Симонов Томографические измерителные информационные системы 2011

ности томографа при воспроизведении малоконтрастных деталей (периодических структур) пользоваться формулой (4.25) некорректно, и здесь необходим совместный учет МПФ томографа (4.24)

и уровня шумов δμ (Д) , определяемого по (4.25). Выражение, оп-

ределяющее разрешающую способность томографа при воспроизведении структур с произвольным контрастом, можно записать в виде

Δμ	≥ δμ (Д) Нм−1 (r ) ,	(4.26)
μ

где Нм (r ) – модуляционная передаточная функция, пересчитанная с ν на r =12ν .

На рис. 4.4 показаны диаграммы контраст–деталь–доза для томографов СТ-Т 7800 и РКТ-01.

Δμ μ,%
100
10
4,5
	1
4,0
3,5
3,0		2
2,5
2,0		2 '
1,5
1,0	1'
0,5
										r, мм
0	0,8 1,0 1,6 2,0					3,0		4,0

Рис. 4.4. Диаграмма контраст–деталь–доза для томографа РКТ-01 (кривые 1 и 1') и томографа СТ-Т 7800 (2 и 2'); кривые 1 и 2 – для дозы Д = 7,8 рад, кривые 1' и 2' – для дозы Д =1,9 рад

В томографии рекомендуется различать три основные зоны. Первая из них лежит в пределах контрастов деталей от 10 до 100 % и характеризуется малой зависимостью от контраста объекта и дозы излучения, и сильно зависит от предельного разрешения томо-

331

графа или модуляционной передаточной функции. Вторая зона называется переходной и лежит в пределах контраста от 1 до 10 % и характеризует переход от преобладания модуляционной передаточной функции до преобладания шума. При этом важную роль играют и доза, и контраст, и модуляционная передаточная функция. Третья зона с контрастом от 0,1 до 1 % называется зоной шумов. Кривые в этой зоне мало зависят от модуляционной передаточной функции и значительно – от дозы и контраста.

4.4.4.Влияние параметров томографа на модуляционные передаточные и импульсные функции

Определение влияния параметров томографа на точность воспроизведения пространственной структуры объекта исследования возможно, если представить весь томограф в виде определенной передаточной функции НТ(ν), играющей роль линейного простран-

ственного фильтра, где ν = ν2х + ν2у – пространственная частота.

Входной величиной этого фильтра является исходное распределение линейного коэффициента поглощения μ(х, у) по объекту ис-

следования, выходной – воспроизводимое распределение этого коэффициента – μвых (х, у) .

В общем виде частотная структурная схема томографа дана на рис. 4.5.

μ(x, y)	HT (ν)	μbuxвых (x, y)

Рис. 4.5. Обобщенная частотно–структурная схема томографа

Однако обобщенное частотное звено томографа НТ(ν) состоит из достаточно большого количества звеньев, которые описывают те или иные системы томографа. Необходимо ясно представлять, какие реальные физические свойства систем томографа определяют параметры этих звеньев. С этой целью представим информационную модель томографа.

332

На рис. 4.6 показана схема информационных потоков основных физических систем томографа, определяющих точность выходных характеристик изображения. Томограф представляет собой разомкнутую систему: на вход объекта исследования (ОИ) поступают физические воздействия в виде интенсивности рентгеновско-

го излучения J0	c нестабильностью J0, спектра излучения N0(E) c
его изменением N0(E), фокусного пятна источника излучения Ф с
его девиацией	Ф. Все эти воздействия, которые исходят из рент-

геновской трубки (РТ) при М ракурсах ОИ, управляются анодным напряжением U+ Ua и эмиссионным током I+ Ia.

Ua +Ua

Ja +Ja

ПОД

		d +	d N σ	(	E	)
J0 +	J0	Jr + Jr					ЭДС qr(		) +Δqr(цu	)
РТ N0 (E)+ΔN0 (E ) ОИ					qr(a) +Δqr(a)			цu
		Nr (E)+ΔNr (E)	Д
Ф +	Ф
α	( )
	W ν

qr(ln) +Δqr(ln)

Свертка	gr	+ gr	Интерполятор	gr	+	gr	Обратный

Реконструктор

проектор

μ(x, y)+Δμ

Изображение

(томограмма)

X

Δμμ

σШIII

He

Выходные характеринстики изображения

Рис. 4.6. Информационная модель томографа

На выходе ОИ имеем	выходную интенсивность Ir + Ir и вы-
ходной спектр излучения	Nr (E) + Nr (E) в результате прохожде-

ния первоначального излучения через ОИ. Эти физические параметры поступают на детектор Д с N количеством единичных детек-

торов с апертурой d + d и квантовой эффективностью σ(Е) , которые преобразуют физические параметры в аналоговые электрические сигналы qr(a) + qr(a) с объемом информации в виде мат-

рицы M × N . Аналоговые сигналы преобразуются в электронной системе сбора данных (ЭСД) в матрицу кодовых цифровых сигна-

333

лов qr(ц) + qr(ц) размером M × N . Сначала цифровые сигналы с

ЭСД поступают в реконструктор изображения – в блок предварительной обработки данных (ПОД), на выходе которого имеем интерполированные проекции (отфильтрованные логарифмированные

цифровые сигналы) qr(ln) + qr(ln) размером M × N . Затем проекции поступают в блок свертки для дискретного “сворачивания” проекций с выбранным ядром свертки W(ν), имеющим коэффициент регуляризации (устойчивости алгоритма) α, и на выходе имеем свернутые дискретные проекции gr + gr размером M × N . Свернутые проекции поступают на интерполятор, на выходе которого имеем интерпо-лированные дискретные проекции gr + gr размером M × N ×число точек интерполяции. Интерполированные проекции поступают на обратный проектор, на выходе которого получается восстановленная функция μ(х, у) + Δμ , которая представляется на

мониторе ЭВМ в виде томограммы размером матрицы M x ×M y с пространственным разрешением x , плотностным разрешением Δμ , величиной “шума” σш и нелинейностью He .

Таким образом, в информационной модели томографа (рис. 4.6) имеется большое количество физических, математических и технических параметров, которые влияют на выходные характеристики – качество томограммы.

Формально их влияние на характеристики изображения, как разомкнутой системы, можно представить в виде рис. 4.7.

В комплексной форме разомкнутую систему томографа можно

представить, как:
Ym = An Xn ,	(4.27)

где Хп – вектор входных параметров томографа; Ym – вектор выходных параметров изображения; Ап – интегральные операторы преобразования входных параметров в выходные.

Для аналитического определения передаточной функции томографа НТ(ν) необходимо определить аналитически интегральные операторы Ап. Однако не для всех входных параметров можно дос-

334

таточно корректно определить операторы, а для многих случаев эта задача может быть не решаемой, так как:

а) интегральные операторы могут состоять из суммы или произведений более мелких операторов, определяющих функционирование узлов, блоков и т. д., которые необходимо определять;

б) многие операторы томографического процесса не удается формализовать, так, например, преобразование цифровых данных перед использованием их в алгоритме восстановления изображения, или влияние радиального и осевого биения подшипника сканирующей системы, или влияние полихроматичности излучения и т. д.

Параметры				Интегральные				Выходные
								характеристики
томографа					операторы
								изображения
	X1					A1			Y1
	X2					A2			Y2
	X3					A3			Y3
			.
	.					.			.
	.		.			.			.
	.		.			.			.
	Xn					An			Ym

Рис. 4.7. Представление томографа в виде разомкнутой системы

Выход из этого затруднительного положения возможен, если для такого рода процессов создать модели и провести моделирование влияния параметров этих процессов на выходные характеристики изображения. Далее такие модели рассматриваются. Здесь же определим передаточные функции для тех процессов, которые возможно описать формально:

а) для апертуры детектора импульсная функция

	h	(r ) = rect	r		K		,	(4.28)
						у
	дет
			d

	x				1,	при		х		≤ а 2,
где	rect			=						d – ширина апертуры детектора;
	a				0,	при		х		> а 2,
Kу – геометрическое увеличение рентгенооптики, равное отноше-
							335

нию расстояния от фокуса источника излучения до входного окна детектора к расстоянию от фокуса до центра области реконструкции.

Воспользовавшись преобразованием (4.22), получим передаточную функцию детектора

					d
	Ндет (ν) = sin c						ν	,		(4.29)
				K
						у
	sin (πa x)
где sin c(a x) =		;
	πa x
б) для оптического фокуса рентгеновской трубки аналогично
можем получить			b(Kу −1)					ν
	Нф (ν) = sin c								,	(4.30)
		K			у

где b – размер фокусного пятна;

в) передаточная функция инерционного измерительного канала детектора+ЭСД, усредненная для встречных направлений сканирования

	Низ (ν) =		Н (ν,v) + H (ν − v)						=
				2
exp		−i arctg(2πv τν)2							1	(4.31)
= Re						=				,
		1+ (2πv τν)2						+ (2πv τν)2
						1

где v – линейная скорость движения луча; τ – постоянная времени накопления заряда на измерительной емкости;

г) передаточная функция интерполяции измерительных данных (цифровых кодов)

Ни.из (ν) = rect (d ν) ;					(4.32)
д) передаточная функция ядра свертки
Ня (ν) =		ν		W (ν) ;	(4.33)

ж) передаточная функция интерполяции свернутых проекций (в случае линейной интерполяции)

336

Ни (ν) = sin c2 ( l ν),

(4.34)

где l – интервал дискретизации проекции при интерполяции.

С учетом выражений (4.29)–(4.34) и представления томографа, как разомкнутой системы (см. рис. 4.6), передаточная функция то-

мографа Нт(ν) примет вид

Нт (ν) = Ндет (ν) Нф (ν) Низ (ν) Ни.из (ν) Ня (ν) Ни (ν) , (4.35)

что соответствует

b(Kу −1)

d

1

Нт (ν) = sin c

ν sin c

ν

×

K

K

2

y

у

1+ (2πv τν)

× rect (d ν)

ν

W (ν) sin c2 ( l ν).

(4.36)

Выражение (4.36) отражает характер зависимости коэффициента ослабления амплитуды гармонических составляющих контроли-

руемого распределения μ(х, у) объекта исследования от физиче-

ских, конструктивных и расчетных параметров томографа (размера апертуры единичных детекторов, фокуса рентгеновской трубки, геометрических размеров рентгеновского тракта, постоянной времени измерительного тракта, скорости движения веерного луча относительно объекта во время сканирования, интервала дискретизации при измерении и вида интерполяционного фильтра измерительных данных, вида ядра свертки и вида интерполяции свернутых проекций).

На рис. 4.8 представлены передаточные функции томографа РКТ-01, имеющего d = 1,56 мм, Kу = 1,5, b = 1,2 мм, v = 160 мм/с,

τ = 0,05 мс, l = 0,2 мм, ядро свертки W(ν) в соответствии с выражением (4.23). Из графиков видно, что передача пространственных частот объекта исследования определяется, в основном, апертурой детектора и интерполяционной функцией свернутых проекций. Для более широкой апертуры детектора (при этом r =1/ (2ν) увеличи-

вается) в соответствии с выражением (4.26) снижается контраст передачи пространственных частот. В соответствии с выражением (4.16) можно определить импульсные функции томографа, используя (4.36), и отдельных звеньев, используя (4.29)–(4.34).

337

H (ν)
1				1,3						0,6					0,4		r =1/2ν, мм
															5
0,75								2							4
0,50										3
0,25						1
																	ν, 1/см
0	2			4		6		8		10			12		14

Рис. 4.8. Передаточные функции томографа РКТ–01:

1 – всего томографа (выражение (4.36)); 2 – апертуры детектора (4.29); 3 – интерполяции свернутых проекций (4.34); 4 – инерционного измерительного

канала (4.31); 5 – фокуса рентгеновской трубки (4.30)

h (r)
1,0					1
					2
4					3
0,5							0,8		мм
		−1								1
																	r, мм
	−2					−0,52 0				0,52					2
		−0,78 −0,6								0,6					0,78

Рис. 4.9. Импульсные функции:

1 – апертуры детектора РКТ–01; 2 – линейной интерполяции свернутых проекций РКТ–01; 3 – томографа РКТ–01 в целом; 4 – томографа РКТ–01 с апертурой детектора d = 2,5 мм

338

На рис. 4.9 представлены импульсные функции томографа РКТ-01 в целом и его звеньев, определяемых апертурой детектора и интерполяцией свернутых проекций, а также импульсные функции томографа РКТ-01 для различных значений апертуры детектора. Из графиков видно, что расчетно-теоретический предел пространственного разрешения томографа РКТ-01 составляет ~0,8 мм для высококонтрастных деталей исследуемого объекта.

4.5. Методы анализа влияния случайных факторов

В практике получения томографических изображений важно знать, каким образом погрешность в определении проекционных данных, причиной которой могут быть различные случайные факторы, влияет на погрешность изображения, от каких параметров алгоритма реконструкции это влияние является наиболее значимым, какие допустимые значения может принимать погрешность проекционных данных при заданной погрешности изображения.

Дадим математическую формулировку поставленной задачи. Пусть измеряемые проекционные данные имеют вид

Ри (l,θ) = P(l,θ) + n(l,θ) ,

(4.37)

где Р(l,θ) – детерминированные проекционные данные; n(l,θ) – случайная функция шума, у которой математическое ожидание

	= 0	(4.38)
n(l,θ)

и корреляция шума

Kш (l1 −l2 , θ1 − θ2 ) = n(l1,θ1 ) n(l2 ,θ2 ) = Kl (l1 −l2 ) δ(θ1 −θ2 ) . (4.39)

Наличие δ-корреляции по параметру θ отражает обычно реализующуюся на практике ситуацию, при которой проекции для различных ракурсов θ получают независимо друг от друга.

Спектральную плотность шумовой составляющей по координате l обозначим Klф (l ) , тогда получим

∞
Kl (l ) = ∫ Klф (ν) еi 2πνl dν .	(4.40)

−∞

339

Корреляционную функцию Kl (l) целесообразно выбирать в виде гауссовской функции, как наиболее встречающейся в практике

Kl (l ) = σш2 е−l2 2r ,	(4.41)
где σш – среднее квадратическое отклонение шума; r	– параметр

распределения.

Половина интервала, в котором сосредоточены основные значения корреляционной функции (4.41), обозначим rк, а ее значение оценим как эффективный радиус корреляции [10]. Тогда

		1	∞
	rк =		∫ Kl (l ) dl = l π 2 ,	(4.42)
		2
		σш 0
	а спектральная плотность	Klф (ν) , используя обратное преобразо-

вание Фурье выражения (4.40) и выражение (4.41) для Kl (l) , запи-

шется как
∞
Klф (ν) = ∫ Kl (l ) e−i 2πl ν d l = 2πσш2 r e−2n2 r2 ν2 . (4.43)
−∞
При r → 0 Kl (l)	из выражения (4.41) стремится к нулю, т. е.
к
шум становится некоррелированным и по параметру l.

Учитывая результаты исследования алгоритмов реконструкции (см. п. 3.5), для параллельной геометрии лучей для алгоритма обратного проецирования с фильтрацией сверткой функция, определяющая восстанавливаемое изображение, задается равенством

π	∞
μи (х, у) = ∫dθ ∫ Pи (l,θ) g (xcosθ + y sin θ −l )dl ,							(4.43′)
0	−∞
где		∞
	g (l )	= ∫		ν		W (ν) ei 2πνl dν .	(4.43″)

−∞

Задача состоит в том, чтобы для случая, когда выполняется равенство (4.37), определить статистические функции μи (х, у)

(4.42), и в соответствии с выбранным критерием (см. п. 4.2) проанализировать качество изображения.

340