Основы_акустики_Гринченко_Вовк

p

= B

cos

nπ z

exp(−iωt + iγ

n

x ),

n

n

h

υ

xn

=

1

∂pn =

1

γ

B

cos

nπ z

exp(−iωt + iγ

x ),

i

ωρ ∂x

ωρ

n

n

h

n

υ =

1

∂pn

= i

1

nπ B

sin

nπ z

exp

(−iωt + iγ

n

x ).

zn

iωρ ∂z

h

n

ωρ

h

(5.172)

(5.173)

(5.174)

На рис. 5.24, а показано распределение амплитуд давления и υxn — компоненты колебательной скорости частиц для первых номеров мод, которое определяется функцией cos(nπz/h), а на рис. 5.24, б приведе- но распределение υzn — компоненты колебательной скорости в соот- ветствии с функцией sin(nπz/h). Для нулевой моды υz0 = 0, поскольку нулевая мода n = 0 в волноводе с жесткими границами является обычной плоской волной, которая распространяется вдоль оси Ох.

Формулы (5.173) и (5.174) для компонент скорости частиц позво- ляют понять характер движения частиц среды. Поскольку фазы υxn и υzn имеют сдвиг на 90°, то траектории частиц есть эллипсы с осями, которые лежат вдоль осей Ох и Оz. В узлах давления (cos(nπz/h) = 0) эллипсы вырождаются в вертикальные отрезки, а в максимумах дав- ления (sin(nπz/h) = 0, рис. 5.24) — в горизонтальные отрезки. В неод- нородной моде, где γn = i γn является мнимой величиной, фазы υxn и

υzn совпадают, поэтому траекториями частиц будут прямые линии, наклон которых изменяется по высоте волновода — от горизонтально- го до вертикального. Укажем, что для обычных плоских волн ситуа- ция противоположная: в однородных волнах траектории частиц есть отрезки прямых, а в неоднородных плоских волнах — эллипсы.

Нормальную волну можно представить в виде суперпозиции двух плоских бегущих волн, которые распространяются под одинако- выми углами к оси волновода. Действительно, используя равенство

2cos (nπz /h ) = exp(inπz /h )+ exp(−inπz /h ), запишем (5.172) как су-

перпозицию двух плоских волн pn(x,z,t) = pI + pII, т.е. (см. рис. 5.25)

p

=

Bn

exp

−i

ωt − nπz − γ

x

+

Bn

exp

−i

ωt + nπz − γ

x

,

(5.175)

n

n

n

2

h

2

h

где nπ/h и γn — проекции волнового вектора k на координатные оси

Оz и Ox. Угол наклона волнового вектора k к оси Oz (рис. 5.25) опреде- ляется уравнением

	cos θzn = nπ h	= nπc h	=	ωкрn	,	k =	ω.	(5.176)
				ω
	k	ω					c
								251

Рис. 5.25. Пример суперпозиции двух плоских волн в волноводе

Если частота n-й моды ω >> ωкрn, то угол θzn приблизительно равен 90°; если частота ω близка к частоте ωкрn, то угол θzn ≈ 0 и образовыва- ется стоячая волна вдоль оси Oz.

Возвратимся к формулам (5.168) и (5.169). Как видим, волновое число γn и фазовая скорость сфn n-ой моды зависят от частоты, т.е.

наблюдается явление дисперсии. Вообще существование дисперсии в среде обусловлено наличием в ней собственных, независимых от па- раметров волны пространственных или временных масштабов. В слу- чае цепочки связанных осцилляторов (см. п. 3.6.2) пространственным масштабом является расстояние между шариками. Когда это рас- стояние значительно меньше длины бегущей волны в цепочке, явле- ние дисперсии практически отсутствует. Собственным пространст- венным масштабом для волновода (рис. 5.23) есть его ширина h.

Согласно формуле (5.169), если ω >> ωкрn, то фазовая скорость n-ой моды сфn ≈ c, т.е. практически равна скорости в среде, заполняющей волновод. В этом случае плоские волны pI и pII (см. рис. 5.25) распро- страняются вдоль оси Ох. Если ω ≈ ωкрn, то фазовая скорость n-ой мо- ды cфn → ∞; здесь плоские волны pI и pII (см. рис. 5.25) практически распространяются вдоль оси Oz, образуя стоячую волну.

Из приведенных соображений можно сделать вывод, что в зави- симости от частоты ω, поток энергии в волноводе существенно изме- няется. Понятно, что в случае, когда ω >> ωкрn, поток энергии вдоль оси Ox будет максимальный, а когда ω близка к ωкрn — минимальный, хотя при этом фазовая скорость сфn стремится к бесконечности. Та- ким образом, фазовая скорость моды не характеризует скорость пе- реноса энергии в волноводе. Оказывается, что скорость переноса энергии в любой волне можно оценить, используя новое фундамен- тальное понятие теории волн — групповая скорость. Поскольку этот вопрос очень важен для процесса обучения будущего исследователя акустика, остановимся на нем несколько подробнее.

252

5.12. Понятие групповой скорости

Относительная простота нормальных волн в плоском вол- новоде с идеальными границами позволяет без громоздких выкладок раскрыть сущность нового и очень важного понятия в акустике — групповой скорости. К этому понятию можно прийти разными путя- ми. Один из них связан с анализом перенесения энергии модой в волноводе.

5.12.1. Энергетическое определение групповой скорости

Как мы уже знаем, в волноводе с жесткими границами без изменения формы может распространяться нормальная волна (5.172). Поскольку будем вычислять энергетические (квадратичные) характе- ристики волны, то нужно использовать не комплексные выражения для давления и компонент колебательной скорости, а их действитель- ные части. Принимая во внимание, что коэффициент Bn = an + ibn яв- ляется комплексным, записываем действительные части от соотно-

шений (5.172)-(5.174) в таком виде:

p

=

B

cos

nπz cos(ωt − γ

n

x − α

),

n

n

n

γn

h

υ

=

B

cos

nπz

cos(ωt − γ

x − α

),

xn

n

n

ωρ

h

n

υ

=

1 nπ

B

sin

nπz sin(ωt − γ

n

x

− α

),

zn

n

n

a2

+b2

ωρ h

h

где

B

=

, cos α

= a

/

B

.

n

n

n

n

n

n

(5.177)

(5.178)

(5.179)

Сначала вычислим плотность звуковой энергии E . Согласно (4.44) плотность энергии n-ой моды можно определить по формуле

(x,z,t ) =

ρ

v

n

2

p2

ρυ2

ρυ2

p2

E

+

n

=

xn

+

zn +

n

,

(5.180)

n

2

2χ

2

2

2χ

здесь χ = ρс2 — упругость среды. Подставим (5.177)-(5.179) в (5.180) и интегрируем по ширине волновода, тем самым определяем энергию в волноводе на единицу длины (будем говорить о плотности энергии в волноводе):

E

(x,t ) = h E

(x,z,t )dz =

ρhδn

γn

2

B

2 cos2(ωt − γ

x − α ) +

n

∫

n

n

n

n

0

2

ωρ

253

+

ρhδn

Bn

2 nπ 2

sin

2

(ωt − γn x − αn ) +

hδn

Bn

2

cos

2

(ωt

− γn x − αn ),

2

(ωρ)2

h

n > 0.

2χ

где δ0 = 1,

δn = 0,5,

при

Принимая

во

внимание, что

(nπ/h )2 = k2 − γ2

, и выполняя преобразования, получаем формулу для

n

плотности энергии участка волновода:

(x,t ) =

hδ

2

γ2

χ

E

n

B

1

+

n

cos(2ωt

− 2γ

x − 2α

) .

(5.181)

n

2χ

n

ω2ρ

n

n

Средняя за период T = 2π/ω плотность энергии на участке волново-

да равна

1 T

(x,t )dt =

hδ

2

E

=

∫

E

n

B

.

(5.182)

n

T

n

2χ

n

0

Как видим, величина En является постоянной и не зависит от ко-

ординаты х. Это означает, что в такой волне должен быть постоян- ным и средний поток энергии вдоль оси Ох.

Вычислим средний поток плотности мощности, т.е. интенсивность вдоль координатных осей Ох и Oz. Выкладки упростятся, если ис- пользуем формулу для интенсивности (4.55) и комплексные выраже-

ния (5.172)-(5.174). Итак,

1

γn

2

2

πnz

Ixn (z) =

Re(pυ

xn

) =

Bn

cos

h

,

(5.183)

2

2ωρ

Izn(z) = 0.

Понятно, что для неоднородной моды Ixn(z) = 0 (проверьте!). Средний поток мощности через сечение волновода в n-ой моде можно найти, проинтегрировав (5.183) вдоль сечения волновода:

h

(z )dz =

hδ γ

2

h

δ

2

ω2крn

P

=

∫

I

xn

n n

B

=

n

B

k 1

−

.

(5.184)

xn

2ωρ

n

2ωρ

n

ω2

0

Величина среднего за период Т потока мощности Pxn определяет

перенос энергии в n -ой моде вдоль оси Ох с некоторой скоростью, которую называют групповой. В общем случае групповая скорость υгр

или скорость переноса энергии в гармонической волне — это отно- шение среднего за период потока мощности к средней по объему на длине волне λ плотности энергии:

254

υгр =		Px	.	(5.185)
	1	E(x,x + λ)
	λ

В случае нормальных волн плоского волновода средняя плотность энергии не зависит от координаты х (см. (5.182)). Подставляя (5.182) и (5.184) в формулу (5.185), определяем групповую скорость υгрn n -ой моды волновода:

		ω2
υ	= c 1−	крn	.	(5.186)
грn		ω2

Рис. 5.26. Дисперсионные кривые фазовых и групповых скоростей плоского волновода с жесткими границами

На рис. 5.26 приведены зависимости фазовых и групповых скоро- стей от частоты ω для нескольких первых мод волновода. Эти кривые еще называют дисперсионными кривыми. Для всех мод с номерами n > 0 фазовые скорости больше скорости звука c в среде, а группо- вые — меньше, чем эта скорость. При увеличении частоты фазовая скорость монотонно уменьшается и стремится к с асимптотически сверху, а групповая — увеличивается и стремится к с снизу. При критической частоте фазовая скорость моды бесконечно возрастает, а групповая равняется нулю. Предлагаем читателю обдумать такой характер зависимости, опираясь на возможность представления мод в виде суперпозиции двух плоских волн (рис. 5.25). Для нулевой моды, которая является обычной плоской волной, фазовая и групповая скорости равны скорости звука с в среде и не зависят от частоты. Вообще нулевая мода не типична для волноводов, ведь дисперсия для

255

нее отсутствует; она существует только в волноводах с жесткими гра- ницами.

5.12.2. Кинематическое определение групповой скорости

Гармоническая волна является полезной математической идеализацией, но в природе не существует. Реальный процесс, строго говоря, некогда не сводится к одной синусоиде, хотя бы потому, что источник возбуждения работает ограниченное время и в волне есть “начало” и “конец”. Передача сигналов с помощью гармонической волны также невозможна, поскольку она однородная в пространстве и времени. Очевидно, чтобы передать информацию, нужно каким-то образом изменять амплитуду или фазу волны. Итак, реальный про- цесс — это не гармоническая волна, а, например, локализованное возбуждение (волновой пакет), которое можно рассматривать как на- бор гармонических волн с амплитудами и фазами, которые зависят от частоты. Другими словами, волновой пакет может быть представ- лен рядом или интегралом Фурье.

Сначала рассмотрим процесс, который состоит из двух гармони- ческих волн с близкими частотами ω1 и ω2 ( ω2 – ω1 << ω1,2) и волно- выми числами k1 и k2 ( k2 – k1 << k1,2):

p(x,t

= 2a cos ω2

) = a cos(ω1t −k1x) +a cos(ω2t −k2x) =
− ω	k	2	−k			ω + ω	k	+k	2
1 t −			1	x cos		1 2 t −	1			x .	(5.187)
			2					2
2						2

Как видно, получили известное выражение для биений двух волн (см. параграф 2.7), которое можно описать произведением двух периоди- ческих функций: одна из них — cos(ω0t – k0x), где ω0 = (ω1 + ω2)/2 и k0 = (k1 + k2)/2, — определяет быстро осциллирующую (несущую) вол- ну, а вторая —

	ω	− ω	k	2	−k
A(x,t) = 2a cos	2	1 t −			1	x	,	(5.188)
					2
		2

описывает медленное изменение амплитуды несущей волны, или, дру- гими словами, огибающую.

Итак, при условии ω2 – ω1 << ω1,2 и k2 – k1 << k1,2 результатом суперпозиции двух волн есть ряд периодически повторяющихся

групп (такое повторение существует как во времени, так и вдоль про- странственных координат; графической иллюстрацией являются ри- сунки к параграфу 2.7).

Несущая волна передвигается с фазовой скоростью υф = ω0/k0, а поверхность, на которой амплитуда группы остается постоянной, оп-

256

ределяется уравнением ωt – kx = const ( ω = ω2 – ω1, k = k2 – k1), от- куда вытекает, что сами группы распространяются со скоростью dxdt = Δωk = ddkω при k → 0.

Таким образом, для характеристики модулированной волны необ- ходимо ввести еще одно понятие — скорость огибающей, или, иначе говоря, группы волн — групповую скорость. В общем случае группо- вая скорость модулированной волны определяется выражением

υгр = dω = Приращение частоты волны в группе . (5.189) dk Приращение волнового числа в группе

При таком ее определении отношение конечных разностей ω/ k за- меняется производной dω/dk.

Подобный волновой процесс можно получить, если рассматривать суперпозицию ряда гармонических волн:

p (x,t ) = A0 exp(−i (ω0t −k0x ))+ A1 exp(−i (ω1t −k1x )) +

+A2 exp(−i (ω2t −k2x ))+...,

(5.190)

при условии, что для произвольной пары n и m имеем неравенства

ωm – ωn << ω0, km – kn << k0, n, m = 0,1,2,… Запишем суперпози-

цию волн (5.190) в виде

p (x,t ) = exp(−i (ω0t −k0x )) A0 + A1 exp(−i (ω1 − ω0 )t + i (k1 −k0 )x ) +

+A2 exp(−i (ω2 − ω0 )t + i (k2 −k0 )x )+... .

(5.191)

Учитывая близость частот и волновых чисел (т.е. спектр модулиро- ванной волны (5.190) является узкополосным), можно записать

ω1 − ω0 =	ω2 − ω0	= ... = dω = υ	гр	(5.192)
k1 −k0	k2 −k0	dk

(уравнение выполняется тем точнее, чем уже спектр) и, соответствен- но

p (x,t ) = exp(−iω0t + ik0x ) A0 + A1 exp(−i (k1 −k0 )(υгрt − x ))+
+ A2 exp(−i (k2 −k0 )(υгрt − x ))+... = exp(−iω0t + ik0x )F(υгрt − x).	(5.193)

Выражение в квадратных скобках определяет огибающую F(υгрt – x) су- перпозиции волн, распространяющуюся без изменения своей формы со скоростью υгр, которая является групповой скоростью, в то время

257

как несущая волна exp(–iω0t + ik0x) распространяется в середине оги- бающей с фазовой скоростью υф = ω0/k0.

Если в дисперсионном уравнении связь между ω и k линейная и

	2	ω		dω =	ω = υ		и волновой пакет распростра-
однородная d			= 0 , то
		2		dk	k	ф
dk

няется так же, как отдельная монохромная волна. Это означает, что дисперсия в среде отсутствует, волна будет не дисперсионной и

υф = υгр .

Если d2ω ≠ 0 , то групповая скорость отличается от фазовой ско- dk2

рости. При этом волны разной длины распространяются с разными фазовыми и групповыми скоростями. Итак, в системе присутствует дисперсия. Возникает вопрос, как влияет дисперсия на распростра- нение возмущения типа (5.190), которое возникло, скажем, вблизи х = 0 в момент t = 0. Поскольку компоненты возмущения с разными волновыми числами распространяются с разными скоростями, то на- чальное возмущение спустя некоторое время распространяется на некоторый пространственный интервал, который будет увеличивать- ся со временем (т.е. со временем огибающая F(υгрt – x) в (5.193) реаль- ного сигнала будет изменять форму); очевидно, чем уже спектр в вол- не (5.190), тем дольше во времени огибающая F(υгрt – x) реального сигнала будет сохранять свою форму.

Подобные соображения можно провести для суперпозиции не только дискретного, но и непрерывного множества гармонических волн, т.е. для возмущения со сплошным, но довольно узким спектром. Пусть в начальный момент времени t = 0 возмущение определяется функцией p(x, t = 0). Запишем функцию p(x, 0) в виде суперпозиции составляющих через интеграл Фурье:

p (x,0) = ∞∫ Φ(k)exp(ikx )dk,	(5.194)
−∞

где Ф(k) ≈ 0 при k – k0 > k и k << k0 — эти неравенства опреде- ляют факт близости волновых чисел гармонических волн к некоторому волновому числу k0.

При t > 0 эта совокупность гармонических составляющих будет распространяться каждая со своей фазовой скоростью υф. Итак, при t > 0 имеем

p (x,t ) = ∞∫ Φ(k)exp(−iω(k )t + ikx )dk.

(5.195)

−∞

258

Выполним преобразование этого общего выражения с учетом узости спектра начального возмущения. Положив k = k0 + ξ, разложим функ- цию ω(k) в ряд Тейлора в окрестности k0 по степеням ξ:

ω(k) = ω(k0 ) + dω

k

ξ +

1 d2ω

ξ2 +...

(5.196)

dk

0

2 dk2

k0

Обозначив ω(k0) = ω0, подставим (5.196) в интеграл (5.195):

∞

dω

p (x,t ) =

∫

Φ(k

0

+ ξ)exp

−i ω t

+

ξt +... −k

0

x − ξx

dξ.

(5.197)

0

dk

−∞

k

0

Поскольку интегрирование проводится практически в области малых значений ξ, то для не очень больших t имеем возможность ограни- читься линейным членом в разложении (5.196) для ω(k):

p (x,t ) ≈ exp(−iω0t + ik0x ) ∞∫ Φ(k0

−∞

		dω
+ ξ)exp −i
	dk			k	0

t − x		(5.198)
	ξ dξ.

Величина ddkω k0 — это скорость отдельной гармонической состав-

ляющей, но по своему определению — это групповая скорость, кото- рая, как видим, для всех составляющих интеграла имеет одно значе- ние. Таким образом, интеграл в (5.198) соответствует огибающей су- перпозиции гармонических волн, которая распространяется без из- менения формы со скоростью υгр. Поэтому (5.198) можно переписать в виде, аналогичном случаю суперпозиции дискретного набора гармо- нических волн (5.193):

p (x,t ) = exp(−iω t + ik		x )F(υ t − x),	υ	= dω			,	(5.199)
0	0	гp	гр	dk		k =k0

где F(υгрt – x) — огибающая, которая определяется интегралом (5.198). Понятно, что неизменность формы огибающей F(υгрt - x) будет на- блюдаться только на ограниченном интервале времени, пока отбро- шенный в разложении частоты ω(k) (см. (5.196)) следующий член обу- словливает малое изменение фазы. С учетом следующего члена в ряде (5.196) для ω(k) экспонента под знаком интеграла в формуле (5.198)

будет иметь вид

	dω
exp −i
		dk		k	0

+1 d2ω

2 dk2

		ξ				(5.200)
			t − x		ξ .
	k
		0

259

Выражение в круглых скобках определяет фазовую скорость отдель- ной гармонической составляющей, которая уже зависит от волнового числа k, ведь ξ = k – k0. Итак, малость набега фазы за счет указанного слагаемого определяется неравенством

	1 d2ω		k2t << π.	(5.201)
	2 dk	2
			k0

Отсюда, зная ширину спектра k, можно оценивать время t и путь L = υгрt, на котором можно пренебрегать изменением формы огибаю- щей.

Исторически, скорость — это понятие, которое возникло при опи- сании движения частиц. Оно является понятным и имеет смысл при условии, что существует возможность отождествления частицы при ее движении, т.е. о любой точке пространства можно утверждать, что здесь находится одна и та же частица.

При распространении волн имеют дело с перемещением не части- цы, а состояния среды. Чтобы говорить о скорости нужно иметь воз- можность и средства для отождествления состояния. В среде без дис- персии, когда фазовая скорость не зависит от волнового числа, любое возмущение распространяется без изменения формы, поэтому здесь такая возможность очевидна. Но в среде с дисперсией возмущение в процессе распространения деформируется, и здесь уже без дальней- шего анализа нельзя определить, чему равна скорость. Сначала следу- ет выяснить, что в данном случае называют скоростью распростра- нения волны. Такой общий комментарий есть, наверное, целесооб- разным дополнением к полученным выше результатам.

В сущности, понятие групповой скорости можно ввести только для определенного типа возмущений, которые имеют довольно узкий спектр гармонических волн, и только при наличии определенных свойств среды, в которой происходит распространение. Эти свойства должны быть такими, чтобы для тех длин волн, которые обусловли- вают исходное возбуждение, с достаточным приближением можно было считать частоту ω линейной функцией волнового числа k (см. (5.196)-(5.198)). При таких условиях деформация группы (огибающая суперпозиции гармонических волн) в процессе распространения про- исходит медленно, и тогда для не очень больших расстояний группо- вая скорость приближенно описывает распространение группы.

Важно отметить, что групповая скорость может существенно от- личаться от фазовых скоростей всех гармонических волн, которые входят в состав спектра данного возмущения, несмотря на то, что в узкополосном возмущении все составляющие имеют близкие фазовые скорости.

260