Рис. 89

Рис. 90

отложить на сторонах прямого угла отрезки равной длины OA и OB (радиус направляющей окружности R), взять на одном из отрезков произвольные точки 1, 2, 3, 4 и т. д. и, используя их в качестве центров вспомогательных окружностей (радиуса R), определить точки пересечения дуг этих окружностей с другим отрезком. Соединить каждую из взятых точек с соответствующей точкой пересечения отрезком прямой и провести огибающую семейства отрезков.

При условии R = 2r гипоциклоида трансформируется в прямую, являющуюся диаметром направляющей окружности.

7.ЦИРКУЛЬНЫЕ КРИВЫЕ

7.1.Завиток

Завитком называется циркульная кривая, имеющая очертание, близкое к очертанию эвольвенты окружности. Завиток относится к спиралям.

На рис. 91 показано построение завитков из двух, трех и шести центров или, иначе говоря, построение завитков, «глазками» которых являются окружность, правильный

38

Рис. 91

треугольник и правильный шестиугольник. Из указанных видов последний вид завитка является наиболее приближенным очертанием эвольвенты окружности.

Порядок построения завитков следующий:

1)вычерчивают контур глазка и продолжают стороны фигуры глазка в одном направлении, например против движения часовой стрелки, а для окружности продолжают горизонтальную центровую в обе стороны (см. рис. 91);

2)приняв за центры вершины фигуры глазка (для окружности — ее центр и конеч-

ную точку диаметра), проводят в направлении движения часовой стрелки ряд сопряженных между собой дуг (центром первой дуги является точка О1). Радиус каждой последующей дуги увеличивается на радиус первой дуги. Отметим, что, чем большее число сторон будет иметь глазок завитка, тем более плавным получится очертание самого завитка (рис. 92).

Рис. 92

На рис. 93 показано очертание спиральной пружины (например, часовой), имеющей форму завитка.

Рис. 93

7.2. Овал

Овалом называется замкнутая выпуклая кривая, состоящая из двух основных дуг окружностей, плавно переходящих одна в другую с помощью одинаковых, симметрично расположенных дуг окружностей перехода внутреннего касания.

Если основные дуги проведены одинаковыми радиусами, то овал имеет две оси симметрии, а следовательно, и центр симметрии (рис. 94).

39

Рис. 94

Если основные дуги проведены разными радиусами, то овал имеет только одну ось симметрии и называется овоидом (рис. 95). Овоид можно рассматривать как фигуру, состоящую из половины окружности и половины овала.

Рис. 95

Очерки овала и овоида относятся к коробовым кривым. Коробовой кривой называется плоская кривая, состоящая из ряда сопряженных дуг окружностей.

Способ построения овала зависит от того, какие параметры кривой известны. Если известны оси овала, построения можно выполнять следующими способами.

Способ 1 (рис. 96). Построение овала по заданным осям. Для нахождения центров О1 и О2 дуг необходимо:

Рис. 96

40

1) отложить на малой оси отрезок ОЕ = ОА (длину большой полуоси);

2) провести прямую АС и отложить на ней от точки C отрезок СК = СЕ;

3)восстановить серединный перпендикуляр n к отрезку АК;

4)на пересечении с заданными осями овала отметить положения центров О1 и О2. Два других центра О3 и О4 симметричны центрам О1 и О2 относительно точки O пересечения осей овала;

5)из центров О1 и О3 провести дуги окружностей радиуса R2;

6)на продолжении лучей О1О2, О2О3,О4О1 и О4О3, соединяющих найденные центры, отметить точки сопряжения 1, 2, 3, 4 и соединить их дугами окружностей радиусов

R1 = О22; R2 = О32.

Способ 2. Построение овала по заданным осям при заданном соотношении осей АВ = √3CD (рис. 97):

Рис. 97

1)из центра О пересечения осей овала радиуса ОА провести дугу до пересечения

спродолжением малой оси CD и отметить точки О2 и О4;

2)аналогично радиусом ОС описать дугу до пересечения с большой осью АВ в

точках О1 и О3;

3)провести лучи через полученные центры О1, O2, O3, О4;

4)провести дуги сопряжения радиусов R1 = О4D; R2 = О1А до пересечения с лучами в точках 1, 2, 3 и 4.

Способ 3. Построение овала делением большой оси на четыре равные части (рис. 98):

Рис. 98

41

1)через центр O большой оси АВ перпендикулярно АВ провести малую ось;

2)из того же центра O радиусом ОО1 = ОА/2 описать окружность и на ее пересечении с малой осью отметить центры О3 и О4;

3)из центров О1 и О2 описать дуги окружностей радиуса R1 = О1А;

4)на продолжениях лучей, соединяющих центры малых и больших дуг, отметить точки сопряжения 1, 2, 3 и 4 при их пересечении с дугами радиуса R1;

5)из центров О3 и О4 провести дуги окружностей радиуса R2 = О31, замыкающие

овал.

Способ 4. Построение овала делением большой оси на три равные части (рис. 99):

Рис. 99

1)разделить большую ось АВ овала на три равные части, отметив центры О1 и О2;

2)описать из центров О1 и О2 окружности радиуса R1 = АВ/3 и отметить точки О3

иО4 их взаимного пересечения как центры сопрягаемых дуг овала;

3)на лучах, соединяющих центры сопрягаемых дуг, при их пересечении с окруж-

ностями радиуса R1 отметить точки сопряжения 1, 2, 3, 4; описать дуги окружностей из центров О3 и О4, замыкающие овал.