Пособие 120 стр Метрология и измерения в телекоммуникационных системах

J = 2 – доверительный интервал; Р – доверительная вероятность. Тогда результат измерения можно представить в виде:

A ,

где – точность, P – коэффициент доверия.

Таким образом, чтобы записать результат измерения, необходимо знать А, и закон распределения. Но так как истинные значения А и неизвестны, то пользуются оценками этих величин.

В отличие от самих числовых характеристик оценки являются случайными величинами, причём их значения зависят от числа измерений, а распределение вероятностей – от закона распределения вероятности отдельного измерения.

Оценки должны удовлетворять трём условиям: быть состоятельными, несмещенными и эффективными.

Оценка называется состоятельной, если при увеличении числа опытов n оценка a приближается к истинному значению a.

Оценка называется несмещенной, если математическое ожидание M[ a ] = a. Очевидно, что если оценка несмещенная, то она не содержит систематической погрешности.

Оценка называется эффективной, если по сравнению с другими она обла-

	дает наименьшей дисперсией, т.е. D[ a ] = min.
	Запишем результат измерения в виде:
	a1 = A + a1, a2 = A +				a2, ... , an = A + an.
	Суммируя почленно левые и правые части равенства, получаем:
	n						n
	ai			nA ai				,
	i 1					i 1
	откуда следует:
		1		n		1	n
	A			ai			ai .
		n i 1				n i 1

Если число наблюдений достаточно велико (строго говоря, n → ∞), то в силу нормального распределения, абсолютные погрешности одинаковой величины, но с различным знаком встречаются одинаково часто (плотность распределения симметрична относительно математического ожидания), а значит, второй член в правой части будет равен нулю:

		1	n
	lim		ai 0 .
	n n
			i 1

Таким образом при n → ∞ истинное значение измеренной величины равно среднему арифметическому:

1 n

An n ai a .

i 1

20

На практике n ≠ ∞, т.е. чем меньше n, тем больше величина a зависит от результатов отдельных наблюдений, но так как отдельные результаты наблюдений – случайные величины, то среднее арифметическое по конечному числу наблюде-

ний также будет случайной величиной.
Отклонение	a	также случайная величина:
		a = A – a .	(3)
По смыслу	a	– та погрешность, которую мы допускаем, взяв вместо ис-

тинного значения его оценку – среднее арифметическое a . Эта погрешность, как

	было уже отмечено, тоже случайная и также описывается нормальным распреде-
	лением с нулевым средним, но с другой дисперсией σ 2 :
							a
			1			a2
	f ( a)				exp	2	.
			2 a2
						2 a
	Из (3) очевидно, что среднее a также распределено по нормальному закону
	с той же дисперсией σ 2 . Выразим дисперсию σ 2 через дисперсию результатов
	a					a

наблюдений σ2.

Среднее есть линейная комбинация независимых случайных величин ai. Дисперсия линейной комбинация независимых случайных величин может быть выражена через дисперсию слагаемых:

	1	n			1		n	1
D		ai					D[ai ]			nD[ai ], т.е.
					n	2		n	2
n i 1							i 1

a2	2	(4)
	n

Таким образом дисперсия среднего по n наблюдений в n раз меньше дисперсии результата наблюдений, иными словами, если за результат измерения принять единичное наблюдение, то разброс такой оценки будет характеризоваться дисперсией σ2, а если усреднить результаты наблюдений и принять среднее по n наблюдения за оценку измеряемой величины, то дисперсия её будет σ 2a .

Теперь для определения доверительного интервала ( a – ε, a + ε), в который попадает результат измерения с заданной вероятностью P, необходимо найти оценку дисперсии σ 2a .

Для нахождения оценки дисперсии можно воспользоваться методом максимального правдоподобия. Вероятность получить результат наблюдения в интервале ai ± 0,5Δi равна f(ai, A, )·Δi, где f(ai, A, ) – плотность распределения результатов наблюдений, зависящая от – дисперсии и A – истинного значения измеренной величины.

Так как результаты наблюдений независимы, то вероятность получить все n результатов в этом интервале равна:

21

n

P(a1, a2 ,..., an ; A; ) fi (ai , A, ) ai .

i 1

Смысл метода максимального правдоподобия заключается в том, что за оценку параметра распределения берут то его значение, при котором вероятность Р будет максимальной. Для этого частную производную Р по оцениваемому параметру приравнивают к нулю, т.е. находят значение параметра, соответствующего экстремуму.

Для упрощения вычислений иногда бывает удобнее пользоваться логарифмической функцией правдоподобия:

n

L(a1, a2 ,..., an ; A; ) ln P(a1, a2 ,..., an ; A; ) ln fi (ai , A, ) .

i 1

Если наибольшее значение функций правдоподобия совпадает с максимальным значением, то оценки получаются из системы уравнений:

LAL

0; A A; ,

0; A A; .

Определим оценки максимального правдоподобия для нормального распределения случайных погрешностей.

В этом случае:

					1			(a A)2
	fi	(ai	; A; )				exp	i		,
								2	2
					2 2

а логарифмическая функция правдоподобия:

n

n

(a A)2

1

L ln fi (ai ; A; )

i

ln

ln(2 )

2

2

2

i 1

i 1

1

n

n

(ai

A)2 n ln

ln(2 ) .

2

2

i 1

2

Система уравнений приводится к виду:

L

1

n

(ai

A) 0,

2

A A

A;

i 1

L

n

2

1

n

(ai

A)

0.

3

A A;

i 1

Откуда следует:

1

n

A

ai

A a

при n

n i 1

1

n

2

(ai

A)2

2 2

при n

.

(5)

n i 1

22

Полученная оценка дисперсии пригодна только в тех случаях, когда точно известно математическое ожидание, например, когда разброс показаний измерительного прибора оценивают, проводя ряд измерений точно известной величины.

На практике определение измеряемого параметра является целью измерений, и самое большее, что о нём можно узнать – это оценку. Подставив в выражение (5) a вместо A, а соответствующую оценку дисперсии обозначив S2, получим:

		1	n
	S 2		(ai a)2 .	(6)
		n i 1

Оценка (6) является состоятельной, но смещенной. Рассмотрим вопрос о смещенности полученной оценки S. Для этого найдем выражение, связывающее оценки (5) и (6). Преобразуем квадрат суммы:

n

n

n

n

(ai A)2

[(ai

a) (a A)]2 (ai a)2 (a A)2

i 1

i 1

i 1

i 1

n

n

n

2 (a A)(ai a)

(ai a)2 n(a A)2 2n(a A) (ai a) .

i 1

i 1

i 1

Так как сумма отклонений результатов наблюдений от своего среднего по

n

определению равна нулю: (ai a) 0 , то получим:

i 1

n

n

(ai a)2 (ai A)2 n(a A)2

i 1

i 1

или

1

n

1

n

(ai

a)2

(ai A)2

(a A)2 .

(7)

n i 1

n i 1

Отсюда следует, во-первых, состоятельность оценки 2 :

1 n

(a a)

,

2

2

P

i

n

n i 1

так как слагаемые сходятся по вероятности:

1 n

(a A)

; (a A)

0 .

2

2

2

P

P

i

n

n

n i 1

Во-вторых, выражение (7) позволяет найти математическое ожидание оцен-

ки 2 и убедиться в том, что она смещена:

1

n

1

n

1

M[S 2 ] M

(ai

a)2

M

(ai A)2

M[(a A)2 ]

n 2

a2 .

n

n

n i 1

i 1

Но в соответствии с (4), a2

2

n

, тогда:

2

2

2

n 1

2 .

(8)

M [S

]

n

n

23

Таким образом, оценка S2 является смещенной оценкой дисперсии, однако:

lim M[S 2 ] 2 .

n

Такая оценка называется асимптотически несмещенной.

Из (8) следует, что для ликвидации смещенности оценки достаточно ввести поправочный множитель n/(n – 1). Полученную несмещенную оценку обозначим 2 :

n

n

1

n

1

n

2

S 2

(ai

a)2

(ai a)2 .

(9)

n 1

n 1

n i 1

n 1 i 1

Эта оценка называется выборочной или эмпирической дисперсией, т.е. её значение вычисляется по результатам наблюдений. Но так как точечной оценкой истинного значения является среднее a , которое также является случайной величиной с дисперсией σ 2a , связанной с дисперсией результатов наблюдений σ2 выражением (4), то оценка дисперсии:

		1	n
	a2		(ai	a)2 .	(10)
		n(n 1)
			i 1

Если n – велико, то A = а, a2 S , и в этом случае можно использовать соотношение (2) и записать результат измерения в виде:

A k a ; P .

При малом числе измерений оценка (10) будет случайной величиной, и вследствие этого доверительный интервал должен быть расширен:

t (n) a ,

где tα(n) – представляет собой параметр распределения Стьюдента:

t2

n

2

f (t, n) Bn 1

,

(11)

n 1

n

где

Bn

2

– нормирующий множитель, необходимый для

n 1

(n 1)

2

того, чтобы площадь под кривой равнялась единице; Γ – гамма-функция.

Из (11) видно, что распределение Стьюдента определяется параметром n – числом наблюдений и не зависит от неизвестных значений A и a .

Поскольку f(t, n) – чётная функция от t, то вероятность попадания t в заданный интервал tα(n):

t (n)

P 2 f (t, n)dt .

0

24

По доверительной вероятности и числу наблюдений находят величину доверительного интервала:

t (n) a , откуда

	a t (n) a ; .
a ; P или

6. ПОГРЕШНОСТЬ РЕЗУЛЬТАТА ПРЯМОГО ОДНОКРАТНОГО ИЗМЕРЕНИЯ

Оценивается до выполнения прямого однократного измерения, на основе анализа априорной информации. Она извлекается из опыта проведения подобных измерений, из технической документации и т.д.

Если до проведения измерений удается установить границу не исключенного остатка систематической погрешности и среднеквадратического отклонения случайной составляющей погрешности, то оценивают их соотношение.

Если , то пренебрегают не исключённой систематической погрешностью:

2 – пренебрегают случайной составляющей погрешности.

Впервом случае границу погрешности результата измерения устанавливают

2 , за исключением особо ответственных измерений ( 3 ). Во втором принимают . Если 2, то границу погрешности результата измерения находят по формуле ( 2 ), где коэффициент 0,8 учитывает малую вероятность того, что систематическая и случайная составляющая погрешности одновременно имеют свои граничные значения.

Распространены прямые однократные измерения в нормальных условиях, при которых всеми погрешностями кроме инструментальной, можно пренебречь. Анализ составляющих погрешности таких измерений не проводится, а результаты измерений записываются в виде А , где А – показания средства измерений;

– погрешность, определяемая его классом точности.

Проверка нормальности распределения

До сих пор мы считали, что случайные погрешности распределены по нормальному закону и в соответствии с этим строили методы обработки результатов. При этом сходимость результатов наблюдений можно оценить наиболее полно. Поэтому исключительно важную роль при обработке результатов наблюдений играет проверка нормальности распределения.

Эта задача представляет собой частный случай более общей проблемы, заключающейся в подборе теоретической функции распределения, в некотором смысле наилучшим образом согласующейся с опытными данными.

При большом числе результатов наблюдений (n 50) данная задача решается в следующем порядке.

25

Результаты наблюдений случайной величины а, полученные в специально поставленном эксперименте или на основании сбора статистических данных, располагают в порядке возрастания а1 ≤ а2 ≤ ... ≤ аn. При этом наблюдения случайной величины а должны проводиться в практически одинаковых условиях.

По данным выполненных наблюдений вычисляют размах an – a1 и образу-

ют r равных интервалов шириной h an a1 . r

Число интервалов r выбирают в зависимости от объёма выборок n:

n	50 – 100	100	– 500	500 – 1000
r	7 – 9	10	– 30	30 – 40

Далее подсчитывают частоты тi, равные числу результатов, лежащих в каждом i-м интервале, т.е. меньших или равных его правой и больших левой границы.

Отношения: Pi* mni , где n – общее число наблюдений, называются частно-

стями и представляют собой статистические оценки вероятностей попадания результатов наблюдений в i-й интервал. Распределение частностей по интервалам образует статистическое распределение результатов наблюдений.

Если теперь разделить частность на длину интервала, то получим величины:

p*	1	P*	mi	,
i	hi	i	nhi

являющиеся оценками средней плотности в интервале hi.

Отложив вдоль оси результатов наблюдений (рис. 14) интервалы hi в порядке возрастания индекса i, на каждом интервале построим прямоугольник с высотой, равной pi*. Полученный график называется гистограммой статистического распределения. Площадь всех прямоугольников равна единице:

	r	r	mi		1	r
	pi* hi					mi 1.
	i 1	i 1	n		n i 1

После построения гистограммы надо подобрать теоретическую кривую распределения, которая, выражая все существенные черты статистического распределения, сглаживала бы все случайности, связанные с недостаточным объёмом экспериментальных данных. Принципиальный вид теоретической кривой выбирают заранее, проанализировав метод измерения или хотя бы по внешнему виду гистограммы. Тогда определение аналитического вида кривой распределения сводится к выбору таких значений его параметров, при которых достигается наибольшее соответствие между теоретическим и статистическим распределени- ями.

26

Одним из методов решения этой задачи является метод моментов. При его использовании параметрам теоретического распределения придадут такие значения, при которых несколько важнейших моментов совпадают с их статистическими оценками. Так, если статистическое распределение, определяемое гистограммой, мы хотим описать кривой нормального распределения, то естественно потребовать, чтобы математическое ожидание и дисперсия последнего совпадали со средним арифметическим и оценкой дисперсии, вычисленным по опытным данным.

Далее необходимо выяснить, объясняются ли расхождения между гистограммой и подобранным теоретическим распределением только случайными обстоятельствами, связанными с ограниченным числом наблюдений, или они вызваны тем, что результаты наблюдений в действительности распределены иначе.

p*

pi*

h

hi

Рисунок 14 - Гистограмма статистического распределения

Для ответа на этот вопрос используют методы проверки статистических гипотез. Идея их применения заключается в следующем. На основании гистограммы, полученной при обработке опытных данных, строится гипотеза, состоящая в том, что результаты наблюдений подчиняются распределению с плотностью f(х).

Для того чтобы принять или опровергнуть эту гипотезу, выбирается некоторая величина и, представляющая собой меру расхождения теоретического и статистического распределений. В качестве меры расхождения можно принять сумму квадратов разностей частностей и теоретических вероятностей результатов наблюдений в каждом интервале, взятых с некоторыми коэффициентами:

uci (Pi* Pi )2 ,

i 1r

где сi – коэффициенты, называемые весами разрядов; Рi – теоретические вероятности, определяемые как: Pi xxii 1 f (x)dx , где f(x) – предполагаемая плотность распределения.

27

Мера расхождения u является случайной величиной и, как показал К.Пирсон, независимо от исходного распределения подчиняется 2 распределению с R степенями свободы:

		1								R	1
														,
										2			2
P R2	( )	R					R ( )					e
						2 2
		2

если все частоты mi 5, число измерений стремится к бесконечности, а веса сi выбираются равными п/Рi. Число степеней свободы распределения R = r – s, где r – число разрядов гистограммы статистического распределения, а s – число независимых связей, наложенных на частности Pi*.

Если проверяется гипотеза о нормальном распределении, то к числу этих связей относится равенство среднего арифметического и точечной оценки дисперсии соответственно математическому ожиданию и дисперсии предполагаемого нормального распределения. Кроме того, всегда требуется, чтобы сумма частностей по всем интервалам была равна единице. Поэтому в данном случае s = 3.

Мера расхождения u, выбранная по К.Пирсону, обозначается через

2

. Для

R

удобства вычислений её можно записать в виде:

2

r

n

*

2

r

(mi n Pi )2

r

2

2

(mi n Pi )2

R

(Pi

Pi )

i

,

где i

.

P

n P

i 1

i 1

i 1

n Pi

i

i

По таблице можно найти значения (*)2, установленного для заданной доверительной вероятности , того что мера расхождения является случайной.

Если вычисленная по опытным данным мера расхождения R2 окажется

меньше (*)2, то гипотеза принимается. Это, конечно, не значит, что гипотеза верна. Можно лишь утверждать, что она правдоподобна, т.е. не противоречит опытным данным. Если же гипотеза выходит за границы R2 , то она отвергается как противоречащая опытным данным.

Описанная процедура проверки гипотезы, что данное статистическое распределение является распределением с плотностью f(х), называется критерием согласия 2.

Проверка нормальности распределения по критерию 2 сводится к следующе-

му.

1.Данные наблюдений группируются по интервалам, как при построении гистограммы, и подсчитываются частоты mi. Если в некоторые интервалы попадет меньше пяти наблюдений, то такие интервалы объединяются с соседними. При этом число степеней свободы R конечно уменьшается.

2.Вычисляют среднее арифметическое Аср и точечную оценку среднеквад-

28

ратического отклонения результата наблюдения S, которые принимают в качестве параметров теоретического нормального распределения с плотностью f(х).

3. Для каждого интервала находят вероятности попадания в них результатов наблюдений по общей формуле:

P{x1 < x ≤ x2} = F(x2) – F(x1).

Либо приближенно как плотности теоретического распределения в середине интервала на его длину:

P P		xi	xi 1		x .
i x			2		i

4. Для каждого интервала вычисляют величину i2 (i = 1, 2,…, r) и сумми-

руют их по всем i, в результате чего получают меру расхождения R2 .

5. Определяют число степеней свободы R = r – 3, задаваясь доверительной вероятностью , находят по таблице значения (χ*)2. Если R2 ( * )2 , то распределение результатов наблюдений считают нормальным.

Критерий согласия 2, построенный на предельном переходе при п , рекомендуется применять, если общее число наблюдений больше 40.

Если число результатов наблюдений 15 < n < 50, то для проверки принадлежности их к нормальному распределению используют составной критерий.

7.СУММИРОВАНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ

1.Систематические погрешности θi, если они известны или достаточно точно

n

определены, суммируются алгебраически (с учётом собственных знаков): i .

i 1

2. Случайные погрешности (среднеквадратические отклонения) суммиру-

ются с учётом их взаимных корреляционных связей:			2	2	1		2	2 .
			1					2

Так как обычно информация о мере корреляционных связей отсутствует, то на практике рассматривают два крайних случая: и 1.

При этом:

а) некоррелированные (вызванные взаимно не зависимыми источниками

или причинами) погрешности суммируются геометрически:					2	2 .
					1	2
	n	, где i
Если источников погрешности n, то	i2		– среднеквадратиче-
	i 1

ская оценка погрешности, обусловленная i-м источником;

б) случайные погрешности сильно или жёстко коррелированные ( 1), суммируются с учётом следующих предпосылок. Если данная причина вызывает в различных узлах прибора изменения погрешностей в одном и том же направле-

нии, то погрешности складываются: 1 2 , если изменения противополож-

29