8. Комплексная форма представления сигналов. (Мощенский Нечаев стр. 38-41)

Переход от записи гармонической к комплексной форме сигнала осуществляется на основании тождества Эйлера:

получаем

Выражение комплексной функции для произвольного гармонического сигнала запишется в виде:

Выделим комплексную амплитуду

Обобщение символического метода является представление сложного (т.е. не гармонического) сигнала в виде действительной части комплексного сигнала.

где – сопряжённый сигнал с

при :

где – огибающая сигнала, – полная мгновенная фаза

можно определить:

- огибающую сигнала

- мгновенную фазу

- мгновенную частоту

9. Спектральное представление периодических функций. (Мощенский Нечаев стр. 52)

Если задана функция времени F(t) с периодом T, то её можно представить рядом Фурье:

Можно проводить суммирование отдельно по синусам и по косинусам, это удобно, если функция чётная или нечётная

– среднее значение функции за период, постоянная составляющая периодической гармонической функции

Ф ормулы коэффициентов:

Спектральную составляющую с частотой в радиотехнике называют первой (основной) гармоникой, а составляющие с частотами – высшими гармониками сигнала

Если функция чётная , то все слагаемые с обращаются в нуль, и ряд Фурье содержит только члены с косинусами (следует из нечётности синуса )

Если функция нечётная , то все коэффициенты обнуляются и ряд содержит только члены с синусами (т.к. )

Кроме представления в виде синусоид, можно представить сигнал в экспоненциальной форме. В результате получим амплитудно-частотный и фазо-частотный спектры.

П рименив преобразование Эйлера получим:

Комплексная амплитуда n-ой гармоники:

Совокупность является комплексным амплитудным спектром.

10. Спектральное представление непериодических функций. Мгновенный спектр. (Мощенский Нечаев стр. 64)

П реобразование Фурье также является инструментом и для непериодических (импульсных) сигналов (их ещё называют сигналами конечной длительности или финитными)

В основе спектрального анализа непериодических сигналов лежит пара преобразований Фурье:

Прямое

и обратное

Требование абсолютной интегрируемости сигнала

– спектральная плотность (спектр) сигнала

Для непериодической функции существует понятие мгновенного спектра сигнала на временном интервале . – временной интервал, на котором определяется мгновенный спектр.

11. Общие свойства гармонических спектров сигналов.

– спектральная плотность (спектр) сигнала

1) Чётность и нечётность спектральных характеристик (фазо-частотная всегда нечётная)

2) Линейность или принцип суперпозиции спектров

3) Ослабление или усиление сигнала

– ослабление

– усиление

4) Изменение масштаба – сжатие или растяжение сигнала во времени

5) Сдвиг сигнала во времени – задержка распространения сигнала

6) Сдвиг спектра сигнала - теорема о переносе спектра

тогда

7) Энергия сигнала, приходящая на заданную полосу частот. Равенство Парсеваля или теорема Рейли. (какой процент энергии приходится на лепесток)

90% приходится на спектральную область

8) Спектр производной сигнала

отсюда

9) Спектр первообразной

10) Условие неискажённой передачи сигналов

*В математике аргумент комплексного числа z, обозначаемый arg, - это угол между положительной действительной осью и линией, соединяющей начало координат и z

Для неискажённой передачи сигнала необходимо, чтобы амплитудно-частотная характеристика была постоянной во всей полосе частот, а фазо-частотная характеристика была линейной.

12. Корреляционный анализ детерминированных сигналов.

Наряду со спектральным подходом к описанию сигналов на практике часто оказывается необходимой характеристика, которая давала бы представление о таких свойствах, как скорость изменения во времени, длительности сигнала без разложения его на гармонические составляющие.

В качестве такой характеристики выступает корреляционная функция сигнала.

Для детерминированного сигнала конечной длительности корреляционная функция выглядит так:

– величина временного сдвига сигнала

Если мы рассматриваем физические сигналы, а соответственно вещественные функции времени, то формула будет выглядеть так:

При определении степени отличия сигнала от смещённой его копии корреляционную функцию принято называть автокорреляционной функцией (АКФ).

Если сравниваем два сигнала, то имеет место быть определение взаимо-корреляционная функция (ВКФ).

При АКФ достигает максимума. При этом:

т.е. максимальное значение корреляционной функции равно энергии сигнала.

Построение корреляционной функции для сигнала в виде прямоугольного импульса.

а) сигнал в виде прямоугольного импульса

б) сдвинутый сигнал на

в)

г) график корреляционной функции

Н аправление сдвига не влияет на значение корреляционной функции, поэтому выражение можно переписать так:

Отсюда следует, что функция является чётной функцией .

Для периодических сигналов, энергия которых считается бесконечно большой, выражение примет вид:

Следует так же отметить, что корреляционная функция не зависит от начальной фазы .

Взаимно-корреляционная функция для вещественных функций сигналов:

ВКФ не обязательно является чётной относительно , а также не всегда достигает максимума при