Лекция 6 Неклассические логики Интуиционистская логика

Определение 6.1. Интуиционистская логика – это логика, для которой не выполняется один из основных законов классической логики – закон исключенного третьего, т.е.

Отказ от этого закона приводит к признанию существования «третьей возможности». Но в таком случае, естественно, приходим к запрету доказывать теоремы методом от противного. Последнее приводит к отказу от аксиомы

(6.1)

Действительно, при доказательстве от противного предполагают, что верно на самом деле ¬A, и затем приходят к некоторому противоречию. Это показывает, что «не верно» ¬A, т.е. «верно» ¬(¬A). Последнее позволяет утверждать, что «верно» А. Иначе говоря, имеем утверждение (6.1).

Нечеткая логика

Нечеткая логика отличается от двузначной классической логики тем, что допускает континуальное число истинностных значений для высказываний. В простейшем случае эти значения принадлежат отрезку [0; 1] действительных чисел. Иначе говоря, между значением 0 (ложь) и 1 (истина), имеется несчетное число промежуточных истинностных значений а  (0,1).

Нечеткая логика широко используется в современной прикладной математике и технических науках.

Модальные логики

Модальная логика строится на основе логики высказываний за счет добавления новых знаков, позволяющих выражать отношение тех или иных высказываний к окружающей действительности. Как правило, это суждения о возможности или необходимости чего-либо.

Классическая логика имеет дела с высказываниями, которые утверждают наличие или отсутствие той или иной ситуации. Однако в жизни приходится иметь дело с высказываниями, содержащими указание на необходимость или возможность чего-либо. Это связано с элементами случайного в природе либо с констатацией того, что что-то может произойти в будущем или имело место в прошлом, но чего нет в данный момент. Высказывания этого рода называют модальными.

Модальность – характеристика суждения в зависимости от того, выражает ли оно возможность, действительность или необходимость чего-либо.

Типы модальности

Различают три типа модальностей, каждый из которых подразделяется на виды.

• Алетические модальности. Это высказывания, содержащие такие виды модальности, как «необходимо», «возможно», «невозможно», «случайно».

• Деонтические модальности. Это модальности, связанные с характеристиками действий и поступками людей в обществе. Например, «обязательно», «разрешено», «запрещено», «безразлично».

• Эпистемические модальности. Характеристики наших знаний. Можно назвать такие виды модальности этого типа, как «доказано», «опровергнуто», «не доказано», «не опровергнуто», «знает», «верит», «убежден», «сомневается».

Временные логики

Временные (темпоральные) логики – это модальные логики. Они строятся добавлением к логике высказываний новых знаков, отражающих свойства времени.

Приведем рассуждение Георга Хенрика фон Вригта: «Возьмем, например, процесс выпадения дождя. Этот процесс продолжается некоторое время, а затем прекращается. Но предположим, что это происходит не внезапно, а постепенно. Пусть

А … ¬A

Иллюстрирует, что на определенном отрезке времени вначале определенно идет дождь (А), потом определенно не идет дождь (¬A), а между этими временными точками находится переходная область, когда может капать небольшое количество капель – слишком мало для того, чтобы заставить нас сказать, что идет дождь, но слишком много для того, чтобы мы могли воздержаться от утверждения, что дождь определенно закончился. В этой области высказывание A ни истинно, ни ложно». Таким образом, появляется еще третье значение высказывания: «ни истинно, ни ложно», или «и истинно, и ложно», или «неопределенно».

Рассмотрение реального процесса (во времени) заставляет отступиться от классической двузначной логики. Логика примера фон Вригта многозначная, значение высказывания изменяется во времени.