1) Пусть дана последовательность, элементами которой являются функции (1) и определены в некоторой области . Такая последовательность называется функциональной.

Последовательность (1) называется ограниченной на X, если для любого n, .

Последовательность (1) называется сходящейся на X, если для любого фиксированного последовательность сходится (как числовая последовательность).

Если посл. (1) сходится на X, то функция определенная для любых значений равенством называется пределом последовательности.

Рассмотрим ряд, членами которого являются функции от одной и той же переменной в некоторой области : (2)

- называется частичной суммой n-го порядка, - ый остаток.

Ряд (2) называется сходящимся на X, если последовательность его частные сумм сх-ся на этом множ-ве. При этом предел частичных сумм наз-ся суммой ряда и пишут , и говорят, что функция раскладывается в ряд (2).

Множ-во всех значений , при которых ряд (2) сх-ся, наз-ся областью сходимости ряда.

2)Пусть . Рассмотрим посл-ть .

Если бы точек было бы конечное число, то из всех N можно бало бы выбрать максимальное, для кот. для выполнялось бы (*)

Но как правило принадлежит множеству у которых точек бесконечно много, поэтому нер-во (*) может и не выполняться для всех , начиная с одного и того же , но сущ-ние посл-ти функций, сходящейся в промежутке обладает особенностью такой, что для них N можно выбрать в зависимости от и так, что N не зависит от и выполняется неравенство (*).

Опр.: Функциональная последовательность называется равномерно сходящейся на X, если для .

Опр.: Если частичная сумма стремится к сумме ряда равномерно относительно в области X, то говорят, что ряд (2) равномерно сходится в этой области.

ИЛИ Ряд (2), сходящийся для всех из области X, называется равномерно сходящейся в этой области, если для каждого числа .

Условие равномерной сходимости.

Т. Больцано – Коши: Для того, чтобы посл-ть (1): 1) имела предельную функцию и 2) сходилась к этой функции равномерно относительно в X, Н. и Д., чтобы для каждого .

3) Теорема (признак Вейерштрасса)

Если числовой ряд (3) сходится и для , n=1,2,…, то ряд (2) абсолютно и равномерно сходится на X.

4) Теорема (непрерывность суммы равн. сход. ряда непрерыв. функций ).

Пусть функции определены на X, все непрерывны в некоторой точке. Если ряд на множестве X сходится равномерно, то и сумма ряда в точке также будет непрерывна.

В.6. Криволинейный интеграл. Формула Грина.

1) Рассмотрим на плоскости некоторую кривую AB, гладкую или кусочно – гладкую.[Кривая, заданная уравнениями , называется гладкой, если функции и непрерывные производные и, не обращающиеся в ноль одновременно. Непрерывная кривая, составленная из конечного числа гладких кусков, называется кусочно - гладкой], и предположим, что функция определена и ограничена на кривой AB.

Разобьем кривую AB произвольно на n частей точками , выберем на каждой из частичных дуг произвольную точку и составим сумму (1), - длина дуги . Сумма (1) называется интегральной суммой для функции по кривой AB. Обозначим ч/з наибольшую из длин частичных дуг .

Опр. Если интегральная сумма (1) при имеет предел, равный I, то этот предел называется криволинейным интегралом первого рода от функции по кривой AB и обозначается одним из следующих символов . В этом случае функция называется интегрируемой вдоль кривой AB, сама кривая AB – контуром интегрирования, A – начальной, а B – конечной точками интегрирования.

Геометрический смысл.

Криволинейный интеграл при численно равен площади участа цилиндрической поверхности с образующей параллельной оси . Снизу этот участок ограничен контуром , а сверху кривой, изображающей подынтегральную функцию .

Вычисление криволинейного интеграла первого рода.

Вычисление криволинейного интеграла первого рода сводится к вычислению определённых интегралов. Пусть кривая AB задана параметрическими уравнениями , где и непрерывные, и - непрерывные, - функция, непрерывная вдоль этой кривой, причем в точке A:, в точке B: . Тогда для любой точке кривой AB длину дуги AM можно рассматривать как функцию параметра и вычислять по формуле откуда . Получаем:

2) Пусть на кривой AB определены 2 ограниченные функции и . Разобьём кривую AB на n частей точками . Обозначим ч/з и проекции вектора на оси координат, на каждой частичной дуге возьмем произвольную точку и составим интегральную сумму для функции (): (2).

Опр. Если интегральная сумма (2) при - длина дуги имеет предел I , то этот предел называется криволинейным интегралом второго рода от функции () по кривой AB и обозначается: .

Сумма называется общим криволинейным интегралом второго рода.

Вычисление криволинейного интеграла второго рода.

Криволинейные интегралы второго рода вычисляют сведением их к определённым интегралам по формулам:

;

.

= (3)

Где кривая AB: ; A:, B: .

В частности, если кривая AB задана уравнением вида , где y(x) – непрерывно дифференцируемая функция, то: , ; (4)

3) Формула Грина.

Т. Пусть G – некоторая простая замкнутая область, ограниченная контуром L, и пусть функции и непрерывны вместе со своими частными производными и в данной области. Тогда имеет место формула :

, называемая формулой Грина.