Электромагнитные поля и волны.-3

191

закопан металлический шар радиуса А. Ток, вытекающий из поверхности шара, I.

Записать выражение разности потенциалов между шаром и любой точкой в почве, удаленной на r.

b

U ab = ϕ a - ϕb = ∫ E × dl I = ∫δ × ds

Справка:

Ответы:

a	;	s	;

I

I

1

1

I

1

1

U =

U =

×

-

U =

×

-

2 ×π ×σ

×π ×σ

2 ×π ×σ × r

r

A

4

r

A

I

1

1

I

1

1

U =

×

-

U =

×

-

×π ×σ

r

4 ×π ×σ

r

2

A

A

63. По прямолинейному проводу протекает напряженность магнитного поля в точке провода

на расстояние r=0.5m?

Ответы:

ток I = π (A).	Какова
наблюдения,	удаленной от

	3	A	π	A	1	A	2	A	2.37	A
		m		m		m		m		m

64. Найти взаимную индуктивность двух одинаковых, параллельных колец радиуса R, расположенных на одной оси, перпендикулярных относительно неё и удаленных друг от друга на расстоянии l (l>>R).

Напряженность магнитного поля на оси, создаваемого одним кольцом на

l

H (l ) =

I

×

R 2

(R 2

+ l

2 )3 / 2

2

расстоянии l, равно

.

R

R

Ответы:

M1,2

= π × R 3

M 1,2

= π × R 2

2 × l 4

2 × l 4

							192
M 1,2	= μ × π × R 4	M 1,2	= μ ×		π	M 1,2	= μ ×	R 2
					× l 3			2 × l 3
	2 × l 3		2

65. По четырем параллельным, прямолинейным проводам,

расположенным на вершинах квадрата и перпендикулярных ему,

протекают одинаковые токи. Укажите точку на поперечном сечении системы, где магнитное поле равно нулю.

Ответы:

1. г		г	в
2.д	a	б

3.а

д

4.б

5.в

66. Элемент постоянного тока в точке М, отстоящей от него на расстоянии r, возбуждает магнитное поле. Какова зависимость H от r и

на чем она основана?

Ответы:

1		1		1
r 2	Закон Ома	r 2	Закон Био-Савара	r 3 Закон Био-Савара
	1		1
	r 2 Закон Кулона		r1 Первое уравнение Максвелла

67. Как изменится погонная индуктивность прямолинейного провода круглого сечения , если его толщину уменьшить в три раза?

Ответы:

Увеличится втрое Уменьшится втрое Увеличится в 1.5 раза Останется неизменным Уменьшится в 1.5 раза

193

68. Найти решение уравнения Ñ2 × Am (x) = -μ ×δ , если δ = -c × z 0 .

Ответы:

Am (x) = z 0 × μ × c × x 2 + x0 × x

						2
	m	(x) = -z 0		μ × c			2
A			×			× x		+ ρ × x + q
					2
				m	(x) = z 0				μ × c		2
			A					×		× x
									2

Am (x) = 0

Am (x) = const

+ ρ × + x q

69. Три параллельных, прямолинейных проводника проходят через вершины равностороннего треугольника. По ним протекаю одинаковые постоянные токи. Укажите точку на поперечном сечении системы, где магнитное поле равно нулю.

D

A

C

B

Ответы:

1. D 2. A 3.B

4. C

5. Такой точки нет

70. Определить индуктивность L на единицу длины единичного прямого провода с радиусом поперечного сечения R и с магнитной проницаемостью металла μ .

Wm

=

L × I 2

=

μ

×

∫

H 2

× dV

Справка:

2

2

;

V

Ответы:

L = 0

L =

μ

L =

μ

L =

μ

L =

μ × R

4 ×π × R 2

2 ×π × R

8 ×π

8 ×π

71. Диэлектрик коаксиального кабеля имеет удельную проводимость σ

194

. Определить напряженность электрического поля E внутри кабеля,

если ток утечки на единицу длины равен I .

Ответы:

E =

1

× ∫δ × dS

E = r 0 ×

I

E = r 0 ×

I

×π ×σ

×π ×

σ × r

8 ×π ×σ × r

4

× r S

4

E = α 0 ×

I

E = r 0 ×

I

2 ×π ×σ × r

2 ×π ×σ × r

72. Через вершины параллелограмма ( abcd ) проходят четыре

параллельных прямолинейных провода , по которым

I1

= 5.5A

и I 2

= -3A .

протекают

постоянные

токи

I2

I1

Определить

магнитное поле

в

точке

пересечения

I1

b

r2

I

2

c

r1

диагоналей

и параллелограмма.

a

M

d

Ответы:

2. H =

2.5

3. H =

2.5

1. H = 0

2 ×π × r1

4 ×π × r2

4. H =

(2.5)2

5. H =

(2.5)2

4 ×π × r

4 ×π × r 2

73. Большое четное число очень тонких прямолинейных проводников составляют боковую поверхность цилиндра, оставаясь параллельными один к другому. В каждом проводнике протекает ток I1 , но направление этих токов чередуется от проводника к проводнику. В какой из точек а,

б, в, магнитное поле равно нулю?

a		б		в

Ответы:

1.В точке а 2.В точке б 3.В точке в 4.В точках а и в 5. Всюду H=0

195

74.Найдите решение уравнения Ñ2 × Am (z) = -μ ×δ , если δ = y0 .

Ответы:

= -μ ×

1.

Am =

A

x

0

x

μ × z

m

2

= -μ × z

2

A =

Ay

=

y0

×

+ C × z + D

m

m

A

× z0

2

2.

= Az

3.

μ × z 2

m

A

= -

+ C × z

× y0

2

4.

A

m

= 0

5.

75.

В почве,

проводимость которой σ ,

на большой глубине закопан

металлический шар радиуса А. Ток, вытекающий из поверхности шара,

I . Записать выражение для потенциалов между любой точкой на земле и поверхностью шара.

b

U ab = ϕ a - ϕb = ∫ E × dl I = ∫δ × ds

Справка:

Ответы:

a	;	s	;

I

1

1

I

I

1

1

U =

×

+

U =

U =

×

-

×π ×σ

×π ×σ

r

4 ×π ×σ × r

2

A

4

r

A

		I		I	1			1
	U =		U =		×		-
				4 ×π ×σ
		2 ×π ×σ × r						r
					A

(x) = -μ ×

= -

× 4

Ñ2 ×

Am

δ

x0

76. Найти решение уравнения

δ

, если

.

Ответы:

=

× (2 × μ × x 2 + C × x + D)

= -

× (C × x + D)

Am

Am

x0

x0

= -

× C × μ × x

= -

× x3 × μ

Am

Am

x0

x0

Am = 0

77. Найти взаимную индуктивность двух одинаковых, параллельных колец радиуса R, расположенных на одной оси, перпендикулярных относительно неё и удаленных друг от друга на расстоянии l (l>>R).

Напряженность магнитного поля на оси, создаваемого одним кольцом на

196

H (l ) =

I

×

R 2

l

(R 2

2 )3 / 2

расстоянии l , равно

2

+ l

.

Ответы:

R

R

M 1,2

= π × R 3

2 × l 4

M 1,2

= π × R 2

2 × l 3

M 1,2 = μ ×

R 2

2 × l 3

M 1,2

= μ × π × R × 4

2 × l 3

	M 1,2	= μ ×	R 2 ×π
			4 × l 3

78.			Точка
расстояние					r .
проекция					H r
Ответы:
H x	=			I
				×π × r
1.	2
H r =				I
		4 ×π × r 2
4.

K удалена от прямолинейного, бесконечного провода на По проводу течет постоянный ток I. Чему равна магнитного поля в точке М?

							K
			H r =		I	I
2. H r = 0							r
					2 ×π × r 2
	3.
			I						x o
H r	=						M
			×π × r
5.	4

79. Вдоль тонкостенной трубы радиуса а и тонкого

провода,

расположенного вдоль оси трубы ,

протекают постоянные токи I1 и (- I 2 ) .

Каково магнитное поле в точках отстоящих

от оси на

a

расстояниях

2

и 2 × a ?

a

Ответы

H =

I1

H = 0 ;

2 ×π × a

I2

I1

197

H =

- I 2

H =

I 2 - I1

4 ×π × a

;

2 ×π × a

H = 0 ;

H =

I1

2 ×π × a 2

H =

- I 2

=

I1 - I 2

; H

π × a

4 ×π × a

- 2 × I1

I1 - I 2

H = π × a ;

H =

π × a

80. Чему

равен

магнитный вектор - потенциал Am в точке наблюдения ,

расположенной

на оси

кольцевого

проводника

с радиусом

а и стоком

Ι = 1 А

на расстоянии 1 м от кольца ?

Ответы:

= 2 ×π × a

1

1

Am

Am

=

Am

=

1

4 ×π 2

4 ×π × a 2

=

Am

Am

= 0

2 ×π × a

= -μ ×

Ñ2 ×

Am

81.

При

получении

уравнения

δ

пользуются

условием,

налагаемым на вектор Am . Что это за условие?

Ответы:

rot Am =

δ

grad

Am

= 0 grad

Am

= 0

div Am = 0

rot Am = 0

82. Два соосных проводящих кольца с радиусами R1 и	R2 (R1 << R2 )		,
лежат в одной плоскости . Считая поле в центре большого кольца (в
		B = μ × I 2	× R2
месте расположения малого кольца ) однородным и равным		2
определить, как изменится взаимоиндуктивность колец,	если их радиусы
удвоить.
Ответы:

198

Уменьшится в 4 раза Уменьшится в 2 раза Увеличится в 4 раза Увеличится в 2 раза Не изменится

83. По трем параллельным прямолинейным проводам протекают постоянные токи. Каждый провод удален от остальных на одинаковое расстояние. Укажите точку на поперечном сечении системы, где магнитное поле равно нулю.

Ответы:

1.B	I	∙ B	f
2.C	E∙	∙D
3.D	A∙ I	I	∙ C

4.E

5.A

84.Диэлектрик коаксиального кабеля имеет удельную проводимость σ .

Определить напряженность электрического поля внутри кабеля, если ток

утечки на единицу длины задан I.

Справка

I = ∫

δ

× d

S

S

Ответы:

1

I ×σ

E = ∫δ × dS ×

E = α 0 ×

×π ×σ × r

1.

π × r

2

2.

s

4

I

I

3. E = α 0 ×

4. E = r0 ×

4 ×π ×σ × r

2 ×π ×σ × r

I

5. E = r0 ×

4 ×π ×σ × r 2

85.

По прямолинейному

проводу протекает

ток I = π (A) . Какова

величина магнитного поля в точке

наблюдения ,

удаленной от провода на

199

расстоянии r = 0,5 м ?

Ответы:

H = π A m H = 0,5π A m H = 2 A m H = 3 A m H = 1 A m

86. Определить плотность тока во 2-ой среде, если напряженность

электрического поля в первой среде E = x 0

× E0

и заданы проводимости σ 1

и σ 2 .

Y

1

2

σ 1

σ2

X

0

Ответы:

= σ 1 ×

= 0

=

δ 2

δ 2

δ1

E1

σ 1

σ 2

δ 2 = x0 ×

δ

=

×σ 1 × E0

σ 2 E0

2 = x0 × σ 1 × E0

δ 2

x0

87.Найти индуктивность L на единицу длины одиночного

цилиндрического прямолинейного провода радиуса R с магнитной проницаемостью μ .

Указание: воспользоваться формулами

W m =

L × I 2

и

W m =

μ

× ∫ H 2 dV

2

2

V

Ответы:

L =

μ

L =

μ

L =

μ × R

L

=

μ

L =

μ

4 ×π × R

8 ×π

8 ×π

2 ×π × R

4 ×π × R 2

88.

В среде

с

проводимостью

σ 0

задано

распределение потенциала

ϕ = 5 × x 2 + 10 × y + 5 . Oпределить плотность тока проводимости.

Ответы:

= σ 0 ×

× (10 × x +10)

=

(10 x + 10 )

= -10 ×σ 0 × (x ×

+

)

δ

x

δ

σ 0 ×

δ

x0

y0

200

=

×σ 0 ×10 × (x +1)

= 0

δ

z0

δ

89 .

По двум

параллельным, прямолинейным проводникам текут

постоянные токи

I1 = 2 A и

I2 =1A . Расстояние между проводниками l.

Где расположена

линия, на которой магнитное поле равно нулю ?

Ответы:

r =

1

× l

r =

1

×l

r =

2

× l

r =

1

× l

r =

1

× l

2

5

3

4

3

91.Найдите решение уравнения Ñ2 × Am (z) = -μ ×δ , если δ = y0 .

Ответы:

Am

Am =

Am

= 0 Am = Ax = -μ × x0 Am = Azm = -μ × z 2 × z0

					μ × z
							2
Ay	=		y0	×				+ C × z + D
					2
			μ × z		2
=		-							× y0
						+ C × z
				2

91. В почве, проводимость которой σ , на большой глубине закопан

металлический шар радиуса А. Ток, вытекающий из поверхности шара,

I . Записать выражение для потенциалов между любой точкой на земле и поверхностью шара.

b

U ab = ϕ a - ϕb = ∫ E × dl I = ∫δ × ds

Справка:

Ответы:

a	;	s	;

		I	1			1
U =			×		+
		×π ×σ				r
2			A

U =			I
	4		×π ×σ × r
			I			1		1
U =				×			-
	4		×π ×σ
				r				A
U =			I
	2 ×π ×σ × r