Симонов Томографические измерителные информационные системы 2011

Введя обозначения
	2 (х, у) = σ2 (х, у)					μ(х, у) 2			,		(4.4)
	иф	и
2	(х, у) = μ(х, у) −						2	μ(х, у) 2		,	(4.5)
			μ	и	(х, у)
иа
имеем	и2 (х, у) = иф2 (х, у) +						иа2 (х, у) .
											(4.6)
Представление величины		и2 (х, у)				в виде суммы двух слагае-
мых имеет определенный физический смысл. Первое											слагаемое

иф2 (х, у) дает количественную оценку случайных отклонений в изображении от среднего изображения в точке (х,у). Второе слагаемое иа2 (х, у) определяет отклонение среднего изображения от

истинного в точке (х,у). То есть если первое слагаемое в (4.6) определяется статистическими характеристиками флуктуационных эффектов, то второе от них не зависит. Таким образом, критерий

и2 (х, у) позволяет по отдельности проанализировать влияние флуктуационных факторов и факта отличия μи (х, у) от μ(х, у) на

качество изображения и сопоставить их между собой. Если оба слагаемых в (4.6) примерно одинаковы, то нарушение этого приближенного равенства в ту или иную сторону говорит о преобладании того или иного фактора.

Интегральное среднеквадратическое отклонение и2 . Оно определяется соотношением

и	П ∫∫			и (		)		(		)			П ∫∫		(		)			,
	1											dx dy	1						2
2 =			μ		х, у		−μ		х, у		2			μ		х, у		dx dy
		Ω												Ω				(4.7)

где П – количество точек (или пикселов) изображения области Ω. Критерий и2 аналогичен критерию и2 (х, у) с той лишь разницей, что он определяется для совокупности точек П в области Ω.

321

Все рассуждения, рассмотренные выше для и2 (х, у) справедливы

и для и2 :

2

1

σ2

(х, у) dx dy

1

μ(х, у) dx

=

П ∫∫

иф

и

П ∫∫

Ω

Ω

и2a =

1

∫∫ μ(х, у) −

2

1

∫∫μ(х, у)

μа (х, у)

П

П

Ω

Ω

2 2 dy ,

2

dx dy ,

(4.8)

(4.9)

и2 = иф2 + иа2 .

(4.10)

Нелинейность Не изображения. Критерий определяет разницу коэффициента линейного поглощения на изображении для различных точек (х1,у1) и (х2,у2) или для различных областей П1 (Ω1 ) и

П2 (Ω2 ) изображения
			Не(х, у) = μи (х1, у1 ) −μи (х2 , у2 ) ,				(4.11)
Не =		1	∫∫μи (х, у) dx dy −		1	∫∫μи (х, у) dx dy .	(4.12)
		П			П
	1		Ω2	2		Ω2
Этот	критерий			оценивает равномерность “распределения”
μи (х, у) ,	например,			от периферии к центру изображения, если

взять исследуемые точки (области) соответственно на периферии и в центре изображения.

Разрешающая способность. Эта величина определяется для изображения, представляющего собой совокупность двух и более одинаковых точечных источников возмущения (изменения)

μи (х, у) , и описывает то минимальное расстояние между этими

источниками, на котором они различаются.

Если бы изображение флуктуировало слабо, т.е. практически совпадало со своим средним, то можно воспользоваться критерием Рэлея [97]. Согласно этому критерию разрешение х соответствует тому расстоянию, при котором провал в точке с составляет около

322

19 % от максимального относительного значения μˆ (как правило, относительно μ воды) (рис. 4.1.), то есть разность относительного значения μˆ и (с1 ) в точке с1 (с2) и относительного значения μи в точке с должна быть больше 0,19 μˆ и (с1 ). Здесь следует отметить очевидный факт: чтобы выполнялось условие 0,19 μˆ и (с1 ), необходимо, чтобы дисперсия в точке с была в несколько раз меньше величины μˆ и (с1 ) −μˆ и (с), где μˆ – среднее относительное значение μ

на изображении. Иначе, требуемое разрешение будет невозможно заметить на уровне общего “шума” изображения.

Эти условия можно записать в виде:

0,81 μˆ и (с1 ) > μˆ и (с) ,			(4.11')
0,19		(с1 ) > γσˆ и (c) ,	(4.12)
	μˆ и

где γ >1, и чем больше γ , тем с большей вероятностью будет заметен провал между точками с1 и с.

μИ( X )

Фантом ( H2O) μИ( X )

Инородные
вставки		μИ H2 O
	X	X		X
Воздух
D		0	D	X

Рис. 4.1. Пояснения к определению разрешающей способности на изображении

4.3. Классификация артефактов

Рассмотрим сначала постановку задачи анализа искажений (артефактов) изображения.

323

Пусть μи(r) – информация, которая представляется в форме, допускающей дискретизацию, имеющуюся в плоскости изображения. Произвольная точка на этой плоскости задается радиусомвектором r. Предположим теперь, что информация μи(r) подвергается инвариантному во времени искажению, определяемому функцией h(r,ξ) , т. е. значение функции μи(r) в точке ξ “разма-

зывается” на плоскости изображения в соответствии с видом функции h(r,ξ) . Это означает, что рассматриваются только ли-

нейные искажения, так что искаженный сигнал b(r ) , несущий

информацию о функции μи(r), может быть в общем виде записан следующим образом:

∞
b(r ) = ∫ ∫μи (ξ) h(r,ξ)dσ(ξ) ,	(4.13)

−∞

где dσ(ξ) – элемент площади с центром в точке изображения, определяемом радиусом-вектором ξ.

В выражении (4.13) указан двойной интеграл ввиду двухмерности плоскости изображения. Бесконечные пределы говорят о том, что интегрированием охватывается все изображение.

Определить функцию μи(ξ) по (4.13), если искажение имеет достаточно общий характер, сложно. В модели пространственноинвариантных искажений [98], характеризующихся тем, что размытие получается одним и тем же для всех точек r, функция задающая искажение, имеет вид

h(r,ξ) = h(r −ξ) .	(4.14)
Если функцию (4.14) подставить в выражение (4.13), то полу-
чим интеграл свертки, и выражение можно записать
b(r ) = μи (r ) h(r ) .	(4.15)

Каких-либо ограничений на вид ядра свертки h(r) не существует. Однако на практике встречаются вполне определенные виды этой функции, приводящие к типовым артефактам.

Линейный смаз. Он возникает, если исследуемый объект перемещается в процессе сканирования (либо перемещается парал-

324

лельно самому себе рентгенооптический тракт). В этом случае h(r) имеет вид h(r + r) . Линейный смаз приводит к размазыва-

нию изображения, как бы к потере резкости изображения, а также

ккруговым кольцам определенной величины. Причинами линейного смаза могут быть недопустимая нежесткость рентгенооптического тракта, движение объекта исследования, перемещение фокуса рентгеновской трубки по горизонтали и т. д.

Расфокусировка. В этом случае функция h(r) имеет вид, близкий к кругу. Данный круг есть пересечение плоскости изображения с конусом гипотетических лучей, исходящих из трубки, который сходится в точку в плоскости изображения, если трубка находится в фокусе. Причиной расфокусировки может быть по- ступательно-возвратное перемещение по вертикали фокуса рентгеновской трубки, что на томограмме проявляется в виде круговых колец около центра реконструкции.

Случайные импульсы. В этом случае функция h(r) – это набор случайных импульсов, и изображение получается в виде “пятнистости”. Причинами “пятнистости” могут быть малая интенсивность излучения после объекта исследования, приводящая

кнедопустимой квантовой ошибке; недопустимая ошибка проекционных данных, приводящая к неустойчивости алгоритма реконструкции; выбор параметра регуляризации фильтрующего ядра свертки и самого ядра, обеспечивающего недопустимую фильтрацию высоких частот и т. д.

Гауссовский импульс. Функция h(r) приближается к форме гауссовского импульса. На изображении видны локальные светящиеся (или темнеющиеся) точки или области. Одной из причин этого искажения может быть изменение чувствительности детекторов по синусоидальному закону во время сканирования.

Освободиться в полной мере от влияния рассмотренных причин на искажение изображения не представляется возможным. Эти причины в той или иной степени при реконструкции изображения всегда присутствуют, и мерой их влияния является функция h(r).

Функция h(r), определенная соотношениямм (4.14) и (4.15), называется функцией рассеяния (или размытия) точки (ФРТ). Оп-

325

ределяя ФРТ для томографа, можно анализировать влияние тех или иных причин и факторов на качество (искажение) изображения.

4.4. Методы анализа влияния детерминированных факторов

4.4.1. Импульсная функция

Импульсная функция, или функция рассеяния точки (ФРТ) томографа, дает возможность определить пространственную разрешающую способность, оценить влияние на эту характеристику того или иного фактора.

Импульсную функцию томографа h(r) можно определить, если известна его передаточная частотная функция в соответствии с преобразованием Фурье

∞
h(r) = ∫ H (ν)ei 2πνr dν ,	(4.16)

−∞

где H(ν) – передаточная функция томографа; ν – пространственная частота.

Однако определение передаточной функции H(ν) всего томографа является достаточно сложной задачей (решается в подразде-

ле 4.4.4).

Для упрощения задачи найдем импульсную функцию, которая обеспечивается ядром свертки алгоритма реконструкции обратного проецирования с фильтрацией сверткой. Из выражения (3.138) следует, что фильтрующие свойства алгоритма определяются сворачивающей функцией (3.141)

gˆ(ν) =		ν		W (ν) .	(4.17)

Передаточная частотная функция H(ν) любой системы или звена этой системы является по своему физическому смыслу частотным фильтром [100], поэтому импульсная функция ядра свертки (4.17) в соответствии с (4.16) определится как

326

ν

hя (r ) = ∫

ν

W (ν) exp(i 2πνr ) dν .

(4.18)

−ν

Если в качестве функции окна W(ν) выбрать

1,

при

ν

≤

1

2d

W (ν) =

(4.19)

0,

при

ν

>

1

,

2d

где d – апертура детектора, то подставляя значения W(ν)

(4.19) и

ν =

1

в (4.18), получим импульсную характеристику ядра свертки

2d

2 .

h

(r ) =

1

sin (2πr

2d )

−

1

sin (πr 2d )

(4.20)

я

2d

2

2πr 2d

4d 2

πr 2d

На рис. 4.2 показана импульсная характеристика томографа, ес-

ли она описывается импульсной характеристикой ядра свертки.

hЯZ (r)

1,0

0,8

0,6

0,5

0,4

0,2

−2

2

0

r d

−1

0 0,6 1

3

−0,2

Рис. 4.2. Нормированная импульсная функция томографа (4.20)

Из рисунка видно, что пространственная разрешающая способность томографа (распознавание детали размером r) будет определяться для значения 0,5hя(r) соотношением

327

r ≥ (0,5−0,6)d .

(4.21)

Для томографа, например, РКТ–01, имеющего апертуру единичного детектора d =1,56 мм, предельное разрешение будет равно r ≥ 0,8−1 мм.

4.4.2. Модуляционная передаточная функция

Известно, что изображение любого объекта исследования может быть построено из спектра различных пространственных частот. При этом амплитуда каждой частоты зависит от характеристик объекта исследования. Передаточная функция показывает, насколько хорошо томограф передает различные частотные составляющие объекта исследования в изображение. Чем выше пространственная разрешающая способность, тем больше значение передаточной функции на высоких частотах. То есть передаточная функция томографа определяет как бы качественную сторону разрешения, и поэтому она может использоваться для сравнения передачи пространственных частот объекта исследования различных томографов.

Если известна импульсная функция томографа h(r), то передаточная функция определяется, как [99]

∞
H (ν) = ∫ h(r) e−i 2πνr dr .	(4.22)

−∞

Для импульсной функции томографа h(r) вида (4.20) передаточная функция будет определяться соотношением в соответствии с (4.16)

					H (ν) =			ν		W (ν) ,	(4.23)
		ν		≤	1
1,	при
					2d
где W (ν) =					1
		ν		>
0,	при					.
					2d

328

Как видно из (4.23), пространственное разрешение обусловлено

восновном такими параметрами, как величина апертуры детектора d, тип ядра свертки W(ν) и некоторыми другими.

Однако для анализа передачи частотных составляющих объекта

втомографии удобно оперировать не передаточной функцией Н(ν),

амодуляционной передаточной функцией Нм(ν), так как при установлении разрешения определенной детали r, размеры которой более апертуры детектора d, важно определение частотной огибаю-

щей – модуляции поведения несущей частоты ν =12π . Модуляционная передаточная функция (МПФ) для томографа с передаточной функцией Н(ν) (4.23) определится как

Нм (ν) = Н(ν)	sin (πνd )	.	(4.24)
	πνd

Для некоторых типов томографов на рис. 4.3 показаны модуляционные передаточные функции [91], рассчитанные по (4.23); также показаны для сравнения передаточные функции разработанного томографа РКТ-01.

МПФ

HM (ν)

1
0,75				1				2
0,50												3
0,25
0	1			2		3		4		5		6 ν,1 cmм

Рис. 4.3. Модуляционные передаточные функции (МПФ) некоторых томографов:

1 – СТ-Т 8800; 2 – СТ-Т 7800; 3 – РКТ-01

329

Из рисунка видно, что передача частотных составляющих объекта исследования в изображение проводится лучше у томографа РКТ-01, чем у томографов СТ-Т 7800 и СТ-Т 8800 разработки фирмы “Дженерал электрик”. Можно также сказать, что при низкочастотных составляющих, которые определяют шумовые характеристики изображения, а в итоге и разрешение мало-контрастных деталей объекта, разрешение выше у томографа РКТ-01.

4.4.3. Диаграмма контраст–деталь–доза

В п. 2.2 достаточно подробно рассматривались ограничения применения рентгеновского излучения для томографии человека. Было показано, что квантовая природа рентгеновского излучения ограничивает информационные возможности томографии соотношением “неопределенности” вида (2.53)

	μ	2	х3 b ,
σД =				(4.25)
	Δμ

где δμ = Δμμ – относительная погрешность измерения коэффици-

ента линейного поглощения рентгеновского излучения; σ – квантовая эффективность детектора; Д – доза излучения; х – пространственное разрешение; b – толщина слоя.

Точность воспроизведения пространственной структуры объекта исследования зависит от действия шумов δμ , минимальный уро-

вень которых определяется квантовым шумом излучения (4.25). Таким образом, при заданных значениях х , определяемого апертурой детектора d, и толщины слоя b можно определить зависимость уровня шума δμ (Д) от дозы Д. С другой стороны, передача

шума определяется модуляционной передаточной функцией томографа (4.24). При 100 % контрасте ( Δμμ = 100 %) исходя из рис. 4.3 (например, для томографа РКТ–01) разрешаются детали размером r =12ν >0,8 мм. При уменьшении контраста детали относи-

тельно основного тела при заданной дозе получаем уменьшение разрешения. Поэтому для оценки реальной разрешающей способ-

330