Расчетные задания (Кузнецов) / 10-Линейная алгебра

X. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Теоретические вопросы

1.Линейное пространство. Базис. Координаты.

2.Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.

3.Линейный оператор. Матрица оператора.

4.Преобразование матрицы оператора при переходе к новому базису.

5.Действия над линейными операторами.

6.Собственные векторы и собственные значения.

7.Евклидово пространство. Неравенство Коши-Буняковского.

8.Сопряженные и самосопряженные операторы. Их матрицы.

9.Ортогональное преобразование; свойства; матрица.

10.Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования.

Теоретические упражнения

1. Найти какой-нибудь базис и размерность подпространства L пространства R3 ,

если L задано уравнением x1 −2x2 + x3 = 0 .

2. Доказать, что все симметрические матрицы третьего порядка образуют линейное подпространство всех квадратных матриц третьего порядка. Найти базис и размерность этого подпространства.

3.	Найти координаты многочлена			P	(x)= a		+a x +a x2		+a x3	в базисе
				3		0	1	2	3
1, (x −1), (x −1)2 , (x −1)3 .
4.	Линейный оператор A в базисе (e1,			e2 ,		e3 ) имеет матрицу
	−1		0		1
		2	1
				−2
		1	1		2
Найти матрицу этого же оператора в базисе			(e1,			e1 +e2 ,	e1 +e2 +e3 ).

5. Найти ядро и область значений оператора дифференцирования в пространстве многочленов, степени которых меньше или равны трем.

6. Пусть x и y — собственные векторы оператора		A, относящиеся к различным
собственным значениям. Доказать, что вектор	z =αx + βy, α ≠ 0, β ≠ 0 не является
собственным вектором оператора A.
7. Пусть x ={x1, x2 , x3}, Ax ={α1x1,	α2 x2 ,	α3 x3}. Будет ли оператор A

самосопряженным?

8. Доказать, что если матрица оператора A — симметрическая в некотором базисе, то она является симметрической в любом базисе (базисы — ортонормированные).

Расчетные задания Задача 1. Образует ли линейное пространство заданное множество, в котором

определены сумма любых двух элементов a и b и произведение любого элемента a на любое число α ?

1.1. Множество всех векторов трехмерного пространства, координаты которых – целые числа;

сумма a +b, произведение α a.

1.2. Множество всех векторов, лежащих на одной оси;

сумма a +b, произведение α a.

1.3. Множество всех векторов на плоскости, каждый из которых лежит на одной из

осей;

сумма a +b, произведение α a.

1.4. Множество всех векторов трехмерного пространства;

сумма a +b, произведение α a.

1.5. Множество всех векторов, лежащих на одной оси;

сумма a +b, произведение α a .

1.6. Множество всех векторов, являющихся линейными комбинациями векторов x ,

y , z ;

сумма a +b, произведение α a.

1.7. Множество всех функций a = f (t ), b = g (t ), принимающих положительные значения;

сумма f (t ) g (t ), произведение f α (t ).

1.8. Множество всех непрерывных функций a = f (t ), b = g (t ), заданных на

α a.

α a.

α a.

[0, 1];

сумма

f (t )+ g (t ), произведение α f (t ).

1.9. Множество всех четных функций a = f

(

t

)

, b = g

(

t

)

, заданных на

[

−1,

+1 ;

]

сумма

f (t ) g (t ), произведение f α (t ).

1.10.

Множество всех нечетных функций

a = f (t ),

b = g (t ), заданных на

[

−1,

+1 ;

]

сумма

f (t )+ g (t ), произведение α f (t ).

1.11. Множество всех линейных функций a = f (x1, x2 ), b = g (x1, x2 );

сумма f (x1, x2 )+ g (x1, x2 ), произведение α f (x1, x2 ).

1.12. Множество всех многочленов третьей степени от переменной x ;

сумма a +b, произведение

1.13. Множество всех многочленов степени, меньшей или равной трем от

переменных x , y ;
сумма a +b, произведение α a.
1.14. Множество всех упорядоченных наборов из n чисел
a ={x1,		x2 ,	...,	xn},	b ={y1,	y2 ,	...,	yn};
сумма{x1 + y1,	x2 + y2 ,		..., xn + yn}, произведение {αx1,					αx2 , ..., αxn}.
1.15. Множество всех упорядоченных наборов из n чисел
a ={x1,		x2 ,	...,	xn},	b ={y1,	y2 ,	...,	yn};
сумма{x1 y1,	x2 y2 ,	...,	xn yn}	, произведение {αx1,			αx2 ,	..., αxn}.

1.16. Множество всех сходящихся последовательностей a ={un}, b ={υn };

сумма {un +υn}, произведение {αun}.

1.17. Множество всех многочленов от одной переменной степени меньшей или равной n ;

сумма a +b, произведение

1.18. Множество всех многочленов от одной переменной степени n ;

сумма a +b, произведение

1.19. Множество всех диагональных матриц

a =

aik

,

b =

bik

,

i,

k =1,

2,

...,

n;

сумма

aik +bik

, произведение

αaik

.

1.20. Множество всех невырожденных матриц

a =

aik

,

b =

bik

,

i,

k =1,

2,

...,

n;

сумма

aik

bik

, произведение

αaik

.

1.21. Множество всех квадратных матриц

a =

aik

,

b =

bik

,

i,

k =1,

2,

...,

n;

сумма

aik +bik

, произведение

αaik

.

размера n ×n ;

1.22. Множество всех диагональных матриц a =

aik

,

b =

bik

сумма

aik

bik

, произведение

αaik

.

1.23. Множество всех квадратных матриц

a =

aik

,

b =

bik

, i =1,

2, ..., m;

k =1,

2, ...,

n;

сумма

aik +bik

, произведение

αaik

.

1.24. Множество всех симметричных матриц

a =

aik

(aik

= aki ),

b =

bik

(bik

=bki ),

i, k =1,

2,

..., n;

сумма

aik +bik

, произведение

αaik

.

1.25. Множество всех целых чисел;

[

]

.

сумма a +b, произведение α a

1.26. Множество всех действительных чисел;

сумма a +b, произведение α a.

1.27. Множество всех положительных чисел;

сумма a b , произведение aα .

1.28. Множество всех отрицательных чисел;

сумма − a b , произведение − a α .

1.29. Множество всех действительных чисел;

сумма a b , произведение α a.

1.30. Множество всех дифференцируемых функций a = f (t ), b = g (t );

сумма f (t )+ g (t ), произведение α f (t ).

1.31. Множество всех дифференцируемых функций a = f (t ), b = g (t );

сумма f (t ) g (t ), произведение α f (t ).

Задача 2. Исследовать на линейную зависимость систему векторов.

2.1. a ={1,

4,

6},

b ={1,

−1,

1},

c ={1,

1,

3}.

2.2. sin x, cos x, tg x на (−π 2, π 2).

2.3. a ={2,

−3, 1},

b ={3,

−1,

5},

c ={1,

−4,

3}.

2.4. 2, sin x, sin2 x,

cos2 x на (−∞, +∞).

2.5. a ={5,

4,

3},

b ={3,

3,

2},

c ={8,

1,

3}.

2.6. 1, x, sin x на (−∞, +∞).

2.7. a ={1,

1,

1},

b ={0, 1,

1}, c ={0,

0,

1}.

2.8. ex , e2x , e3x на (−∞, +∞).

2.9. a ={1,

−1,

2},

b ={−1,

1,

−1},

c ={2,

−1,

1}.

2.10. x, x2 ,

(1+x)2

на (−∞, +∞).

2.11. a ={1,

2,

3},

b ={4,

5,

6},

c ={7, 8, 9}.

2.12. 1, x, x2 ,

(1+x)2

на (−∞, +∞).

2.13. a ={1,

1,

1},

b ={1,

2,

3},

c ={1,

3,

6}.

2.14. cos x,

sin x,

sin 2x на (−π 2, π 2).

2.15. a ={3,

4,

−5},

b ={8,

7,

−2},

c ={2,

−1,

−8}.

2.16. ex , e−x , e2x на (−∞, +∞).

2.17. a ={3, 2, −4}, b ={4, 1, −2}, c ={5, 2, −3}.

2.18. 1+x +x2 , 1+2x +x2 , 1+3x +x2 на (−∞, +∞).

2.19. a ={0,

1,

1},

b ={1,

0,

1},

c ={1,

1,

0}.

2.20. 1, ex , shx на (−∞, +∞).

2.21. a ={5,

−6, 1},

b ={3,

−5,

−2}, c ={2,

−1,

3}.

2.22. 1 x, x,

1 на (0, 1).

2.23. a ={7,

1, −3},

b ={2,

2,

−4},

c ={3,

−3,

5}.

2.24. 1, tg x,

ctg x на

(0, π 2).

2.25. a ={1,

2,

3},

b ={6,

5,

9},

c ={7,

8,

9}.

2.26. x, 1+x,

(1+x)2

на (−∞, +∞).

2.27. a ={2,

1,

0},

b ={−5,

0,

3},

c ={3,

4,

3}.

2.28. ex , xex , x2 ex на (−∞, +∞).

2.29. a ={2,

0,

2},

b ={1,

−1,

0},

c ={0,

−1, −2}.

2.30. ex , sh x, ch x на (−∞, +∞).

2.31. a ={−2,

1,

5},

b ={4,

−3,

0},

c ={0,

−1,

10}.

Задача 3. Найти какой-нибудь базис и определить размерность линейного пространства решений системы.

3x + x −8x +2x + x = 0,										7x +2x − x −2x +2x = 0,
	1		2		3	4	5				1	2	3	4		5
3.1. 2x1 −2x2 −3x3 −7x4 +2x5 = 0,										3.2. x1		−3x2 + x3 − x4 − x5				= 0,
x		+11x		−12x		+34x −5x = 0.				2x		+5x	+2x	+ x	+ x = 0.
1			2		3		4		5		1	2	3	4		5
x + x +10x + x − x = 0,										6x −9x +21x −3x −12x = 0,
1			2		3	4	5				1	2	3		4	5
3.3. 5x1 − x2 +8x3 −2x4 +2x5								= 0,		3.4. −4x1 +6x2 −14x3 +2x4 +8x5 = 0,
			−3x2	−12x3		−4x4 +4x5 = 0.						−3x2 +7x3 − x4 −4x5 = 0.
3x1										2x1
2x − x +2x − x + x = 0,										5x −2x +3x −4x − x = 0,
		1	2		3	4	5				1	2	3		4	5
3.5. x1		+10x2 −3x3 −2x4 − x5						= 0,		3.6. x1	+4x2 −3x3 +2x4 −5x5 = 0,
4x			+19x		−4x	−5x	− x		= 0.	6x		+2x	−	2x	−6x = 0.
		1	2		3	4	5				1	2		4		5

+7x3 +11x4 − x5 = 0,

3.7.24x1 −2x2 +14x3 +22x4 −2x5 = 0,

x1 + x2 + x3 − x4 + x5 = 0.12x1 − x2

−x5 = 0,

3.9.x1 +5x2 − x3 + x4 +2x5 = 0,x1 +16x2 −6x3 +4x4 +7x5 = 0.+3x3 − x42x1 − x2

=0,

3.11.3x1 −3x2 −2x3 + x4 −3x5 = 0,5x1 +4x2 +3x3 −2x4 +5x5 = 0.+ x3 − x4x2 +2x58x1 +

=0,

3.13.x1 −2x2 + x3 −3x4 +7x5 = 0,5x1 −10x2 + x3 +5x4 −13x5 = 0.+3x3 − x414x2 + x57x1 −

x1 + x2 + x3 − x4 − x5 = 0, 3.15. 2x1 + x2 −2x3 − x4 −2x5 = 0,

x1 +2x2 +5x3 −2x4 − x5 = 0.

x1 +2x2 −3x3 +10x4 − x5 = 0, 3.17. x1 −2x2 +3x3 −10x4 + x5 = 0,

x1 +6x2 −9x3 +30x4 −3x5 = 0.

−− = 0,

3.19.x1 +11x2 −12x3 +34x4 −5x5 = 0,x1 −5x2 +2x3 −16x4 +3x5 = 0.2x2 7x4 +2x53x32x1 −

x +3x −5x +9x − x = 0,
	1	2	3	4	5
3.21. 2x1 −2x2 −3x3 −7x4 +2x5 = 0,
x −5x +2x −16x +3x = 0.
	1	2	3	4	5
3x +2x −2x − x +4x = 0,
		1	2	3 4	5
3.23. 7x1 +5x2 −3x3 −2x4 + x5 = 0,
x + x + x				−7x = 0.
	1	2	3		5

x1 +2x2 + x3 +4x4 + x5 = 0,

3.8.2x1 − x2 +3x3 + x4 −5x5 = 0,x1 +3x2 − x3 −6x4 − x5 = 0.

	3		x1 +		5			x2 +			5		x3 + x4 = 0,
	2					4						7
	3				1						2							2
			x1	+				x2	+				x3			+				x4		= 0,
3.10.
	5				2						7							5
	1	x		+	1		x		+			2		x			+		2		x		= 0.
	5		1		6			2			21				3			15				4

x1 +3x2 − x3 +12x4 − x5 = 0,

3.12.2x1 −2x2 + x3 −10x4 + x5 = 0,3x + = 0.

1 x2 +2x4

x1 +2x2 +3x3 + x4 − x5 = 0, 3.14. 2x1 −2x2 −5x3 −3x4 + x5 = 0,

3x1 −2x2 +3x3 +2x4 − x5 = 0.

2x1 + x2 −3x3 + x4 − x5 = 0, 3.16. 3x1 − x2 +2x3 − x4 +2x5 = 0,

x1 −2x2 +5x3 −2x4 +3x5 = 0.

−x3 +7x4 +5x5 = 0,

3.18.x1 −2x2 +3x3 −5x4 −7x5 = 0,3x1 − x2 +2x3 +2x4 −2x5 = 0.2x1 + x2

−8x3 + + x5 = 0,

3.20.x1 +11x2 −12x3 +34x4 −5x5 = 0,

x1 −5x2 +2x3 −16x4 +3x5 = 0.

5x1 +2x2 − x3 +3x4 +4x5 = 0,

3.22.3x1 + x2 −2x3 +3x4 +5x5 = 0,6x1 +3x2 −2x3 +4x4 +7x5 = 0.

6x1 +3x2 −2x3 +4x4 +7x5 = 0,

3.24.7x1 +4x2 −3x3 +2x4 +4x5 = 0,x1 + x2 − x3 −2x4 −3x5 = 0.2x43x1 + x2

=0,

3.25.7x1 −4x2 + x3 +3x4 = 0,5x1 +7x2 −4x3 −6x4 = 0.5x2 4x4+2x3 +3x1 −

x1 +2x2 +3x3 −2x4 + x5 = 0,

3.27.x1 +2x2 +7x3 −4x4 + x5 = 0,x1 +2x2 +11x3 −6x4 + x5 = 0.

3x1 +2x2 +4x3 + x4 +2x5 = 0,3x1 + = 0,

3x1 + = 0.2x2 −2x32x2 +16x3+ x4+ x4 +6x53.29.

x1 − x2 + x3 −2x4 + x5 = 0,

3.31.x1 + x2 −2x3 − x4 +2x5 = 0,x1 − 3x43x2 +4x3 − = 0.

Задача 4. Найти координаты вектора базисе (e1 , e2 , e3 ).

x + x +3x −2x +3x = 0,
	1		2			3			4	5
3.26. 2x1			+2x2 +4x3 − x4 +3x5 = 0,
x		+ x		+5x			−5x +			6x = 0.
	1		2			3			4	5
6x +3x +2x +3x +4x = 0,
		1			2			3	4	5
3.28. 4x1			+2x2 + x3 +2x4 +3x5 = 0,
2x + x + x + x + x = 0.
		1		2		3			4	5
x + x + x +2x + x = 0,
	1		2			3			4	5
3.30. x1		−2x2 −3x3 + x4 − x5 = 0,
2x			− x		−	2x		+	3x	= 0.
		1	2			3			4

x в базисе (e′1 , e′2 , e′3 ), если он задан в

	e′		=e		+e		+		2e	,			e1′ =e1 +e2 +3e3 ,
		1		1		2			3
4.1.	e′2 = 2e1 −e2 ,											4.2.	e′2 =(3 2)e1 −e2 ,
		′	= −e1 +e2 +e3 ,												= −e1 +e2 +e3 ,
	e3												e′3
		x =		6,	−1,				3 .					x	=	{1,		2,			4}.
				{					}
	e′		=e +e			2	+4e			,			e′		=e +e				2	+(3 2)e				,
		1		1					3					1		1							3
4.3.	e′2 =(4 3)e1 −e2 ,											4.4.	e′2 =3e1 −e2 ,
		e′	= −e +e					+e		,				′	= −e1 +e2 +e3 ,
							2							e3
		3			1				3							{2,					1}.
		x = 1,			3,			6 .						x	=			4,
				{					}
	e′		=e		+e	2	+(4 3)e				,		e′		=e +e				2	+5e		,
		1		1						3				1		1					3
4.5.	e′2 = 4e1 −e2 ,											4.6.	e′2 =(5 4)e1 −e2 ,
	′		= −e1 +e2 +e3 ,											e′	= −e			+e			+e		,
		e3															1			2
				{6,				1}.						3							3
		x	=		3,									x	= 1,			4,			8 .
																{					}

e′1 =e1 +e2 +(54)e3 ,e′2 =5e1 −e2 ,

4.7. e′3 = −e1 +e2 +e3 , x ={8, 4, 1}.

	′	=e1 +e2 +(6 5)e3 ,
e1
′		= 6e1 −e2 ,
e2
4.9. ′		= −e1 +e2 +e3 ,
e3
	x ={10,			5,			1}.
		′	=e1 +e2 +(7 6)e3 ,
	e1
		′	= 7e1 −e2				,
4.11.	e2
		′	= −e1 +e2				+e3 ,
	e3
	x ={−12,					6,			1}.
	e′		=e	+e	2	−e		,
		1	1				3
	e′		=(1 2)e			1	−e	2		,
4.13.		2
		′	= −e1 +e2				+e3 ,
	e3
	x ={−3,				2,		4}.
	e′		=e	+e	2	−2e					,
		1	1						3
	e′		=(2 3)e				−e		2		,
4.15.		2				1
		′	= −e1 +e2				+e3 ,
	e3
	x ={2,			6,			−3}.
	e′		=e	+e	2	−3e					,
		1	1					3
	e′		=(3 4)e				−e		2		,
4.17.		2				1
		′	= −e1 +e2				+e3 ,
	e3
	x ={1,			−4,			8}.
	e′		=e	+e	2	−4e					,
		1	1						3
	e′		=(4 5)e				−e		2		,
4.19.		2				1
		′	= −e1 +e2				+e3 ,
	e3
	x ={7,			−5,			10}.

	e′ =e +e			2	+6e		3	,
	1	1
4.8.	e′2 =(6 5)e1 −e2 ,
	′		+e2			+e3 ,
	e3 = −e1
	x ={2,		5,			10}.
	e′	=e +e			2	+7e			,
	1	1						3
	e′2 =(7 6)e1 −e2 ,
4.10. ′		= −e1 +e2 +e3 ,
	e3
	x ={1,		6,			12}.

e′1 =e1 +e2 +8e3 ,

e′2 =(87)e1 −e2 ,

4.12.

e′3 = −e1 +e2 +e3 ,

		x ={−1,			7,		14}.
	e′1 =e1 +e2 +(1 2)e3 ,
		′	= −e1	−e2 ,
4.14.	e2
		′	= −e1	+e2 +e3 ,
	e3
		x ={2,		4,			3}.
		′	=e1 +e2 +(2 3)e3 ,
	e1
		′	= −2e1 −e2 ,
4.16.	e2
		′	= −e1	+e2 +e3 ,
	e3
		x ={12,			3,		−1}.
	e′		=e +e		2	−3e		,
		1	1				3
4.18.	e′2 =(3 4)e1 −e2 ,
		′	= −e1	+e2 +e3 ,
	e3
		x ={1,		4,			−8}.
		′	=e1 +e2 +(4 5)e3 ,
	e1
		′	= −4e1 −e2 ,
4.20.	e2
		′	= −e1	+e2 +e3 ,
	e3
		x ={5,		−5,			−4}.

	e′		=e	+e	2	−	5e		,
		1	1				3
	e′		=(5 6)e			−e		2	,
4.21.		2			1
		′	= −e1 +e2 +e3 ,
	e3
		x ={1,		−6,			6}.
	e′		=e	+e	2	−	6e	3	,
		1	1
	e′		=(6 7)e			−e		2	,
4.23.		2				1
		′	= −e1 +e2 +e3 ,
	e3
		x ={1,		7, −7}.
	e′		=e	+e	2	−	7e	3	,
		1	1
	e′		=(7 8)e			−e		2	,
4.25.		2			1
		′	= −e1 +e2 +e3 ,
	e3
		x ={3,		−8,			8}.
		′	=e1 +e2 +(8 9)e3 ,
	e1
		′	= −8e1 −e2 ,
4.27.	e2
		′	= −e1 +e2 +e3 ,
	e3
		x ={9,		9,			2}.
		′	=e1 +e2 +(9 10)e3 ,
	e1
		′	= −9e1 −e2 ,
4.29.	e2
		′	= −e1 +e2 +e3 ,
	e3
		x ={10, 10,					7}.
	e′		=e	+e	2	+	11e		3	,
		1	1
	e′		=(11 10)e −e							2	,
4.31.		2					1
		′	= −e1 +e2 +e3 ,
	e3
		x ={1,		10,			10}.

		′	=e1 +e2 +(5 6)e3 ,
	e1
		′	= −5e1 −e2 ,
4.22.	e2
		′	= −e1 +e2 +e3 ,
	e3
		x ={6,		6,		2}.
	e′1 =e1 +e2 +(6 7)e3 ,
		′	= −6e1 −e2 ,
4.24.	e2
		′	= −e1 +e2 +e3 ,
	e3
		x ={7,		7,		2}.
	e′		=e +e		2	−8e			,
		1	1				3
4.26.	e′2 =(8 9)e1 −e2 ,
		′	= −e1 +e2 +e3 ,
	e3
		x ={1,		−9,			9}.
	e′		=e +e		2	−9e		3	,
		1	1
4.28.	e′2 =(9 10)e1 −e2 ,
		′	= −e1 +e2 +e3 ,
	e3
		x ={3,		−10,			10}.
	e′		=e +e		2	+10e				3	,
		1	1
4.30.	e′2 =(10 9)e1 −e2 ,
		′	= −e1 +e2 +e3 ,
	e3
		x ={1,		9,		18}.