Расчетные задания (Кузнецов) / 8-Векторный анализ

3.a = 2xi + 2 yj + zk,

y = x2 , y = 4x2 , y =1(x ≥ 0),

S :

z = y, z = 0.

4.a = 3xi − zj,

	= 6 − x				2	− y			2	,
S : z
	2	= x	2	+ y			2	(z ≥ 0).
z

5. a = (z + y)i + yj − xk,

	2	+ y	2	= 2 y,
S : x
y = 2.

6. a = xi −(x + 2 y) j + yk,

	2	+ y	2	=1, z = 0,
S : x

x + 2 y +3z = 6.

7. a = 2(z − y)i +(x − z)k,

z = x2 + y2 +1, z = 0,

S :

x2 + y2 =1.

8. a = xi + zj − yk,

z = 4 −2(x2 + y2 ),

S :

z = 2(x2 + y2 ).

9. a = zi −4 yj + 2xk,

	2	+ y	2	,
S : z = x

z =1.

10. a = 4xi −2 yj − zk,

3x + 2 y =12,3x + y = 6, y = 0,

S : x + y + z = 6, z = 0.

11. a = 8xi −2 yj + xk,

x + y =1, x = 0, y = 0,

S :

z = x2 + y2 , z = 0.

12. a = zi + xj − zk,

4z = x2 + y2 ,

S :

z = 4.

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа!

www.otlichka.ru

13. a = 6xi −2 yj − zk,

	= 3 −			2(x	2		+ y	2	),
S : z						2
	2	= x	2	+ y			(z ≥ 0).
z

14. a = (z + y)i +(x − z) j + zk,

x2 + 4 y2 = 4,

S :

3x + 4 y + z =12, z =1.

15. a = ( y + 2z)i − yj +3xk,

S : 3z = 27 −2(x2 + y2 ),

z = x2 + y2 (z ≥ 0).

16. a = ( y +6x)i +5(x + z) j + 4 yk,

y = x, y = 2x, y = 2, S : z = x2 + y2 , z = 0.

17. a = yi +5 yj + zk,

x2 + y2 =1,

S :

z = x, z = 0(z ≥ 0).

18. a = zi +(3y − x) j − zk,

		2	+ y		2	=1,
	S : x
				2			2
	z = x				+ y			+ 2, z = 0.
	19. a = yi +(x + 2 y) j + xk,
		2	+ y		2	= 2x,
	x
	S : z = x2 + y2 ,
	z = 0.

20. a = (x + yz)i +(2 y − x) j +(3z + y)k,

u − x, y = 2x, x =1, S : z = x2 + y2 ,

z = 0.

21. a = 7xi + zj +(x − y +5z)k,

	2	+ y	2	,
z = x

S : z = x2 + 2 y2 ,

y = x, y = 2x, x =1.

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа!

22. a =17xi +7 yj +11zk,

	= x		2	+ y		2	,
z
S : z = 2(x2 + y2 ),
			2	, y = x.
y = x
23. a = xi −2 yj +3zk,
	2	+ y		2	= z,
S : x
z = 2x.

24. a = (2x + y) j +( y + 2z)k,

z = 2 −4(x2 + y2 ),

S :

z = 4(x2 + y2 ).

25. a = (2 y −3z)i +(3x + 2 y) j(x + y + z)k,

x2 + y2 =1,

S :

z = 4 − x − y, z = 0.

26. a = −2xi + zj +(z + y)k,

		2	+ y		2	= 2 y,
	x
	S :
				2			2
	z = x				+ y			, z	= 0.

www.otlichka.ru

27. a = (2 y −15x)i +(z − y) j −(x −3y)k,

				2			2
	z = 3x				+ y				+1, z = 0
	S :	2		2		1
	x		+ y		=			.
						4

28. a = ( y + z)i +(x −2 y + z) j + xk,

		2	+ y		2	=1,
	x
	S :
				2			2
	z = x				+ y			, z = 0.
	29. a = (3x − y − z)i +3yj + 2zk,

S : z = x2 + y2 , z = 2 y.

30. a = (x + y)i +( y + z) j +(z + x)k,

y = 2x, y = 4x, x =1,
S :	2 , z = 0.
z = y
31. a = (x + z)i + yk,
	− x		2	− y		2	,
z = 8
S :
	2			2
z = x		+ y			.

Задача 9. Найти поток векторного поля ачерез замкнутую поверхность S (нормаль внешняя).

1. a = x2i + xj + xzk,

5. a = xzi + zj + yk,

2

2

x

2

+ y

2

=1 − z,

z = x

+ y

, z =1,

S :

S : x = 0, y = 0,

z

= 0.

6. a = 3xzi −2xi + yk,

(1октант).

2. a = (x2 + y2 )i +( y2 + z 2 ) j +( y2 + z 2 )k,

x + y + z =

2, x =1,

S :

= 0, y = 0, z = 0.

S

2

+ y

2

=1,

x

: x

7. a = x

2

i + y

2

j

+ z

2

k,

z = 0, z =1.

3. a = x2i + y2 j + z 2 k,

z

= x2 + y2

+ z 2 ,

S :

= 0(z ≥ 0).

2

+ y

2

+ z

2

= 4,

z

x

S :

2

2

2

8. a = x

3

i + y

3

j

+ z

3

k,

+ y

= z

(z ≥ 0).

x

4. a = x

2

i

+ yj + x \ zk,

S : x2 + y2 + z 2 =1.

2

2

2

S

: x

+ y

+ z

=1,

z = 0(z ≥ 0).

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа!

www.otlichka.ru

9. a = (zx + y)i +(zy − x) j +(x2 + y2 )k,

		2			2			2
S : x			+ y			+ z			=1,
	z = 0(z ≥ 0).
10.	a = y2 xi + z 2 yj + x2 zk,
S : x2 + y2 + z 2 =1
11.	a = x2i + y2 j + z 2 k,
		= x		2	+ y		2	+ z		2	=1,
	z
S : x = 0, y = 0, z = 0
	(1октант).
12.	a = x2i + xyj +3zk,
S : x			+ y			= z			,
		2			2			2
	z = 4.
13.	a = (zx + y)i +(xy − z) j +(x 2 + yz)k,
		2	+ y		2	= 2,
S : x
	z = 0, z =1.
14.	a = xy2i + x2 yj + zk,
		2	+ y		2	=1, z = 0, z =1,
	x
S : x = 0, y = 0,
	(1октант).
15.	a = xyi + yzj + zxk,
		2	+ y		2	+ z		2	=16,
	x
S :		2			2			2
			+ y			= z			(z	≥ 0).
	x
16.	a = 3x2i −2x2 yj +(2x −1)zk,

x2 + y2 =1,

S :

z = 0, z =1.

17.	a = x2i + y2 j + 2zk,
	x	2	+ y	2	=	1		,
S :					4
		= 0, z = 2.
	z
18.	a = xyi + yzj + xzk,
		2	+ y	2	= 4,
S : x
	z = 0, z =1.

19.	a = xyi + yzj + zxk,
	x		+ y			+ z			=1,
		2			2			2
S : x = 0, y = 0, z = 0,
	(1октант).
20.	a = zi + yzj − xyk,
		2	+ y		2	= 4,
S : x
	z = 0, z =1.
21.	a = (zx + y)i −(2 y − x) j +(x2 + y2 )k,
		2			2			2
S : x			+ y			+ z			=1,
	z = 0(z ≥ 0).
22.	a = (x2				+ xy)i +( y2 + yz) j +(z 2 + xz)k,
		2	+ y		2	+ z		2	=1,
	x
S :		2			2			2
			+ y			= z			(z ≥ 0).
	x
23.	a = 3x2i −2x2 j +(1 −2x)k,
		2	+ y		2	=1,
S : x
	z = 0, z =1.
24.	a = x2i,
	z =1 − x − y,
S :		= 0, y = 0, z = 0.
	x
25.	a = ( y2				+ xz)i +( yx − z) j +( yz + x)k,
		2	+ y		2	=1,
	x
S :
		= 0, z =						2.
	z
26.	a = yi + y2 j + yzk,
				2			2
	z = x				+ y			, z =1,
S : x = 0, y = 0,
	(1октант).
27.	a = yi + 2zyj + 2z 2 k,
		2	+ y		2	=1		− z,
S : x
	z = 0.
28.	a = 2xyi + 2xyj + z 2 k,
	x2 + y2 + z 2 = 2,
S :		= 0(z ≥ 0).
	z

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа!

www.otlichka.ru

29.

a = y2 xi + x

2 yj +

z3

k,

31.

a = ( y2 + x2 )i +(xy + y2 ) j +(xz + z)k,

3

x2

+ y2 + z 2 =1,

S :

2

+ y

2

=1,

S :

x

z

= 0(z ≥ 0).

z = 0, z =1.

30.

a = −xi + 2 yj + yzk,

S : x

+ y

= z

,

2

2

2

z = 4.

Задача 10. Найти работу силы F при перемещении вдоль линии L от точки M к точке N .

1.

F = (x2

−2 y)i +( y2

−2x) j, L : отрезок MN , M (−4,0), N (0,2).

2.

F = (x2

+ 2 y)i +( y2

+ 2x) j, L :отрезок MN , M (−4,0), N (0,2).

3.

F = (x2

+ 2 y)i +( y2

+ 2x) j, L : 2 −

x2

= y, M (−4,0), N(0,2).

8

4.

F = (x + y)i + 2xj, L : x2 + y2 = 4( y ≥ 0), M (2,0), N (−2,0).

5.

F = x3i − y3 j, L : x2

+ y2 = 4(x ≥ 0, y ≥ 0), M (2,0), N(0,2).

6.

F = (x + y)i +(x − y) j, L : y = x2 , M (−1,1), N(1,1).

7.

F = x2 yi − yj, L : отрезок MN , M (−1,0), N (0,1).

8.

F = (2x − y)i +(x2

+ x) j, L : x2

+ y2 = 9( y ≥ 0), M (3,0), N(−3,0).

9.

F = (x + y)i +(x − y) j, L : x2 +

y2

=1(x ≥ 0, y ≥ 0), M (1,0), N (0,3).

9

10.

F = yi − xj, L : x2

+ y2

=1( y ≥ 0), M (1,0), N(−1,0).

F = (x2 + y2 )i +(x2 − y2 ) j,

11.

L :

x,0 ≤ x ≤1;

M (−2,0), N(0,0).

2 − x,1 ≤ x ≤ 2,

12.

F = yi − xj, L : x2

+ y 2

= 2( y ≥ 0), M (

2,0), N (− 2,0).

13.

F = xyi + 2 yj, L : x2 + y2 =1(x ≥ 0, y ≥ 0), M (1,0), N(0,1).

2

2

1

1

14.

F = yi − xj, L : 2x

+ y

=1( y

≥ 0), M

,0

, N

−

,0

.

2

2

15.

F = (x2 + y2 )(i + 2 j), L : x2 + y2 = R2 ( y ≥ 0), M (R,0), N(−R,0).

16.

F = (x + y

x2 + y 2 )i +( y − x

x2 + y 2 ) j, L : x2

+ y 2

=1( y ≥ 0), M (1,0), N (−1,0).

17.

F = x2 i − xy2 j, L : x2 + y2 = 4(x ≥ 0, y ≥ 0), M (2,0), N(0,2).

18.

F = (x + y

x2 + y 2 )i +( y − x

x2 + y 2 ) j, L : x2

+ y 2

=16(x ≥ 0, y ≥ 0), M (4,0), N (0,4).

19.

F = y2i − x2 j, L : x2 + y2 = 9(x ≥ 0, y ≥ 0), M (4,0), N(0,4).

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа!

www.otlichka.ru

20.F = (x + y)2 i −(x2 + y2 ) j, L : отрезок MN , M (1,0), N (0,1).

21.F = (x2 + y2 )i + y2 j, L :отрезок MN , M (2,0), N (0,2).

22.	F = x2 j, L : x2 + y2 = 9(x ≥ 0, y ≥ 0), M (3,0), N(0,3).
23.	F = ( y2 − y)i +(2xy + x) j, L : x2 + y2 = 9( y ≥ 0), M (3,0), N(−3,0).

24.F = xyi, L : y = sin x, M (π,0), N (0,0).

25.F = (xy − y2 )i + xj, L : y = 2x2 , M (0,0), N (1,2).

26.F = xi + yj, L : отрезок MN , M (1,0), N (0,3).

27.	F = (xy − x)i +						x2			j, L : y = 2					x, M (0,0), N (1,2).
						2
28.	F = −xi + yj, L : x							2		+		y2		=1(x ≥ 0, y ≥ 0), M (1,0), N(0,3).
											9
29.	F = −yi + xj, L : y = x3 , M (0,0), N(2,8).
30.	F = (x	2	− y	2	)i	+(x				2	+ y		2	) j, L :		x2	+	y2	=1( y ≥ 0), M (3,0), N (−3,0).
															9			4
31.	F = (x − y)i + j, L : x2 + y2 = 4( y ≥ 0), M (2,0), N(−2,0).

Задача 11. Найти циркуляцию векторного поля авдоль контура Г (в направлении, соответствующем возрастанию параметра t).

1. a = yi − xj + z 2 k,							5. a = ( y − z)i +(z − x) j +(x − y)k,
		2			2		x = 4 cos t, y = 4 sin t,
x =			cos t, y =			cos t,	Г :
		2			2
Г :							z =1 −cos t.
							6. a = 2 yi −3xj + xk,
z = sin t.
2. a = −x2 y3i + j + zk,							x = 2 cos t, y = 2 sin t,
							Г :
x = 3		4 cos t, y = 3			4 sin t,		z = 2 −2 cos t −2sin t.
Г :							7. a = 2zi − xj + yk,
z = 3.

3.a = ( y − z)i +(z − x) j +(x − y)k,

x = cos t, y = sin t,

Г: z = 2(1 −cos t).

4.a = x2i + yj − zk,

				2
	x = cos t, y =				sin t,
				2
	Г :	2
	z =		cos t.
		2

x = 2 cos t, y = 2 sin t,

Г: z =1.

8.a = yi − xj + zk,

x = cos t, y = sin t,

Г: z = 3.

9.a = xi + z 2 j + yk,

x = cos t, y = 2 sin t,

Г: z = 2 cos t −2 sin t −1.

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа!

10.a = 3yi −3xj + xk,

x = 3cos t, y = 3sin t, Г : z = 3 −3cos t −3sin t.

11.a = −x2 y3i + 2 j + xzk,

Г: x = 2 cos t, y = 2 sin t,

z =1.

12.a = 6zi − xj + xyk,

x = 3cos t, y = 3sin t, Г : z = 3.

13.a = zi + y2 j − xk,

	2 cos t, y = 2 sin t,
x =
Г :
	2 cos t.
z =

14.a = xi + 2z 2 j + yk,

x = cos t, y = 3sin t,

Г : z = 2 cos t −3sin t −2.

15.a = yi − 13 z 2 j + yk,

	cos t				sin t
x =		,	y =					,
	2					3
Г :				sin t			1
z = cos t		−				−			.
			3				4

16. a = 4 yi −3xj + xk,

x = 4 cos t, y = 4 sin t, Г : z = 4 −4 cos t −4sin t.

17. a = −zi −3xj + xk,

x = 5 cos t, y = 5sin t, Г : z = 4.

18. a = zi + xj + yk,

x = 2 cos t, y = 2 sin t, Г : z = 0.

19. a = ( y − z)i +(z − x) j +(x − y)k,

x = 3cos t, y = 3sin t, Г : z = 2(1 −cos t).

20.	a = 2 yi − zj + xk,						www.otlichka.ru
	x = cos t, y = sin t,
Г :
	z = 4 −csot −sin t.
21.	a = xzi + xj + z 2 k,
	x = cos t, y = sin t,
Г :
	z = sin t.
22.	a = −x2 y3i +3 j + yk,
	x = cos t, y = sin t,
Г :
	z = 5.
23.	a = 7zi − xj + yzk,
	x = 6 cos t, y = 6 sin t,
		1
Г :
	z =		.
		3
24.	a = xyi + xj + y2 k,
	x = cos t, y = sin t,
Г :
	z = sin t.
25.	a = xi − z 2 j + yk,
	x = 2 cos t, y = 3sin t,
Г :
	z = 4 cos t −3sin t −3.
26.	a = ( y − z)i +(z − x) j +(x − y)k,
	x = 2 cos t, y = 2 sin t,
Г :
	y = 3(1 −cos t).
27.	a = −2zi − xj + x2 k,
		cos t			sin t
	x =			, y =			,
			3		3
Г :
	z = 8.

28.a = xi −3z 2 j + yk,

x = cos t, y = 4 sin t, Г : z = 2 cos t −4 sin t +3.

29.a = xi −2z 2 j + yk,

x = 3cos t, y = 4sin t, Г : z = 6 cos t −4 sin t +1.

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа!

www.otlichka.ru

30.a = −x2 y3i + 4 j + xk,

x = 2 cos t, y = 2 sin t, Г : z = 4.

Задача 12. Найти модуль циркуляции векторного поля

1. a = (x2 − y)i + xj + k,

x2 + y2 =1,

Г :

z =1.

2. a = xzi − j + yk,

z = 5(x2 + y2 ) −1,

Г :

z = 4.

3.	a = yzi + 2xzj + xyk,
		2	+ y	2	+ z	2	= 25,
	x
Г :
		2	+ y	2	= 9(z > 0).
	x
4.	a = xi + 2xzj − xk,

x2 + y2 =1,

Г :

x + y + z =1.

5. a = (x − y)i + xj − zk,

x2 + y2 =1,

Г :

z =1.

6. a = yi − xj + z 2 k,

z = 3(x2 + y2 ) +1,

Г :

z = 4.

7.	a = yzi + 2xzj + y2 k,
		2	+ y	2	+ z	2	= 25,
	x
Г :
		2	+ y	2	=16(z > 0).
	x
8.	a = xyi + yzj + zxk,

x2 + y2 = 9,

Г :

x + y + z =1.

9. a = yzi +(1 − x) j − zk,

x		+ y		+ z		= 4,
	2		2		2
Г :
	2	+ y	2	=1(z > 0).
x

31.a = 3y i −3xj + xk,

x = 2 cos t, y = 2 sin t, Г : z =1 −2 cos t −2 sin t.

авдоль контура Г .

10. a = yi − xj + z 2 k,

x2 + y2 =1,

Г :

z = 4.

11.a = 4xi + 2 j − xyk,

z = (x2 + y2 ) +1,

Г :

z = 7.

12.	a = 2 yi −3xj + z 2 k,
		2	+ y		2	=1,
Г : x
	z =1.
13.	a = −3zi + y2 j + 2 yk,
		2	+ y		2	= 4,
Г : x
	x −3y −2z =1.
14.	a = 2 yi +5zj +3xk,
			2	+ 2 y			2	=1,
Г : 2x
	x + y + z = 3.
15.	a = 2 yi + j −2 yzk,
		2			2				2
Г : x			+ y			− z				=1,
	z = 2.
16.	a = (x − y)i + xj + z 2 k,
		2			2				2
Г : x			+ y			+ z				= 4,
	z =1.
17.	a = xzi − j + yk,
		2			2				2
Г : x			+ y			+ z				= 4,
	z =1.
18.	a = 2 yzi + xzj − x2 k,
		2	+ y		2	+ z			2	= 25,
	x
Г :
		2	+ y		2	= 9(z > 0).
	x

19. a = 4xi − yzj + xk,

x2 + y2 =1,

Г :

x + y + z =1.

20. a = −yi + 2 j + k,

	2		2		2
Г : x		+ y		− z		=1,
z =1.

21. a = yi +3xj + z 2 k,

x2 + y2 =1,

Г :

z =1.

22. a = 2 yzi + xzj + y2 k,

	2	+ y	2	+ z	2	= 25,
x
Г :
	2	+ y	2	=16(z > 0).
x

23. a = (2 − xy)i − yzj − xzk,

x2 + y2 = 4,

Г :

x + y + z =1.

24. a = −yi + xj +3z 2 k,

x		+ y		+ z			= 9,
	2		2			2
Г :
	2	+ y	2	=1(z > 0).
x
25. a = yi − xj + 2zk,
	2		2		z 2
x		+ y		−			= 0,
					4
Г :
	= 2.
z

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа!

www.otlichka.ru

	26.	a = x2i + yzj + 2zk,
			2		2			2
	Г : x			+ y		+ z			= 25,
		z = 4.
	27.	a = yi −2xj + z 2 k,
						2			2
	Г : z = 4(x						+ y			) + 2,
		z = 6.
	28.	a = 3zi −2 yj + 2 yk,
			2	+ y	2		= 4,
	Г : x
		2x −3y −2z =1.
	29.	a = (x + y)i − xj +6k,
			2	+ y	2		=1,
	Г : x
		z = 2.
	30.	a = 4i +3xj +3xzk,
			2		2			2
	Г : x			+ y		− z			= 0,
		z = 3.
	31.	a = yzi − xzj + xyk,
			2	+ y	2	+ z		2	= 9,
		x
	Г :
			2	+ y	2		= 9.
		x