Основы_акустики_Гринченко_Вовк

Между групповой и фазовой скоростями существует простая за- висимость; приняв во внимание, что υф = ω/k, перепишем (5.189) в виде

υ =		d (kυф)			= υ + k			dυф		,	(5.202)
гр		dk			ф				dk
или, учитывая k = 2π/λ, где λ — длина волны,
	υ		= υ		− λ	dυф	.				(5.203)
		гр	ф			dλ

Выражение (5.202) или (5.203) называют формулой Релея . Из (5.202) видно, что групповая и фазовая скорости совпадают, когда υф не за- висит от волнового числа, т.е. при отсутствии дисперсии. При нали- чии дисперсии групповая скорость может быть как больше, так и меньше фазовой скорости в зависимости от знака производной dυф/dk. Дисперсию называют нормальной, если υгр < υф (dυф/dk < 0),

и аномальной, если υгр > υф (dυф/dk > 0).

Вернемся к плоскому волноводу с жесткими границами (рис. 5.23) и вычислим групповую скорость нормальных волн, опираясь на ки- нематическое определение групповой скорости (5.189). Связь между

волновым числом γn n -ой моды и частотой		ω установлена соотно-
шением (5.164), которое перепишем в виде
k2 − γ2	= nπ.	(5.204)
n	h

Продифференцируем это соотношение, приняв во внимание, что

правая часть не зависит от частоты ω:

k dk

− γ

dγn

= 0. Итак, учиты-

dω

dω

n

вая dk/dω = 1/c и формулу (5.168), получаем

dω

сγ

ω2крn

υ

=

=

n

= c

1 −

.

(5.205)

dγ

ω2

грn

k

n

Сравнивая формулы (5.186) и (5.205), видим, что значения груп- повой скорости мод плоского волновода, вычисленные в соответствии с энергетическим и кинематическим определениями, совпадают. Для данного случая такое совпадение естественно, ведь понятно, что энергия возмущения сконцентрирована в области пространства, ко- торое охватывает огибающая (точнее, наверное, в центре группы, где амплитуда огибающей максимальна). Скорость огибающей определя-

Лорд Рэлей (Rayleigh) Стретт Джон Вильям (1842—1919) — английский физик, лауреат Нобелевской премии (1904 г.).

261

ется групповой скоростью, поэтому при распространении узкополос- ных возмущений энергия переносится также с групповой скоростью. Нужно подчеркнуть, что значения групповых скоростей, вычислен- ные согласно кинематическому и энергетическому определениям, совпадают для самых разнообразный волновых полей.

Задача. Проведите самостоятельный анализ волновода с двумя мягкими границами и волновода с жесткой и мягкой границами. Об- ратите внимание на отсутствие нулевой моды в этих волноводах. На- личие нулевой моды, которая, в сущности, является плоской волной, присуща только волноводу с жесткими границами.

5.13. Создание гармонического поля в волноводе

Нормальные волны (5.166) являются частными решениями волнового уравнения для плоского волновода с жесткими границами. Физически они определяют гармонические волны, которые распро- страняются в волноводе без изменения формы. Суперпозиция нор- мальных волн определяет общее решение волнового уравнения, а, следовательно, позволяет представить любое поле в волноводе в виде соответствующей суммы мод с подобранными определенным образом коэффициентами:

∞

p (x,z,t ) = ∑ n =0

p	(x,z,t ) =	∞	B	cos	nπ z		exp(−iωt + iγ		x ).	(5.206)
		∑						n
n		n =0	n			h

Эта сумма состоит из бегущих и неоднородных нормальных волн. По- этому выражение (5.206) можно переписать в виде

p (x,z,t ) =		N	B	cos	nπ z		exp(−iωt + iγ				x )+
		∑
		n =0	n			h				n
+	∞			nπ				γn		x ),	(5.207)
	∑	Bn cos				z exp(−iωt −
n =N +1				h

где N — количество бегущих мод, которое определяется условием

(5.171).

При изучении колебаний струны или мембраны мы вели поиск нормальных колебаний, т.е. периодических движений в системе по гармоническому закону. Суперпозиция нормальных колебаний, кото- рая определяла общее решение задачи, позволяла описывать колеба- ния системы при произвольных начальных условиях и достаточно легко находить решение для вынужденных колебаний.

В волноводе звуковые волны возникают как следствие деятельно- сти некоторых “источников”, т.е. постороннего влияния. Другими словами, если в некотором сечении волновода заданы силы или ско-

262

рости частиц, то в волноводе создается звуковое поле — это задача об излучении звука в волноводе. Понятно, что в этом случае, подобно случаю колебаний струны или мембраны под действием внешней си- лы, получаем решение неоднородного волнового уравнения с задан- ными граничными условиями на границах волновода. Однако возмо- жен другой подход, который основывается на свойствах нормальных волн. Его суть в том, что так же, как и суперпозиция нормальных ко- лебаний определяла произвольное движение струны или мембраны, так и суперпозиция нормальных волн (5.206) дает возможность опи- сать звуковое поле в волноводе при произвольном источнике его воз- буждения. Таким образом, задача излучения звука в волноводе сво- дится к определению коэффициентов возмущения нормальных волн.

Пусть в сечении волновода x = 0 (рис. 5.23) задано распределение х-компонент скоростей частиц υx = V(z), которое изменяется во вре- мени по гармоническому закону с частотой ω. Разложим V(z) в ряд Фурье по функциям, которые определяют поперечное распределение составляющей скорости частиц в нормальных волнах (см. формулу (5.173)), т.е. по функциям cos(nπz/h), n = 0,1,2,… Как известно из тео- рии рядов Фурье, эти косинусы образуют полную ортогональную сис- тему функций на отрезке [0,h], и поэтому любое распределение скоро- сти частиц можно единственным образом представить в виде такого ряда. Вообще функция V(z) при этом должна удовлетворять некото- рым условиям [8], которые обычно выполняются в ситуациях, пред- ставляющих физический интерес. Итак, разложение в ряд имеет вид

V (z ) =	∞	V	cos	nπ z			,	(5.208)
	∑
	n =0	n			h

где
V	=	δn hV (z )cos		nπ z		dz ,	δ0 = 1, δn = 2 при n > 0.
n		h	∫		h
			0

Согласно (5.172) и (5.173) давление pn и составляющая скорости частиц υxn связаны соотношением υxn = γnωρpn . Тогда каждому слагае-

мому в ряде (5.208) можно поставить в соответствие нормальную бе- гущую волну давления, которая распространяется в положительном направлении оси Ox, т.е.

p	(x,z,t ) =	ωρV	cos	nπ z		exp(−iωt + iγ	n	x ).	(5.209)
n		n			h
		γn

263

Таким образом, источник в виде распределения х-компонент скоро- стей υx = V(z) в сечении x = 0 создает поле, которое можно предста- вить в виде суперпозиции нормальных волн

p(υ) (x,z,t ) =	∞
	∑
	n =0

	∞	V		nπ				exp(−iωt + iγ		x ). (5.210)
p	= ωρ ∑	n	cos			z			n
n	n =0	γn			h

Для понимания процессов, которые происходят в волноводе, нуж- но сравнить поле (5.210) с полем источника в виде распределения

давления P (z ) в сечении x = 0 . Очевидно поле источника давления будет иметь вид

p(p) (x,z,t ) =	∞	p	=	∞	P	cos	nπ z	exp(−iωt + iγ x ), (5.210а)
	∑			∑
	n =0	n		n =0	n				n
							h
где Pn - коэффициенты разложения функции P (z )									в ряд по собст-

венным формам волновода cos (nπz /h ). Верхние индексы υ и p в

выражениях (5.210) и (5.210а) указывают на тип источника. Запишем x -компоненты колебательной скорости в определенных

выше полях:

	υ(xυ) (x,z,t ) =		1 ∂p(υ)
		iωρ			∂x
	υ(xp) (x,z,t ) =		1 ∂p(p)
			iωρ		∂x

=

∞

V

cos

nπ z

exp(−iωt + iγ

x ),

(5.211)

∑

n =0

n

h

n

=

1

∞

P

γ

nπ z

exp(−iωt + iγ

x ). (5.211а)

∑

cos

n

n n

h

ωρn =0

Представленные выражения говорят о существенном отличии харак- тера поля в волноводе для разных источников, в случае, когда часто- та источника ω близка к критической частоте ωкрn .

Если задан источник колебательной скорости, то при ω → ωкрn ,

т.е. γn → 0 , согласно формулам (5.210), (5.211), давление p(υ) → ∞ , а

колебательная скорость υ(xυ) не зависит от частоты.

Если задан источник давления, то при ω → ωкрn , т.е. γn → 0 , со- гласно формулам (5.210а), (5.211а), давление p(p) не зависит от час-

тоты, а колебательная скорость υ(xp) → 0 .

Для объяснения этих результатов нужно исходить из того, что при ω → ωкрn удельное акустическое сопротивление волновода в направ-

лении распространения n -ой моды, т.е. отношение pn /υxn → ∞ . По-

264

pn = An gn (z )exp(iγn x )

этому, чтобы это отношение имело место, в случае источника скоро-

сти давление p(υ) → ∞ , а в случае источника давления υ(xp) → 0 .

Такая ситуация сложилась потому, что рассматривались идеаль- ные источники колебательной скорости или давления, т.е. источники с неизменной амплитудой при любых условиях. Поэтому, определение поля, которое создается источником в волноводе при ω → ωкрn воз-

можно лишь при условии учета параметров реального источника. Рассмотренный метод расчета звукового поля можно использовать

и для случая волновода с идеально мягкими границами или одной мягкой границей, а другой жесткой, да и вообще с локально- реагирующими (т.е. импедансными) границами [20, с. 255].

Действительно, можно показать, что в волноводе с импедансными границами функции распределения давления или x -компоненты скорости частичек для всех нормальных волн образовывают полную ортогональную систему функций на отрезке [0,h ]. Эти функции

имеют вид cos (ζz + α), где все значения ζ и α определяются из гра- ничных условий на поверхностях волновода. Например, рассмотрим плоский волновод (рис. 5.8) с идеально мягкой (x = 0) и импедансной

(x = h )				границами. На импедансной границе выполняется условие:
p				≡ iωρ	p		= η. Предлагаем читателю самостоятельно убе-
υ					∂p/∂z
z			z =h				z =h

диться в том, что собственные формы мод имеют вид sin(ζz ), где значения ζ определяются из уравнения tg (ζh ) = iωρη ζ .

Полнота системы обеспечивает возможность представить данное распределение давления (или x -компоненты скорости частичек) в се- чении волновода в виде суперпозиции собственных форм нормаль- ных волн данного волновода. Ортогональность системы обуславливает единственность такого представления.

Легко доказать ортогональность двух различных нормальных волн pn = An gn (z )exp(iγn x ), n =1,2,... ( gn (z ) — собственные формы мод) в волноводе с импедансными границами. Для этого, подставив выра- жение в уравнение Гельмгольца

pn +k2 pn = 0 , запишем такие уравнения, которым удовлетворяют эти волны:

∂∂pzn22 + (k2 − γn2 )pn = 0, ∂∂pzm22 + (k2 − γm2 )pm = 0 , n ≠ m .

265

Умножим первое уравнение на pm , а второе на pn , вычтем и интег- рируем вдоль координаты z от 0 к h ; тогда будем иметь

h

2

2

h

∫

pm

∂pn2 − pn

∂pm2

dz + (γm2

− γn2 )∫ pn pmdz =

0

∂z

∂z

0

h

∂

∂p

∂p

h

= ∫

pm

n

− pn

m

dz + (γm2

− γn2 )∫ pn pmdz =

∂z

∂z

0

∂z

0

∂p

∂p

h

h

=

pm

n

− pn

m

+ (γm2 − γn2 )∫ pn pmdz = 0 .

∂z

∂z

0

0

Первый член равняется нулю благодаря импедансному условию на границах волновода. С другой стороны, величины γn и γm разные

для разных нормальных волн. Отсюда, необходимо чтобы интеграл

h

∫ pn pmdz = 0 , что и требовалось доказать, ведь равенство нулю дан-

0

ного интеграла и есть условие ортогональности нормальных волн pn и pm при n ≠ m . Доказательство полноты данной системы функций

рассматривать не будем.

В полученной суперпозиции нормальных волн (5.210) или (5.211) бегущими волнами являются только несколько волн с первыми номе- рами, для которых nπ/(kh) < 1 (см. формулу (5.164)), или с учетом того, что k = 2π/λ (λ — длина волны) имеем h > nλ/2. Все волны высших номеров экспоненциально затухают и заметны только вблизи сечения х = 0. Поэтому на большие расстояния будет передаваться не вся структура поля в исходном сечении х = 0 со всеми деталями, а только ее наиболее гладкая часть, которую определяют первые члены ряда (5.210) или (5.211). Мелкие детали — “тонкая” структура — распреде- ления V(z) оказываются “срезанными”.

Если ширина волновода меньше λ/2, то при любом распределении давления или vx -компоненты скорости частиц в данном сечении да-

лее будет распространяться только плоская волна. Такой волновод на- зывают узким. Узкие трубы используют с целью получения плоской волны. Такие трубы применяют в измерительной технике, например, для измерения коэффициента поглощения и входного сопротивления препятствия (методика эксперимента описана в параграфе 5.7).

Если говорить о волноводе, в котором бегущими являются не- сколько нормальных волн, то даже довольно гладкая поперечная структура звукового поля изменяется при переходе от одного сече- ния к другому вдоль координаты х. Это связано с тем, что разные нормальные волны распространяются с разными фазовыми скоро-

266

стями и, как следствие, на пути пробега имеют разные изменения фазы

γ x = ω x		1−	nπc 2 .		(5.212)
n	c
				ωh

Поэтому воссоздать с высокой точностью исходное распределение V(z) сечения x = 0 на расстоянии x > 0 не удается.

5.14. Плоскопараллельный волновод с поглощающими границами

В параграфе 5.3 мы исследовали возможность учета поглощения звуковой энергии, которое имеет место в самой среде. Оказалось, что угасающие волны можно получить из решения задачи для идеальной среды простой заменой действительного волнового числа на волновое число с соответствующей мнимой добавкой. При этом наблюдается экспоненциальный закон уменьшения звуковой энергии волны.

Рассмотрим плоскопараллельный волновод, который заполнен идеальной средой с плотностью ρ и скоростью звука c , но границы

волновода частично поглощают звуковую энергию. Пусть, для просто- ты, верхняя граница есть идеально мягкая, а нижняя – импедансная (рис. 5.27), причем величина импеданса есть вещественная положи- тельная величина. (Вернитесь к параграфу 5.7 и вспомните, что при чисто мнимом входном сопротивлении препятствия модуль коэффи- циента отражения падающей на препятствие волны равняется еди- нице.) Убедимся в том, что и в таком волноводе параметры нормаль- ной волны экспоненциально убывают в процессе своего распростра- нения.

Рис. 5.27. Плоскопараллельный волновод с идеально мягкой ( z = 0 ) и по- глощающей ( z = h ) границами

Данная модель является наиболее простой моделью водного слоя с учетом поглощающих свойств дна. Нужно отметить, что свойства морского дна не всегда можно описать на основе модели импеданс- ной границы. Но, для частного случая, когда скорость звука в грунте

267

мала по сравнению со скоростью звука в воде, такое приближение допустимо (вспомните почему?).

Итак, граничные условия на границах волновода имеют вид

p		z =0 = 0 ,	p				= αρc ,	(5.213)
			υz			z =h
где α – безразмерный коэффициент.
Нормальную волну данного волновода будет искать в виде
p = B sin(ξz )exp(−iωt + iγx ),								(5.214)

где γ = k2 − ξ2 , k = ω/c .

Первому условию (5.213) выражение (5.214) удовлетворяет авто- матически, для второго условия определим z -компоненту скорости

	частиц среды	1	∂p		Bξ
	υ =			=		cos (ξz )exp(−iωt + iγx ).	(5.215)
	z	iωρ ∂z			iωρ

Подставляя (5.214) и (5.215) во второе условие (5.213), приходим к уравнению

ξctg (ξh ) = i k .	(5.216)
α

В случае слоя с идеально жесткой нижней границей нужно поло- жить α = ∞ . Тогда уравнение (5.216) будет иметь вид ctg (ξh ) = 0 , от- куда

	1		π, n = 0,1,2,...	(5.217)
ξh = n +	2

Используя выражение (5.217) для волновода с идеальными граница- ми, будем искать решение уравнения (5.216) в виде

ξh =

n +

1

π − β ,

n = 0,1,2,...

(5.218)

n

2

Подставляя (5.218) в (5.216), получим уравнение

ctg

n +

1

π − β

= i

kh

,

2

n

n +

1

α

π − β

n

2

или, используя тригонометрическое соотношение для котангенса, бу- дем иметь такое уравнение относительно неизвестных величин βn :

	tg (βn ) = i			kh			.	(5.219)
		α	n +	1	π − β
					n
				2

Итак, выражение (5.214) для нормальной волны перепишем в виде

268

p

= B

sin n + 1

π − β

z

exp(−iωt + iγ x ),

n

n

n

n

2

h

где

2

2

2

2

2

1

π

β

n

γn = k

− ξn

= k

− n +

2

−

h

,

h

или, записав решение уравнения (5.219)

в виде βn = an + ibn , будем

иметь такое выражение для постоянной распространения

γ = k2 −

1 π

a

b

2

n

+

−

n

−i

n

.

n

h

h

2 h

Рассмотрим интересную с практической точки зрения ситуацию,

	когда в уравнении (5.219) величины an ,bn		(n + 0,5)π . Тогда можно
	переписать уравнение (5.219) в приближенном виде
	tg (βn ) ≈ i	kh	.
		α(n + 0,5)π

Положив βn ≈ ibn , bn > 0 , получим уравнение относительно величины bn :

th(bn ) ≈

kh

,

α(n + 0,5)π

откуда

kh

bn = arth

.

(5.220)

α

(n + 0,5)π

Таким образом, постоянная распространения γn

нормальной волны,

в пределах принятых приближений, определяется выражением

(n + 0,5)π 2

(n + 0,5)πb

γn ≈ k

2

−

n

.

h

1 + i

2

2

− (n +

2

2

k h

0,5)

π

В данном приближении, формула (5.214) для поля давления однород- ной нормальной волны примет вид

(n + 0.5)πz

2

(n + 0,5)πbn x

ωкрn

pn

= Bn sin

exp

−

exp

−iωt + ik

1−

x

,

h

2

2

ω

kh2 1−

ωкрn

2

ω

где ωкрn = (n + 0,5)πc /h

(5.221)

– критическая частота n -ой моды в волно-

воде с идеально мягкой и идеально жесткой границами. Используя

269

определение фазовой скорости нормальной волны (5.169), перепишем (5.221) следующим образом:

(n + 0.5)πz

(n + 0,5)πbn υфn x

x

p

= B

sin

exp −

2

exp

−iωt

−

.

n

n

h

ωh

υфn

Если в формуле (5.220) положить величину

kh

1, то можно

α(n + 0,5)π

считать, что

kh

bn ≈

,

α(n + 0,5)π

тогда поле давления нормальной волны будет иметь вид

n + 0.5

)

πz

υ

x

p

= B

sin (

exp

−

фn

x exp

−iωt

−

. (5.222)

n

n

h

αch

υфn

Как видим, давление в нормальной волне убывает по экспоненци- альному закону, причем для данной частоты пространственный ко- эффициент поглощения возрастает при увеличении номера нормаль- ной волны.

Часто в различных конструкциях искусственно создают поглоще- ние на стенках волноводных структур. Например, стенки вентиляци- онных каналов покрывают изнутри звукопоглощающим материалом, чтобы уменьшить передачу шума вдоль каналов. Однако и в таких каналах нулевая мода поглощается слабо и может передать шум на большое расстояние вдоль канала. В тот же время волны высших по- рядков угасают быстро. Поскольку передача звука в вентиляционных каналах есть нежелательное явление, то нужно принимать специаль- ные меры по преобразованию нормальной нулевой волны в волны высших номеров, которые убывают быстрее. В параграфе 10.6 мы расскажем об одной возможности простого решения этой проблемы.

5.15. Распространение звукового импульса в плоском волноводе

В третьем разделе, исследуя волновые процессы в струне, мы обратили внимание на то, что возмущения произвольной формы распространяются вдоль струны без изменения своей формы. Такой результат понятен, ведь в модели струны, как идеальной сплошной одномерной среде, дисперсия отсутствует, поэтому гармонические волны разных частот распространяются с одинаковой скоростью. Как следствие, возмущения произвольной формы распространяются вдоль струны без изменения своей формы.

270