	0	2	km		2	ωt1(2π – ωt1 )
				k

U″

km

		2 kωt1
4Umax	sin	-----------
		2
= –---------------	------------------------------------		.
k2	ωt1(2π –		ωt1 )

Для ломаной кривой а) общий вид ряда не подходит, коэффициенты ряда Фурье

			Umax													Umax
	U		= ------------							, U ′			= –			------------					, U″					= 0 :
		0		2							km						kπ					km
							Umax					Umax											1						1
	а) u(t) =						------------					– ------------							sin ωt +				--		sin 2ωt +				--		sin 3ωt + …					В;
										2			π										2						3
				Umax								4Umax											1							1
	б) u(t)=			------------		2					–	---------------					cos ωt +						-----		cos 3ωt + -----							cos 5ωt + …					В;
													2											2							2
													π										3						5
						Umax						8Umax												1							1
	в) u(t) =					------------				2		– ---------------								sin ωt – -----						sin 3ωt +				-----		sin 5ωt – …					–
														2											2							2
													3π										3							5
		8Umax											2									1
	–	---------------						cos ωt +					-----	cos 2ωt +								-----		cos 3ωt				+ …				В.
			3π2										22									32
			4Imax
								1				1										1								1
3.7.	i(t)=		-------------					-- + ----------					cos 2						ωt – ----------					cos 4ωt				+	----------			cos 6ωt – …					А.
			π						2 1æ				3								3	æ	5						5	æ		7
3.8.			3				3Imax 1						+			1				cos 3ωt –						1	cos 6ωt					+
	i(t) = ---------------------											--			æ4											5----------æ7
								π				2	2
			1									– …
	+	-------------	æ10	cos 9ωt												А.
		8
3.9.	а) kф = 1, kа = 1, kи = ----------2																		2 ; б) kф =						--	----2 1 , kа =						3 , kи = 4----------6 .
																π																2
																										3						π

3.10. kф = 1,28; kа = 1,76; kи = 0,96.

		1	1
3.11. i(t) = –85	cos ωt + -- cos 3		ωt + ----- cos 5ωt + …		А.
		9	25

3.12.i(t) = 2,12(cosωt + cos3ωt + cos5ωt + …) A.

3.13.i(t) = 10 + 12 sin(ωt – 53°) А; uL(t) = 48 cos(ωt + 37°) В; I = 13,1 А; P = 516 Вт.

161

3.14.i(t) = 34,3 sin(ωt + 31°) + 5,9 sin(3ωt – 78,7°) А;

uC(t) = 100 + 102,9 sin(ωt – 59°) + 5,9 sin(3ωt – 168,7°) В; I = 24,6 А; P = 3026 Вт.

3.15.i(t) = 1,09 sin(ωt – 57°) + 0,11 sin(3ωt – 83,6°) А;

uC(t) = 20 + 17,4 sin(ωt – 147°) + 0,58 sin(3ωt – 173,6°) В; uL(t) = 34,2 sin(ωt + 33°) + 10,4 sin(3ωt + 6,4°) В;

U = 25,5 В; I = 0,77 А.

3.16.i1(t) = 10 + 6,2 sin(ωt – 68°) + 1,1 sin(3ωt – 82,4°) А; i2(t) = 7,8 sin(ωt + 51,3°) + 2,04 sin(3ωt – 71°) А;

i(t) = 10 + 7,2 sin(ωt + 2,7°) + 3,12 sin(3ωt – 75°) А; P = 981,7 Вт.

3.17.Мгновенные значения:

i(t) = 2,5 + 3,88 sin(ωt – 21,4°) + 0,674 sin(3ωt – 19,7°) А; uab(t) = 45 + 101,1 sin(ωt + 24,9°) + 39,97 sin(3ωt + 52,6°) В. Показания приборов:

A1 — I0 = 2,5 А, V1 — U0 = 120 В;

					3,88				2				0,674							2
A			— I′=		----------					+											= 2,78 А;
	2												-------------
						2										2
						200			2						50			2
V			—U′ =								+									= 146 В ;
						--------								------
		2					2									2
						2				3,88					2					0,674				2
A			— I =	2,5			+									+								= 3,75 А;
	3									----------										-------------
											2										2
							2				200					2					50		2
V			—U =	120				+									+							= 189 В.
											--------										------
		3										2									2

3.18.Через фильтр I0/I ≈ 1, без фильтра I0/I = 0,905.

3.19.i1(t) = 2,5 + 0,9842 sin(ωt – 31,5°) А; i2(t) = 0,2322 sin(ωt – 166,5°) А.

3.20.I = 0,0263 A.

3.21.Uн/U = 1,95.

3.22.C2 = 2,22 мкФ; C1 = 17,8 мкФ; i1(t) = 0,4 sinωt;

i2(t) = –0,05 sinωt + 0,33 cos3ωt А; i3(t) = 0,45 sinωt – 0,33 cos3ωt А; uab(t) = 4,5 cosωt + 10 sin3ωt В; I1 = 0,283 А; I2 = 0,236 А;

I3 = 0,395 А; Uab = 7,75 В; P = 4 Вт.

3.23.С1 = 8,89 мкФ; С2 = 1,11 мкФ.

3.24.В ветви RB и C активная мощность Р = 217,06 Вт, в ветви RA и L активная мощность Р = 179,72 Вт.

162

3.25. PW = 80 Вт; U = 203 В; IA = 6 А; IA = 2 А; IA = 2 А.

1

2

3

3.26.uab max = 140 В.

3.27.R = 100 Ом; С = 99 мкФ.

3.28.uab(t) = 15 + 15 sin2ωt В; Uab = 18,37 В; Pист = Pпотр = 3,75 Вт.

3.29.i2(t) = 3,332 sin(ωt – 90°) + 0,1632 sin(3ωt – 137,5°) А; I2 = 3,334 А; Pист = Pпотр = 85,8 Вт.

3.30.i1(t) = –2 + 0,309 sin(ωt – 81°) + 3 sin(3ωt + 30°) А; I1 = 2,92 А; Pист = Pпотр = 85,5 Вт.

3.31.i1(t) = 2 + 0,17 sin(ωt – 11,8°) + 2 sin(5ωt + 180°) А; I1 = 2,45 А; Pист = Pпотр = 60,15 Вт.

3.32.uab(t) = 30 + 30 sin(2ωt – 90°) В; Uab = 36,74 В; Pист = Pпотр = 7,5 Вт.

3.33.i1(t) = 1 + 1 sin(ωt – 90°) А;

i2(t) = –1 + 2 sin(ωt + 90°) + 0,33 sin(2ωt – 90°) А; i3(t) = 2 sin(ωt – 90°) + 1,33 sin(2ωt – 90°) А;

uab(t) = 20 + 60 sinωt + 20 sin(2ωt – 180°) В; Pпотр = 30 Вт.

3.34.u(t) = 12 + 126 sin500t В.

3.35.С1 = 1,11 мкФ; R = 500/3 Ом; i1(t) = 0,3 + 0,42 sin(–1000t – π/2) А.

3.36. u		(t) = 20 + 20 sin					π	В;
						1000t – --
	C						4
	1
u		(t) = 40 sin				π			= 1,5 = 1,22 А.
				1000t + --			В; I
	C					4		A
	2
3.37. UV		= 23,1 B; UV = 11,6 B; UV							= 20 B.
	1			2				3

3.38.i1(t) = 2 sin100t; Е0 = 100 B; L1 = 0,125 Гн; С1 = 8æ10–4 Ф; L2 = 0,05 Гн; С2 = 5æ10–4 Ф; R = 25 Ом.

3.39.IА = 4,02 А; L = 10,6 мГн.

3.40.R1 = 8 Ом; R3 = 12 Ом; L = 90 мГн; С = 0,625 мкФ.

3.41.K = 3.

163

Глава четвертая

ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ

ВВЕДЕНИЕ

Трехфазная цепь представляет собой совокупность трехфазных источников, трехфазной нагрузки и трехпроводной (или четырехпроводной) системы проводов, связывающих источники и нагрузку.

Слово «фаза» в этих цепях нужно понимать как двухпроводную электрическую цепь. Каждая фаза имеет буквенное обозначение. В России фазы обозначаются заглавными буквами А, В, С.

В качестве трехфазных источников чаще других применяются синхронные генераторы. На статоре синхронного генератора помещены три обмотки, которые сдвинуты в пространстве одна относительно другой на 120° и в которых индуцируются ЭДС, изменяющиеся по синусоидальному закону:

e

= E

sin ωt , e

= E

sin

2π

= E

sin

2π

ωt – ------ , e

ωt + ------ . (4.1)

A

m

B

m

3

C

m

3

Фазные ЭДС на комплексной плоскости могут быть представлены векторными диаграммами (рис. 4.1 и 4.2) в зависимости от способа соединения обмоток генератора. Обмотки включаются в звезду (см. рис. 4.1) или в треугольник (см. рис. 4.2). Концы обмоток обычно маркируют буквами: А – начало, X – конец обмотки фазы А. Соответственно для фазы В: (В — Y), для фазы С – (С — Z).

A A

UA

X

Z

Y UC UB

CB C B

Рис. 4.1

164

	A		A
	Z
		UCA	UAB
	X		UBC
C	B	C	B
	Y

Рис. 4.2

Аналогично соединяются и маркируются вторичные обмотки трансформаторов, включенные в трехфазную цепь. В этом случае обмотки трансформатора ведут себя как обмотки источника.

Для получения соединения звездой у источников соединяют вместе концы обмоток X, Y, Z (см. рис. 4.1), для получения соединения обмоток источников треугольником концы обмотки одной фазы соединяют с началом другой и так до полного замыкания (см. рис. 4.2), например, АX → ВY → СZ → А.

Симметричные режимы трехфазных цепей

и методики их расчетов

Четырехпроводная система (с нейтралью). Для симметричного режима сопротивления приемников в фазах равны, т.е. ZA = ZB =

= ZC = Z , сопротивления проводов Zл одинаковы (рис. 4.3, а),

линейные напряжения UAB = UBC = UCA = Uл = 3 Uф, т.е. в 3 больше фазного.

IA		Zл	ZA		UA
A
IB		Zл	ZB			IA
B
IC		Zл	ZC		IC
C
				UC			UB
I					IB
	N
N
		а)			б)
				Рис. 4.3

165

К нагрузке в фазах приложено фазное напряжение, соответственно UAN к фазе А, UВN к фазе В, UСN к фазе С. Тогда

1) для расчета токов применяют закон Ома:

I A	UAN			UBN			UCN
	= --------------- , I	B	=	--------------- , I	C	=	--------------- ,	(4.2)
	Zл + Z			Zл + Z			Zл + Z

где UAN = Uф, UBN = Uф –120°, UCN = Uф 120°;

2) ток в нейтрали I N = I A + I B + I C = 0 . На рис. 4.3, б представ-

лена векторная диаграмма для случая, когда сопротивление Z имеет активно-индуктивный характер (ϕ > 0).

Трехпроводная система, нагрузка соединена звездой. При симметричном источнике не имеет значения способ соединения обмоток источника. Для удобства расчета токов в нагрузке, соединенной звездой, удобно представить соединения обмоток источника также звездой (рис. 4.4).

В силу симметрии (ZA = ZB = ZC = Z ) потенциалы точек N и N′

равны, т.е. ϕN = ϕN , что позволяет соединить виртуально эти точки

′

(см. штриховые линии). В результате расчетная схема совпадает с предыдущей (рис. 4.3, а), в которой токи можно найти по закону Ома:

I A	EA			EB			EC
	= --------------- , I	B	=	--------------- , I	C	=	--------------- .
	Zл + Z			Zл + Z			Zл + Z

Между собой комплексные токи образуют симметричную звезду:

I A = IA ϕ , I B = I Aæ1 –120° , I C = I Aæ1 120° .

EA A IA

EB B IB

N

EC C IC

Zл ZA

Zл ZB

N

Zл ZC

Рис. 4.4

166

Трехпроводная система, нагрузка соединена треугольником (рис. 4.5, а). Симметричная нагрузка в схеме на рис. 4.5, а имеет место при

Zab = Zbc = Zca = Z . Фазные напряжения:

U

A

= U---------AB-

1 –30° , U

B

= U

A

æ1 –120° , U

C

= U

A

æ1 120° .

(4.3)

3

Если пренебречь сопротивлением линии, тогда

1) фазные токи определяются из закона Ома:

UAB

U BC

UCA

I ab =

----------

Z

, I bc =

-----------Z

, I ca

= -----------

.

(4.4)

Z

Все токи равны по значению, но сдвинуты один относительно другого на 120°:

Ibc = I abæ1 –120° , I ca = I abæ1 120° ;

2)линейные токи рассчитываются по первому закону Кирхгофа:

I A = I ab – I ca ; I B = I bc – I ab ; I C = I ca – I bc .

На рис. 4.5, б представлена векторная диаграмма. Комплексное значение тока I A находится из выражения I A = I ab – I ca =

= I ab – I abæ1 120° = 3I abæ1 –30° . При симметричной нагрузке,

соединенной треугольником, линейные токи больше фазных в 3 раз и сдвинуты по фазе от фазных токов на угол –30°. Если Zл ≠ 0 , то

проще всего преобразовать треугольник в звезду и для эквивалентной звезды найти токи

		UA			UB				UC
I A	= ---------------		, I B	= ---------------		, I C	=	---------------Z		.	(4.5)
	Z			Z
	--	+ Zл		--	+ Zл			--	+ Zл
	3			3				3

A		Zл	IA					a
							I
B		Zл	IB	Zca				ca		Zab
C		Zл	IC	c	I	bc				I	ab
							Zbc

Uab

IA

IB

Ica Iab

b	Ibc
	Uca

Ubc

а)

IC

б)

Рис. 4.5

167

Несимметричный режим трехфазных цепей

и методики его расчета

Четырехпроводная система. Расчет режима для несимметричной нагрузки (ZA ≠ ZB ≠ ZC ) (рис. 4.6) целесообразно осуществлять в

следующем порядке:

1) находят напряжение смещения нейтрали UN N. Это напряжение

′

между общей точкой N источника (аналогично схеме рис. 4.4) и точкой N′

U

Y

+ U

Y

+ U

Y

A –A

B –B

C –C

UN′N

= -----------------------------------------------------------

Y

+ Y

+ Y

+

Y

,

(4.6)

–A

–B

–C

–N

где

Y

= ------------------

1

; Y

= ------------------

1

;

Y

=

-------------------

1

; Y

= ------1 ;

–A

Zл

–B

Zл + ZB

–C

Zл + ZC

–N

ZN

+

ZA

2) линейные токи и ток в нейтральном проводе определяют из выражений:

	UA	– UN′N			UB	– UN′N
I A =	---------------------------		;	I B	= ---------------------------			;
	Zл + ZA				Zл + ZB
	UC – UN′N					UN′N
I C	= ----------------------------	Zл + ZC		;	I N =	-------------ZN	.	(4.7)

Если ZN → 0 , то смещение нейтрали отсутствует и UN′N = 0. В этом случае токи находятся из выражений:

I A

UA

UB

UC

= I A + I B + I C . (4.8)

= ------------------ ; I B

= ------------------ ; I C =

------------------- ; I N

Zл + ZA

Zл + ZB

Zл + ZC

A

IA

Zл

ZA

B

IB

Zл

ZB

N

IC

Zл

Z

C

C

IN ZN

N

Рис. 4.6

168

Трехпроводная система (нагрузка соединена звездой). Схема имеет вид, представленный на рис. 4.4, но ZA ≠ ZB ≠ ZC . Порядок расчета похож на расчет несимметричной четырехпроводной сис-

темы, но в формулах Y	= 0. Смещение нейтрали в этом случае
–N
имеет вид:
	U	Y	+ U		Y		+ U	Y
		A –A			B –B			C –C
UN′N =	-----------------------------------------------------------	Y		+	Y	+ Y			.	(4.9)
		–A			–B		–C

Токи в фазах определяются по тем же формулам (4.7). Сумма линейных токов равна нулю: I A + I B + I C = 0 .

Трехпроводная система (нагрузка соединена треугольником). Электрическая схема такая же, как на рис. 4.5, а, но Zab ≠ Zbc ≠ Zca .

При Zл = 0 токи определяются по формулам:

	UAB		UBC		UCA
I ab	= ----------	, I bc	= -----------	, I ca =	-----------	.	(4.10)
	Zab		Zbc		Zca

Соотношение между линейными и фазными токами не равно 3 , т.е. Iл ≠ 3Iф .

Если Zл ≠ 0 , то после преобразования треугольника нагрузки в

звезду получается несимметричная звезда. Порядок расчета этой эквивалентной звезды такой же, как и несимметричной звезды.

Измерение мощностей в трехфазных цепях

Четырехпроводная система. В четырехпроводной системе (рис. 4.7) для измерения активной мощности включают ваттметры в каждую фазу. Активная мощность системы равна сумме показаний всех ваттметров: P = PW + PW + PW . Для симметричной нагрузки актив-

1

2

3

A*

		* W	1
	B		* W	*
Источник				2	Нагрузка
	C			*	*
					W3
	N

Рис. 4.7

169

	A	*		*
			W
				1
	B				*
Источник				* W	Нагрузка
					2
	C

Рис. 4.8

	A	*		*
			W
				1
Источник	B			Нагрузка
	C

Рис. 4.9

ную мощность можно измерять одним ваттметром, включенным в любую фазу. Мощность системы будет равна P = 3PW.

Трехпроводная система. В трехпроводной трехфазной цепи для измерения активной мощности применяют схему двух ваттметров (рис. 4.8).

Активная мощность, потребляемая нагрузкой, равна алгебраической сумме показаний ваттметров: P = PW + PW . Схема приме-

1 2

нима для симметричного и несимметричного режимов.

При симметричном режиме реактивную мощность можно измерить по схеме на рис. 4.8. В этом случае реактивная мощность равна

разности показаний ваттметров: Q = 3(PW – PW ) . Можно

1 2

использовать схему с одним ваттметром (рис. 4.9). Реактивная мощ-

ность определяется из выражения Q = 3PW .

1

Расчет трехфазных цепей

методом симметричных составляющих

Симметричные составляющие. Несимметричная система любых трех синусоидальных напряжений (токов, зарядов, магнитных потоков) может быть разложена на три симметричные системы (прямой, обратной и нулевой последовательности). Синусоидальные величины на комплексной плоскости представляются комплексами

170