13. Случайные величины. Функции и плотность распределения. (Тихонов Харисов стр. 9-11)

Под случайной величиной понимается величина, которая в результате эксперимента принимает различные значения, даже при одинаковых условиях проведения эксперимента.

В зависимости от того, к какому множеству принадлежат значения случайной величины, они делятся на дискретные СВ, непрерывные и дискретно-непрерывные (смешанные).

Функция распределения вероятности есть вероятность того, что случайная величина принимает значение, меньшее чем произвольное вещественное число х:

Условия:

Зная функцию распределения, можно найти вероятность того, что случайная величина будет заключена в полуинтервале :

Для определения дискретной случайной величины необходимо указать закон распределения вероятностей

,

Для непрерывной случайной величины аналогом закона распределения является плотность вероятности:

Условия:

1) неотрицательна

2) нормирована к единице

3) вероятность попадания непрерывной случайной величины в полуинтервал равна интегралу от плотности вероятности в этих пределах

14. Характеристическая функция случайной величины. (Тихонов Харисов стр. 13)

Вместо закона распределения (плотности вероятности) для описания случайной величины используют характеристическую функцию. Она представляет собой математическое ожидание (статистическое усреднение) случайной величины или, что то же самое, преобразование Фурье от закона распределения (плотности вероятности)

Свойства:

1)

2) комплексная чётность

15. Числовые характеристики случайной величины. (Тихонов Харисов стр. 13-15)

Основные числовые характеристики случайной величины:

1. математическое ожидание функции случайной величины с плотностью вероятности :

*M{ } – означает операцию математического ожидания над величиной в скобках

Свойства мат ожидания:

1) имеет размерность самой случайной величины

2) мат ожидание неслучайной величины равно этой величине

3) мат ожидание случайной величины , имеющей симметричную плотность вероятности относительно прямой , равно

4) неслучайную величину можно выносить за знак мат ожидания

2. дисперсия – степень концентрации плотности вероятности в окрестности мат ожидания

Свойства дисперсии:

1) размерность квадрата случайной величины

2) неотрицательна только тогда, когда

3)

4)

5) дисперсия характеризует меру разброса значений случайной величины относительно мат ожидания

Плотность вероятности p(x) можно интерпретировать как плотность массы, распределённой вдоль оси x, значит мат ожидание есть центр массы по оси абсцисс.

Медиана – точка, которая делит плотность распределения на одинаковые части.

Мода – точка максимума плотности вероятности

Унимодальная ф-ция имеет один максимум, мультимодальная два и более.

Если применить формулу мат ожидания к частному случаю степенной функции , то получающиеся числа называются моментами -го порядка случайной величины относительно постоянной величины . При с = 0 моменты называются начальными:

При с = ь моменты называют центральными (они определяют отклонение СВ от её среднего значения):

16. Соотношение между различными характеристиками случайной величины. (Тихонов Харисов стр. 16~21)