3. Модели сетей связи в виде систем массового обслуживания. Виды смо. Одноканальные смо. (Кутузов Татарникова стр 39-46, 47-48)

Система массового обслуживания - одна из основных моделей, используемых инженерами-системотехниками. В терминах систем массового обслуживания (СМО) описываются многие реальные системы: вычислительные системы, узлы сетей связи, системы посадки самолетов, магазины, производственные участки - любые системы, где возможны очереди и (или) отказы в обслуживании.

Основными элементами массового обслуживания являются заявки, очередь и приборы или каналы массового обслуживания (МО).

Заявки (требования) на обслуживание поступают через постоянные или случайные интервалы времени. Приборы (каналы) служат для обслуживания этих заявок. Если в момент поступления заявки все приборы заняты, заявка помещается в очередь (буфер) и ждёт там начала обслуживания.

В зависимости от характеристик этих основных элементов системы массового обслуживания (СМО) можно классифицировать по следующим признакам:

1) по числу каналов обслуживания

1.1) одноканальные

1.2) многоканальные

1.2.1) однородные (длительность обслуживания в разных каналах подчиняется одинаковым законам распределения)

1.2.2) разнородные (разные законы и разные длительности обслуживания каналов)

2) по дисциплинам обслуживания

2.1) системы массового обслуживания с отказами (если все каналы заняты, то заявка получает отказ)

2.2) с ожиданием (заявка, поступившая с ожиданием, становится в очередь)

2.3) системы смешанного типа или с ограниченным ожиданием (накладывается ограничение на длину очереди, если все каналы и вся очередь заняты, то заявка получает отказ)

3) по ограничению потока заявок

3.1) замкнутые системы массового обслуживания

3.2) разомкнутые или открытые (заявки поступают извне)

4) по приоритетам

4.1) абсолютные приоритеты (заявка с абсолютным приоритетом вытесняет из очереди заявку с меньшим приоритетом)

4.2) относительный приоритет (занимает освободившийся канал обслуживания по сравнению с заявками с меньшим приоритетом)

5) по порядку выбора из очереди

5.1) FIFO (First Input – First Output -> Первым пришёл - первым обслужен)

5.2) LIFO (Last Input – First Output -> Последним пришёл – первым обслужен)

5.3) RAND (Random -> Случайный порядок очереди)

Одноканальная однородная экспоненциальная СМО.

Одноканальная экспоненциальная СМО определяется следующими свойствами. СМО имеет канал. В СМО приходят заявки. Если СМО пустая (нет заявок), то приходящая заявка занимает канал. Приходящая в непутую СМО заявка становится в очередь последней. Любая занявшая канал заявка обслуживается, освобождает канал и уходит из СМО. Если в момент ухода очередь непустая, первая в ней заявка выходит из очереди и

занимает канал.

Кружком обозначен канал К, тремя прямоугольниками - очередь

Приходы заявок образуют пуассоновский поток событий. Это означает, что время между приходами любых двух последовательных заявок есть независимая случайная величина с экспоненциальной функцией распределения вероятностей:

Параметр V есть интенсивность потока заявок, т.е. среднее число заявок, приходящих в единицу времени, равно V.

Величину , равную среднему времени обслуживания заявки, обозначим через . λ – интенсивность обращений.

Основные характеристики:

- коэффициент нагрузки то существует стационарное среднее время обслуживания, если , то стационарного режима не существует, система успевает обслуживать входные заявки;

- средняя длина очереди ;

- среднее число заявок ;

- среднее время ожидания обслуживания ;

- среднее время пребывания заявки

- вероятность нахождения в системе k заявок

Формула Полячека-Хинчина

Формула Полячека-Хинчина для однолинейной СМО М|G|1 (М - система имеет входной пуассоновский поток заявок, G - время обслуживание имеет нормальное распределение, 1 - система имеет один прибор (устройство) обслуживания) при прямой процедуре обслуживания (первым пришёл – первым обслужен) с пуассоновским потоком на входе и произвольным характером времени обслуживания в системе определяет среднее время ожидания обслуживания в виде:

где – интенсивность входного простейшего потока заявок; – среднее время обслуживания; – второй момент распределения длительности обслуживания (D – дисперсия)

средняя длина очереди:

Подставим среднее время ожидания обслуживания в формулу для средней длины очереди:

– коэффициент загрузки СМО.

Для модели М|М|1 (М - система имеет входной пуассоновский поток заявок, М - время обслуживание имеет экспоненциальное распределение, 1 - система имеет один прибор (устройство) обслуживания) средняя длина очереди будет выглядеть так:

4. Многоканальные СМО. (Кутузов Татарникова стр 46-47)

Многоканальная экспоненциальная СМО задается тремя параметрами: интенсивностью прихода заявок , средним временем обслуживания и числом каналов .

Основные характеристики:

- коэффициент нагрузки

- средняя длина очереди

- стационарная вероятность того, что в СМО нет заявок

- среднее число заявок

- среднее время ожидания обслуживания

- среднее время пребывания заявки

5. Методы описания сигналов. Детерминированные сигналы.

Наиболее распространёнными способами описания сигналов в различных отраслях науки, в частности и в радиотехнике, являются временной, спектральный, аналитический, статистический, векторный, графический и геометрический.

Классификация сигналов по характеру представления самого сигнала:

1) детерминированные

1.1) периодические

1.1.1) гармонические

1.1.2) квазигармонические

1.2) непериодические делятся на:

1.2.1) почти периодические

1.2.2) апериодические

2) случайные делятся на сигналы, которые можно представить:

1) случайными величинами

2) случайными процессами

3) случайными полями

По размерности соответствующие сигналы делятся на:

1) одномерные

2) многомерные (включают в себя вектор одномерных сигналов с размерностью n)

Детерминированный сигнал – это сигнал, мгновенные значения которого в любой момент времени известны, то есть предсказуемы с вероятностью, равной единице.

Детерминированные сигналы широко применяются в настройке и регулировке различных устройство автоматики и информационно-измерительной техники, где они выполняют роль эталонов.

Существуют различные способы представления детерминированных сигналов:

- динамическое представление

- комплексная форма

- векторное представление

- спектральное

6. Периодические и апериодические сигналы. (Мощенский Нечаев стр. 20-23)

Периодическими называют сигналы, мгновенные значение которых повторяются через определённое время, называемое периодом .

Р ассмотрим два подкласса периодических сигналов, которые были представлены выше.

1) Гармонические сигналы представляются в основном через тригонометрические функции синуса и косинуса

,

,

– угловая частота сигнала, – амплитуда сигнала, – начальная фаза сигнала

2 ) Квазигармонические (полигармонические) сигналы представляют собой сумму гармонических колебаний:

Параметры квазигармонического сигнала:

• Текущее среднее значение за определённое время :

• Постоянная составляющая одного периода:

• Средне выпрямленное значение:

• Среднее квадратичное значение:

Непериодические сигналы – сигналы, у которых повторение мгновенных значений через определённое время отсутствует. Основным инструментом их анализа является частотное представление.

1) Почти периодические сигналы схожи с квазигармоническими сигналами. Они тоже представляют собой сумму гармонических сигналов, но не с кратными, а произвольными частотами, отношения которых не относятся к рациональным числам. Математическое отображение сигналов тождественно полигармоническим сигналам (сумма гармоник), а частотный спектр также дискретен.

2) Апериодические сигналы. К ним относят сигналы, которые задаются произвольными функциями времени, импульсные.

7. Динамическое представление детерминированных сигналов. (Мощенский Нечаев стр. 34-38)

Динамическое представление осуществляется суммой некоторого числа элементарных сигналов, возникающих в последовательные моменты времени.

Применяются 2 способа динамического представления:

1) ступенчатые функции, возникающие через равные промежутки времени , в качестве элементарных сигналов.

где – длительность процесса включения.

М атематическая модель такой функции включения получила название функции Хевисайда:

Она может быть смещена относительно начала отсчёта времени ( – время смещения)

В случае представления сигнала суммой ступенчатых функций с интервалом формульная математическая модель запишется так:

2) прямоугольные импульсы в качестве элементарных сигналов.

При использовании коротких импульсов следует ввести понятие дельта функции или функции Дирака:

Удовлетворяет условию

Если имеется интегральное выражение, подынтегральная функция которого содержит -функцию, то результат интегрирования будет равен значению остального подынтегрального выражения в той точке, где сосредоточен -импульс.

В частном случае, при :

Е сли сместить -функцию на , то получим:

Данное качество называют фильтрующим свойством -функции

Связь между единичной функцией (функцией Хевисайда) и дельта-функцией (функцией Дирака):