Проблемы аксиоматического исчисления высказываний

Всякая аксиоматическая теория для ее обоснования требует рассмотрения четырех проблем:

1. проблемы разрешимости,

2. проблемы непротиворечивости,

3. проблемы полноты,

4. проблемы независимости.

1. Проблема разрешимости исчисления высказываний.

Проблема разрешимости исчисления высказываний заключается в доказательстве существования алгоритма, который позволил бы для любой заданной формулы исчисления высказываний определить, является ли она доказуемой или не является.

Теорема 3.4. Проблема разрешимости для исчисления высказываний разрешима.

2. Проблема непротиворечивости исчисления высказываний.

Определение 3.7. Логическое исчисление называется непротиворечивым, если в нем не доказуемы никакие две формулы, из которых одна является отрицанием другой.

Иначе говоря, аксиоматическое исчисление называется непротиворечивым, если в нем не существует такая формула А, что доказуема А и доказуема ¬A.

Проблема непротиворечивости заключается в выяснении вопроса: является данное исчисление непротиворечивым или нет?

Определение 3.8. Если в исчислении обнаруживаются доказуемые формулы вида А и ¬A, то такое исчисление называется противоречивым.

Если бы в исчислении высказываний некоторые формулы А и ¬A оказались доказуемы, то в нем бы оказалась доказуемой любая формула В.

Теорема 3.5. Исчисление высказываний непротиворечиво.

3. Проблема полноты исчисления высказываний.

Определение 3.9. Аксиоматическое исчисление называется полным в узком смысле, если добавление к списку его аксиом любой недоказуемой в исчислении формулы в качестве новой аксиомы приводит к противоречивому исчислению.

Определение 3.10. Исчисление высказываний называется полным в широком смысле, если любая тожественно истинная формула в нем доказуема.

Из этих определений следует, что проблема полноты исчисления высказываний должна решить два вопроса:

1. можно ли расширить систему аксиом аксиоматического исчисления путем добавления к ней в качестве новой аксиомы какой-нибудь недоказуемой в этом исчислении формулы?

2. является ли всякая тождественно истинная формула алгебры высказываний доказуемой в исчислении высказываний?

Ответы на эти вопросы дают следующие теоремы.

Теорема 3.6. Исчисление высказываний полно в узком смысле.

Теорема 3.7. Исчисление высказываний полно в широком смысле.

4. Проблема независимости аксиом исчисления высказываний.

Для всякого аксиоматического исчисления возникает вопрос о независимости его аксиом, вопрос этот ставится так: можно ли какую-нибудь аксиому вывести из остальных аксиом, применяя правила вывода данной системы?

Если для некоторой аксиомы системы это возможно, то эту аксиому можно исключить из списка аксиом системы, и логическое исчисление при этом не изменится, то есть класс доказуемых формул останется без изменения.

Определение 3.11. Аксиома А называется независимой от всех остальных аксиом исчисления, если она не может быть выведена из остальных аксиом.

Система аксиом исчисления называется независимой, если каждая аксиома системы независима.

Теорема 3.8. Система аксиом исчисления высказываний независима.