В.13. Задача Коши для уравнения колебания струны. Формула Даламбера.

Первая краевая задача для уравнения :

Найти функцию , определенную в области , , удовлетворяющую уравнению для , , граничным и начальным условиям

Если рассматривается явление в течении малого промежутка времени, когда влияние границ ещё не существенно, то вместо полной задачи можно рассматривать предельную задачу с начальными условиями для неограниченной области:

найти решение уравнения

для , , с начальными условиями

при (1)

Эту задачу называют задачей Коши.

Рассмотрим задачу для неограниченной струны:

(2)

(3)

Преобразуем уравнение (2) к каноническому виду

Уравнение характеристик , распадается на два уравнения:

, интегралами которых являются прямые

Вводя новые переменные ,уравнение колебаний струны преобразуется к виду: (4).

Найдем общий интеграл последнего уравнения. Очевидно, для всякого решения уравнения (4) , где - некоторая функция только переменной . Интегрируя это равенство по при фиксированном , получим:

, (5) где и являются функциями только переменных и . Т.к. всякое решение уравнения (4) м.б. представлено в виде (5) при соответствующем выборе и , то формула (3) является общим интегралом этого уравнения. Сл., функция (6) является общим интегралом уравнения (2).

Допустим, что решение рассматриваемой задачи существует, тогда оно даётся формулой (6). Определим функции и т.о., чтобы удовлетворялись начальные условия:

Интегрируя второе равенство получим:

,где и C – постоянные. Из равенств

находим

(7)

Т.о. мы определили функции и ч/з заданные функции и , причем равенства (7) должны иметь место для любого значения аргумента. Подставляя в (6) найденные значения и , получим:

- формула Даламбера.

В.14. Постановка краевых задач для уравнения теплопроводности. Метод разделения переменных для решения первой краевой задачи.

Рассмотрим однородный стержень длины , теплоизолированный с боков и Д. тонкой, чтобы в любой момент времени температуру во всех точках поперечного сечения м.б. считать одинаковой. Процесс распространения температуры в стержне м.б. описан функцией имеет вид - уравнение теплопроводности, где - плотность теплового потока, равная количеству тепла, протекшего в единицу времени ч/з площадь в/см^2, c –удельная теплоемкость, - плотность. - плотность тепловых источников в точке х в момент t. В частности, если стержень однороден, то уравнение теплопроводности: , если источники отсутствуют, т.е. =0, то уравнение теплопроводности

1) Постановка краевых задач.

Для выделения единого решения уравнения теплопроводности Н. к уравнению присоединить начальные и граничные условия. Начальное условие состоит в задании значений функции в начальный момент .

Рассмотрим 3 основных типа граничных условий.

1)На конце стержня x=0 задана температура , где - функция, заданная в некоторых промежутке , T – промежуток времени, в течении которого изучается процесс.

2) На конце , задано значение производной .

3) На конце задано линейное соотношение м/ду производной и функцией.

, где - коэффициент теплообмена, - некоторая функция.

Первая краевая задача состоит в отыскании решения уравнения теплопроводности при , удовлетворяющего условиям:

, где и - заданные функции.

Аналогично ставятся и другие краевые задачи с различными комбинациями краевых условий при x=0 и .

Первая краевая задача для полубесконечного стержня.

Найти решение уравнения теплопроводности в области и , удовлетворяющее условиям

2) Метод разделения переменных.

Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения теплопроводности на отрезке: (1) с начальными условиями (2) и граничными условиями (3)

Для решения этой задачи рассматривают, как принято в методе разделения переменных, сначала основную вспомогательную задачу:

Найти решение уравнения , не равное тождественно нулю, удовлетворяющее однородным граничным условиям(3`) и представимое в виде , (4) где - функция только переменного x, - функция только переменного t.

Подставляя (4) в (1) и производя деление обеих частей равенства на , получим:

, т.к. левая часть зависит только от t, правая - от х.

,(5) (5`)

Граничные условия (3`) дают:

Т.о. для определения функции X(x) получим задачу о собственных значен. (Штурма - Лиувилля) ,(6)

Известно, что только для значений параметра , равных (7) существует нетривиальное решение уравнения (5), равные (8)

Этим значениям соответствуют решения уравнения (5`)

(9)

Функции (10) является частными решениями уравнения (1), удовлетворяющими нулевым граничным условиям

Составим ряд (*)

Функция удовлетворяет граничным условиям, т.к. им удовлетворяют все члены ряда. Требуя выполнения начальных условий, получаем:

(11), т.е. является коэффициентами Фурье функции при разложении её в ряд по синусам на интервале :

(12)

Т.о., ряд (*) с коэффициентами , определенными по формуле (12) удовлетворяет всем условиям искомой задачи и является решением задач (1),(2),(3).