Рис. 28

построения соответственно семи-, восьми-, девятиугольника и т. д. с заданной стороной AB. Радиусами проводимых при этом окружностей являются расстояния от точки A до соответствующих центров.

4.СОПРЯЖЕНИЯ

4.1.Алгоритм построения cопряжений

Сопряжение — плавный переход одной линии в другую либо непосредственно, либо с помощью промежуточных дуг окружностей, называемых дугами сопряжения, радиусы в этом случае называют радиусами сопряжения.

Точка сопряжения — общая точка двух сопрягающихся линий, в которой одна линия переходит в другую и через которую проходит их общая касательная.

Центр сопряжения — центр дуги окружности, сопрягающей две линии. Его находят на пересечении двух геометрических фигур, каждая из которых является множеством точек плоскости, равноудаленных на заданное расстояние от одной из сопрягаемых линий.

Построения сопряжений с непосредственным переходом одной линии в другую являются не чем иным, как построением касательных: прямой, касательной к окружности, и окружности, касательной к другой окружности.

Рассмотрим переходы:

а) прямой в дугу окружности (или дуги окружности в прямую) (рис. 29). Точкой сопряжения K является точка касания, она находится в основании перпендикуляра, опущенного из центра O окружности на данную прямую. Где бы ни была проведена окружность радиуса R, плавно переходящая в данную прямую, всегда расстояние от ее центра O до заданной прямой равно R, т. е. геометрическим множеством центров O является прямая, проведенная параллельно данной прямой на расстоянии радиуса R;

б) одной дуги окружности внешнего касания в другую (рис. 30). Касание окружностей называется внешним, если центры окружностей лежат по разные стороны от их общей касательной. Точкой сопряжения K является точка касания, она находится на пересечении сопрягаемых дуг линией их центров OO1. Где бы ни была проведена дуга

13

Рис. 29

Рис. 30

окружности радиуса R, расположенная с внешней стороны данной дуги окружности радиуса R1 и плавно переходящая в данную дугу, всегда расстояние от ее центра O до данной дуги равно ее радиусу R. Следовательно, геометрическим множеством центров O таких дуг окружностей будет концентрическая дуга окружности, расположенная с внешней стороны данной дуги на расстоянии радиуса R. Радиус этой дуги, а следовательно и расстояние между центрами O и O1, равен сумме радиусов R1 + R сопрягаемых дуг;

в) одной дуги окружности внутреннего касания в другую (рис. 31). Касание окружностей называется внутренним, если центры окружностей лежат по одну сторону от их общей касательной. Точкой K сопряжения является точка касания сопрягаемых дуг, она находится на пересечении этих дуг линией, являющейся продолжением линии центров OO1. Где бы ни была проведена дуга окружности радиуса R, расположенная внутри данной дуги окружности радиуса R1 и плавно переходящая в данную дугу, всегда расстояние от ее центра O до данной дуги равно ее радиусу R. Следовательно, геометрическим множеством центров O таких дуг будет концентрическая дуга окружности, расположенная внутри данной дуги и отстоящая от нее на величину радиуса R, т. е. радиус этой дуги (а следовательно, и расстояние между центрами O1 и O) будет равен разности радиусов R1 − R.

На основании изложенного можно сформулировать алгоритм построения сопряжения двух линий при заданном радиусе сопряжения:

1) построение множества точек, находящихся на расстоянии радиуса сопряжения от первой из сопрягаемых линий;

14

Рис. 31

2)построение множества точек, находящихся на расстоянии радиуса сопряжения от второй из сопрягаемых линий;

3)определение центра сопряжения на пересечении этих множеств;

4)определение точек сопряжения на сопрягаемых линиях; проведение дуги сопряжения между точками сопряжения.

4.2. Построение прямой, касательной к окружности

Прямая, касательная к окружности, составляет угол 90◦ с радиусом, проведенным

вточку касания. Таким образом, для построения прямой t, касающейся окружности

взаданной точке A, надо провести искомую прямую перпендикулярно радиусу OA (рис. 32).

Рис. 32

Для проведения касательной к окружности, параллельной заданной прямой b, достаточно найти точку сопряжения M на пересечении заданной окружности с перпендикуляром к прямой, опущенным из центра O: b OB; k OB; k||b.

4.3. Сопряжение пересекающихся прямых с помощью дуги окружности заданного радиуса R

Для нахождения центра O сопрягающей окружности (рис. 33) строим геометрическое множество точек, отстоящее от прямой m на расстояние R. Строим геометрическое множество точек, отстоящее от прямой n на расстояние R. На пересечении двух множеств находим точку O — центр дуги сопряжения. Точки сопряжения A и B лежат в

15

Рис. 33

Рис. 34

основании перпендикуляров, проведенных к исходным прямым, и ограничивают дугу сопряжения.

Если положение одной из точек сопряжения задано (рис. 34, точка A), а радиус сопряжения не указан, то искомый центр O находится на пересечении перпендикуляра к прямой, проведенного из точки A, и биссектрисы угла, образованного заданными прямыми (построение биссектрисы см. на рис. 13).

4.4. Сопряжение трех пересекающихся прямых

Положение центра сопрягаемой окружности (рис. 35) определяется точкой пересечения биссектрис углов. Радиус окружности (дуги´ сопряжения) равен длине перпендикуляра, опущенного из центра O на любую из трех заданных прямых.

Рис. 35

4.5. Сопряжение окружности и прямой с помощью дуги окружности заданного радиуса R

Внешнее касание (рис. 36, а). Центр O дуги сопряжения находится на пересечении двух геометрических множеств точек: вспомогательной прямой, отстоящей от заданной прямой на величину радиуса R, и дуги´ радиуса R1 + R, проведенного из центра O1. Точки сопряжения K и M находятся соответственно в основании перпендикуляра OK и на пересечении прямой O1O с основной окружностью.

Внутреннее касание (рис. 36, б). Центр O дуги сопряжения находится на пересечении двух геометрических множеств точек: вспомогательной прямой, отстоящей от заданной прямой на величину радиуса R, и дуги´ радиуса R1 −R, проведенной из центра O. Точки сопряжения K и M находятся соответственно в основании перпендикуляра OK и на пересечении продолжения луча O1O с основной окружностью.

16

Рис. 36

4.6. Сопряжение двух окружностей с помощью дуги окружности заданного радиуса R

Внешнее касание (рис. 37). Центр O искомой дуги радиуса R находится на пересечении двух геометрических множеств точек — двух вспомогательных окружностей,

описанных из центров O1 и O2 соответствующими радиусами R1 + R и R2 + R. Внутреннее касание (рис. 38). Центр O искомой дуги радиуса R находится на пере-

сечении двух геометрических множеств точек — двух вспомогательных окружностей, описанных из центров O1 и O2 соответствующими радиусами R − R1 и R − R2.

Рис. 37 Рис. 38

Смешанное касание (внешнее и внутреннее) (рис. 39). Центр O искомой дуги радиуса R находится на пересечении двух геометрических множеств точек — двух вспомогательных окружностей, описанных из центров O1 и O2 соответствующими

Рис. 39

17

радиусами R − R1 и R + R2. Для всех случаев точки сопряжения K и M лежат на линиях, соединяющих центры сопрягаемых окружностей.

4.7. Построение касательной к окружности, проведенной через заданную точку, лежащую вне окружности

Способ 1 (рис. 40). Точки сопряжения K и K1 расположены на окружности при ее пересечении со вспомогательной окружностью, диаметр которой равен AO (вписанный в окружность угол равен половине центрального угла, следовательно, угол OKA прямой, AK — касательная).

Рис. 40

Рис. 41

Способ 2 (рис. 41). Точка сопряжения К расположена на окружности при ее пересечении с отрезком OC. Точка C — точка пересечения первой вспомогательной окружности с центром в точке O, радиус которой в 2 раза больше радиуса заданной окружности, и второй вспомогательной окружности с центром в точке A радиуса AO (точка K является серединой отрезка OC основания равнобедренного треугольника CAO, следовательно, угол OKA прямой, AK — касательная).

Способ 3 (рис. 42). Точка сопряжения K расположена на окружности при ее пересечении с отрезком OC. Точка C — точка пересечения вспомогательной окружности с центром в точке O радиуса OA с касательной t (треугольники OPC и OKA конгруэнтны, так как имеют общий угол при вершине O, заключенный между равными сторонами OP = OK, OC = OA, но треугольник OPC прямоугольный (угол при вершине P = 90◦), поэтому угол К = 90◦, AK — касательная).

Рис. 42 Рис. 43

Способ 4 (рис. 43). Точка сопряжения K получена вращением вокруг точки O касательной t в произвольной точке С заданной окружности до совмещения точки N с точкой A. Точка С займет положение точки K; AK — касательная.

18

4.8. Построение касательной к двум окружностям

Эта задача сводится к задаче на построение касательной к окружности, проведенной через заданную точку, лежащую вне окружности (см. разд. 4.7).

Внешнее касание (рис. 44). Из центра O1 большей окружности построить вспомогательную окружность радиуса R1 − R2. Разделить отрезок O1O2 пополам в точке O и провести вторую вспомогательную окружность радиуса R = OO1. Точка B пересечения вспомогательных окружностей определяет направление радиуса O1K1, где K1 — искомая точка сопряжения для окружности радиуса R1. Для построения точки сопряжения K2 для окружности радиуса R2 достаточно из центра O2 провести радиус O2K2 параллельно радиусу O1K1 до пересечения с окружностью радиуса R2.

Рис. 44

Рис. 45

Внутреннее касание (рис. 45). Из центра O1 большей окружности построить вспомогательную окружность радиуса R1 +R2. Далее выполнить построения в соответствии

срис. 44.

4.9.Сопряжение окружности и прямой при условии, что дуга сопряжения

проходит через заданную точку на окружности

Центр дуги сопряжения O1 (рис. 46, а — внешнее касание; рис. 46, б — внутреннее касание) определяется точкой пересечения прямой OA, проведенной через точку сопряжения A и центр O заданной окружности, и биссектрисы угла ABK, образованного касательной AB в точке сопряжения A и заданной прямой t. Радиус сопрягающей дуги равен расстоянию O1A; O1K t, где точка K — точка сопряжения на прямой t.

Рис. 46

19

4.10. Сопряжение окружности и прямой при условии, что дуга сопряжения проходит через точку на прямой

Центр дуги сопряжения O1 (рис. 47, а — внешнее касание; рис. 47, б — внутреннее касание) определяется точкой пересечения перпендикуляров m и n; m — перпендикуляр к прямой t, проведенный через точку A; n — серединный перпендикуляр к отрезку OB (отрезок AB равен радиусу R заданной окружности). Поскольку точка касания двух окружностей находится на линии, соединяющей их центры, то точка K — точка сопряжения; O1K — радиус дуги сопряжения.

Рис. 47

4.11. Сопряжение двух неконцентрических дуг окружностей третьей дугой заданного радиуса R

Даны две дуги, описанные из центров O1 и O2 радиусами R1 и R2. Для сопряжения их дугой заданного радиуса R (рис. 48) проведем из тех же центров две вспомогательные дуги радиусов R1 + R и R2 − R. Пересечение этих дуг позволяет определить искомый центр сопряжения — точку O. Точки сопряжения K и M лежат на линиях, соединяющих центр сопряжения и соответствующие центры дуг.

Рис. 48

4.12. Сопряжение окружности в заданной точке с окружностью, проходящей через заданную точку

Центр О1 дуги сопряжения (рис. 49, а — внешнее касание; рис. 49, б — внутреннее касание) определяется точкой пересечения прямой, проведенной через центр O и заданную точку сопряжения B, с перпендикуляром, восстановленным из середины хорды AB; O1B — радиус искомой окружности.

20

Рис. 49

4.13. Сопряжение двух параллельных прямых двумя дугами при заданных точках сопряжения

Для построения центров сопряжения O1 и O2 (рис. 50) заданные точки сопряжения A и B соединены отрезком AB. На отрезке AB выбрана произвольная точка M. Восстановлены серединные перпендикуляры к отрезкам AM и MB. Искомые центры сопряжения O1 и O2 находятся в точках пересечения серединных перпендикуляров с соответствующими перпендикулярами, проведенными к заданным прямым из точек сопряжения A и B. Радиусы сопрягаемых дуг: R1 = O1A; R2 = O2B. Касание дуг происходит в точке M, находящейся на линии центров O1O2. Если AM = MB, то

R1 = R2.

Рис. 50

Примеры использования сопряжений в инженерной практике представлены на рис. 51 и 52.

Рис. 51

21