Электромагнитные поля и волны.-3

201

I

1

1

U =

×

-

×π ×σ

A

4

r

Ñ2 ×

(x) = -μ ×

, если

= -

× 4 .

Am

92. Найти решение уравнения

δ

δ

x0

Ответы:

Am = x0 × (2 × μ × x 2 + C × x + D)

Am = -x0 × (C × x + D)

Am = -x0 × C × μ × x

Am = -x0 × x3 × μ

Am = 0

93. Найти взаимную индуктивность двух одинаковых, параллельных колец радиуса R, расположенных на одной оси, перпендикулярных относительно неё и удаленных друг от друга на расстоянии l (l>>R).

Напряженность магнитного поля на оси, создаваемого одним кольцом на

	H (l ) =	I	×	R 2
				(R 2 + l	2 )3 / 2
расстоянии l , равно	2
					.
Ответы:

M 1,2	= π × R 3
	2 × l 4
M 1,2	= π × R 2
	2 × l 3

l

	M 1,2	= μ ×		R 2
				2 × l 3
	M 1,2		= μ × π × R × 4
				2 × l 3
	M 1,2	= μ ×		R 2 ×π
				4 × l 3

R R

94 Точка K удалена от прямолинейного, бесконечного провода на

202

расстояние r . По проводу течет постоянный ток I. Чему равна

проекция

H r магнитного поля

в точке М?

Ответы:

H x

=

I

×π × r

2

K

H r

= 0

I

r

H r

=

I

R

x o

2

×π × r 2

M

H r

=

I

4

×π × r 2

H r

=

I

4

×π × r

95. Вычислить магнитную энергию, сосредоточенную внутри единичного участка длины цилиндрического проводника, с протекающим по нему током

I0.

Ответ:

1) WM

=

μa × I02

.

12π

2) WM

=

μa × I02

.

14π

3) WM

=

μa × I02

.

12π

4) WM

=

μa × I02

.

16π

5) WM

=

μa × μ × I02

.

6π

96.Тонкостенная труба распилена вдоль на шесть одинаковых частей, по которым протекают постоянные токи I 1 , I 2 и I 3 . Чему равно магнитное поле на оси трубы?

203

				I 2
I 1								I 1
	I2								I2
								I 1 = z0 × I
				I 1
								I 2	= -z0		× I

Ответ:

1)H=2

2)H= 4

3)H = 0

4)H= 6

5)H=8

97. Металлическая труба параллельна тонкому прямолинейному проводу,

расстояние от оси трубки до провода l , радиус поперечного сечения

трубы	l	. По трубе протекает ток I1 = 1A , а по проводу I	2 = 5A .
2

Укажите координаты точки, в которой магнитное поле равно нулю.

Пространство внутри трубки исключается.

				Ответ:
I1	=1A	l
		2
I2 = 5A			4)	l=2, 2) l=2,
∙		X
l			5)	l=4
		6)	3)Такой точки нет.
			4) l=1,
			5) l=3

98. Определить в точке М( а, 0, 0 ) проекцию на ось Х магнитного поля,

возбужденного			кольцевым			проводником	тока	I радиуса		а,
расположенного в плоскости XY симметрично началу координат.
Справка: H =		I	× ∫	1	[dl, r 0 ].			X
		×π		2
4			L r					M (a,0,0)
Ответ:
									Y
			1) H х (М ) = 2			,	0

204

2)H х (М ) = 4 ,

3)H х (М ) = 0 ,

4)H х (М ) = 6 ,

5)H х (М ) = 8 .

99.Чему равен магнитный векторный потенциал Am в точке наблюдения,

расположенной на оси

кольцевого

проводника

с радиусом а и с током

I = 1A на расстоянии 1м от кольца?

Ответ:

1)

Am

= 6 , 2)

Am

= 1,

3)

Am

= 4 ,

4)

Am

= 2 ,

5)

Am

= 0 .

100. Определить внутреннюю индуктивность L							на единицу длины
одиночного прямого круглого сечения			провода с				радиусом поперечного
сечения R и с магнитной проницаемостью μ .
Ответ:
1) L =			μ	,
			8 ×π
2) L =			μ		,
			4 ×π
3) L =			μ		,
			2 ×π
4) L =			μ	,
			6 ×π
			μ
5) L =						.
	10 ×π

205

101. Круглый виток радиуса b лежит в плоскости, проходящей через ось цилиндрического проводника малого радиуса а, на расстоянии l, причем

l >> b; a < b. Определить взаимную индуктивность, если виток повернуть на угол θ вокруг прямой А-В, или на угол β вокруг

прямой С-D.

Ответы:

2a

С

1) M =

μ b

;

M θ

=

μ b

cosθ ;

M β =

μ b

cos β ,

l

l

l

А

l

В

μ b

μ b

μ b

D

2) M =

; Mθ =

cosθ ;

M β =

cos β .

2l

2l

2l

μ b

μ b

μ b

y

3) M =

;

M θ =

cosθ ;

M β =

cos β . 4)

3l

3l

3l

μ b

μ b

μ b

l+a

M =

;

M θ =

cosθ ;

M β =

cos β .

4l

4l

4l

X

0

I2

b

102. Внутренний провод коаксиального кабеля оголен и изогнут в виде полуокружности с радиусом R. По нему протекает ток I . Вычислить величину магнитного поля в центре полуокружности.

Ответ:

1)H= I/ (2R), 2)H= I/ (3R), 3)H= I/ (4R), 4)H= I/ (5R), 5)H= I/ 6R).

103. Проводник круглого сечения радиуса а представляет кольцо радиуса

R>>a. Определить индуктивность кольца.

206

Ответ: 1) L= μR/0.5, 2) L= μR/1, 3) L= μR/2, 4) L= μR/3, 5)L= μR/4.

104. Определить взаимную

индуктивность прямоугольной

Z

Z

рамки и прямо-линейного

60

0

R

0

n

I2

a

провода с током I2,

b

А

b

В

протекающим по нему.

Справка: Ф1,2 = М1,2×I2

l

Ответ:

=

μa × b

ln

l + a

1) M1,2

8π

l

2) M1,2

=

μa × b

ln

l + a

π

l

3) M1,2

=

μa × b

ln

l + a

2π

l

4) M1,2

=

μa × b

ln

l + a

4π

l

5) M1,2

=

μa × b

ln

l + a

6π

l

105. Прямоугольник из тонкого проводника с размерами а и b расположен на удалении l от бесконечного прямолинейного проводника и наклонен относительно него на 600. Определить взаимную индуктивность системы.

Ответ:

1) M1,2 =	μa × b			ln	l + a
	8π				l
	=	μa		× b		l + a
2) M1,2		π			ln
						l

207

3) M1,2

=

μa × b

ln

l + a

4π

l

4) M1,2 =

μa

× b

ln

l + a

2π

l

5) M1,2

=

μa × b

ln

l + a

6π

l

106. Два кольцевых проводника с радиусами R1 << R2

плоскости. Считая, что поле в центре большого кольца,

лежат в одной где расположено

малое кольцо, однородно и равно	B @	μ × I	2	× R ) .	Определить
			(2
				2

взаимную индуктивность. Как изменится взаимная индуктивность колец,

если радиус R1 уменьшить вдвое, а R2 - вчетверо.

Ответ:

1) M β

=

μ

,

3l

2) Останется неизменным,

3) M θ

=

μ

;

4l

4) M =

μ

;

l

5) M =

μ

.

2l

107. Найти

взаимную

индуктивность два одинаковых, параллельных

колец

c радиусами R,

расположенных на одной оси и удаленных друг

от

друга

на

расстоянии

L

( L >>R).

Напряженность магнитного поля на оси одного

кольца равна

H(L) =

I

×

R 2

.

(R 2 + L2 )3 / 2

2

Ответ:

1) M 1,2

= μ × π × R 4 ,

5 × L3

208

2)M

3)M

4) M

1,2	= μ × π × R 4
	4 × L3
1,2	= μ × π × R 4	,
	3 × L3
1,2	= μ × π × R4 .
	2 ×L3

108. Вычислить сопротивление изоляции на единицу длины коаксиального кабеля, заполненного диэлектриком с проводимостью σ и заданным значением ε. Размеры кабеля заданы: радиус жилы а1, радиус оплетки а2.

Ответ:

ln

a2

1) R =

a1

π lσ

ln

a2

ln

a2

a

a

2) R =

1

, 3) R =

1

,

2pls

3π lσ

ln

a2

ln

a2

4) R =

, 5) R =

a1

a1

4π lσ

5π lσ

109. По трем параллельным прямолинейным проводам протекают постоянные токи. Каждый провод удален от остальных на одинаковое расстояние. Укажите точку на поперечном сечении системы, где магнитное поле равно нулю.

Ответ:

1)точка A

2)точка B

3)точка C

4)точка D

5)точка E

209

110. Диэлектрик коаксиального кабеля имеет диэлектрическую

проницаемость ε и удельную проводимость σ .

Определить напряженность

электрического поля внутри кабеля, если ток утечки

на единицу длины

задан I.

Справка: I = ∫δ × dS .

S

Ответ:

R

R

I

1). E

= r 0 ×

8 ×π ×σ × r

R

R

0

I

2) E =

r

×

6 ×π ×σ × r

R

R

0

I

3) E =

r

×

4 ×π ×σ × r

R

R

0

I

4) E

= r

×

2 ×π ×σ × r

R

R

I

5) E =

r

0 ×

π ×σ × r

111. Металлический

шар

радиуса R закопан на большую

глубину в землю

проводимость которой σ . Ток,

вытекающий

из

поверхности шара, I.

Получить выражение для

разности

потенциалов

между шаром и

любой точкой в почве, удаленной на r.

Ответ:

I

1

1

I

1

1

1)U =

×

-

2)

U =

×

-

3)

10 ×π

×σ

R

r

×π ×σ

8

R r

I

1

1

U =

×

-

×π ×σ

R

r

6

I

1

1

I

1

1

4) U =

×

-

5)

U =

×

-

4 ×π

×σ

×π ×σ

R

r

2

R r

112. Определить собственную погонную индуктивность L прямолинейного

проводника круглого сечения радиусом R и магнитной проницаемостью

μ .

Ответ:

210

1) L =

μ

2)

L =

μ

3)

L =

μ

4)

L =

μ

5)

L =

μ

8 ×π

6 ×π

4 ×π

2 ×π

π

113. По прямолинейному проводу протекает ток I = π [ A]. Определить напряженность магнитного поля в точке наблюдения, удаленной от провода на расстояние r=0,5m?

Ответ: 1) 5 I/m A / M , 2) 4 I/m A / M , 3)3 I/m A / M , 4) 2I/m A / M , 5) I/m A / M

114.Вдоль тонкостенной бесконечной трубы радиуса а и тонкого провода, расположенного вдоль оси трубы, протекают постоянные токи

I1 и (- I 2 ) . Определить магнитное поле в точках отстоящих от оси на расстояниях а/2 и 2×a в цилиндрической системе координат (r,z,a)?

Ответ:

	1) Hα = - I 2 ; Hα =			I1 - I 2
				2 ×π × a
		a
	2) Hα =	− I2 ; Hα =				I1 − I 2
						4 ×π × a
		π × a
	3) Hα =	- I 2	; Hα =		I1 - I 2
					2 ×π × a
		2π × a

z
a
I2	a0
	I1

4) Hα = - I 2 ; Hα = I1 − I 2
4π × a	4 ×π × a

115.Диэлектрик коаксиального кабеля имеет диэлектрическую проницаемость e и удельную проводимость σ . Определить напряженность

R

R

0

I

электрического поля

внутри кабеля,

если ток утечки E = r

×

на

× p × s × r

2

единицу длины задан I.

R

R

Справка: I = ∫δ

× dS .

S

Ответ:

R

R0

I

R

R 0

I

1) E = r

×

,

2) E = r

×

2 ×π ×σ × r

4 ×π ×σ × r