Основы_акустики_Гринченко_Вовк

В волноводе, который заполнен идеальной жидкостью, ситуация иная. При распространении импульсного сигнала в волноводе его пространственно-временная структура испытывает воздействие со стороны волновода вследствие двух основных факторов. Один из них обусловлен тем, что волновод является фильтром, поскольку на часто- тах ниже критической частоты данная нормальная волна становится неоднородной. Другой фактор определяется дисперсией волн, кото- рые распространяются в волноводе. Природа дисперсии в волноводе обусловлена наличием граничных поверхностей. Такую дисперсию называют геометрической, ведь волновод наполнен идеальной жид- костью. Явление дисперсии скорости звуковой волны возможно и в свободном пространстве при условии, когда сама среда обладает со- ответствующими свойствами. Такую дисперсию называют физиче-

ской.

Вернемся к волноводу, который заполнен идеальной жидкостью. Реальный сигнал всегда имеет конечную во времени продолжитель- ность, т.е., другими словами, представляет собой некоторый импульс. Это вызывает большой интерес к изучению именно нестационарных процессов в волноводах. Принимая это во внимание, рассмотрим прохождение импульсного сигнала в волноводе с наиболее простой геометрией границ, а именно плоско-параллельном волноводе.

5.15.1. Математическая модель импульсного сигнала

В качестве временной зависимости исходного сигнала возьмем бесконечную периодическую последовательность импульсов в виде отрезка синусоиды (рис. 5.28). Можно выделить две причины, которые обуславливают использование в качестве математической модели импульсного сигнала не одиночный импульс, а бесконечную периодическую последовательность импульсов в виде отрезка сину- соиды. Во-первых, это дает возможность рассматривать волновой процесс на интервале периода следования импульсов Ti . Во-вторых,

такой сигнал имеет широкое применение в локационных устройствах разного назначения, например, в локаторах с использованием упру- гих или электромагнитных волн, медицинских сканерах и т. д. Часто такой сигнал называют радиоимпульсом. Такая модель позволяет наиболее просто использовать данные о распространении гармониче- ского сигнала для получения количественных оценок распростране- ния импульса.

Как уже отмечалось во введении, при распространении импульс- ного сигнала в волноводе его пространственно-временная структура подвергается воздействию со стороны волновода посредством двух основных механизмов. Один из них обусловлен тем, что волновод яв- ляется фильтром, поскольку на частотах меньше критической часто-

271

ты данная нормальная волна является неоднородной. Другой меха- низм определяется дисперсией волн, которые распространяются в волноводе. Проявление этих двух механизмов может иметь свои осо- бенности при распространении различных импульсных сигналов. Эти обстоятельства стимулируют рассмотрение более общей, чем на рис. 5.28, ситуации, при которой частота несущей изменяется, иначе го- воря, имеем модулированный импульсный сигнал.

Рис. 5.28. Временная зависимость давления в исходном сигнале

Итак, введем в рассмотрение три варианта временной зависимо- сти давления в исходном сигнале:

сигнал 1 – частота несущей ω0 на временном промежутке про-

должительности импульса τi	является постоянной величиной –
sin(ω t )		,	0 ≤ t ≤ τ		,	(5.223)
p (t ) =	0	,	τ	i
	0			≤ t ≤ T
			i	i

сигнал 2 – частота несущей на временном промежутке продолжи- тельности импульса τi увеличивается от ω0 до частоты ω0 (1+ ατi ) –

		,	0 ≤ t ≤ τ
sin(ω t (1+ αt ))					,	(5.224)
p (t ) =	0	,	τ	i
	0			≤ t ≤ T
			i	i

сигнал 3 – частота несущей на временном промежутке продолжи-

тельности импульса τi	уменьшается от ω0 (1+ ατi )						до частоты ω0 –
		ω0	(τi −t )(1+ α(τi −t ))		,	0	≤ t ≤ τi
sin								,	(5.225)
p (t ) =			0		,	τ	≤ t ≤ T
						i	i
где Ti = 2π/Ωi , Ωi и Ti		– частота и период следования импульсов, по-

стоянная α определяет скорость изменения несущей со временем. Очевидно, амплитудный спектр сигналов 2 и 3 будет одинаков, по- скольку эти сигналы являются “зеркально отраженными” во времени.

272

Введем параметры, которые широко используются в импульсной технике, а именно скважность q и количество N периодов T0 несу-

щей с неизменной частотой ω0 = 2π/T0 , которые образовывают им- пульс продолжительностью τi :

q =	Ti	,	N =	τi	, тогда	Nq =	Ti	.	(5.226)
				T
	τ						T
	i			0			0

Представим исходный сигнал (5.213), или (5.214), или (5.215) в ви- де ряда Фурье

	p (t ) =		∞	a		cos (ω	t )+b sin(	ω	t ) ,	(5.227)
			∑
			k =1		k	k	k	k
где коэффициенты ak			и bk		определяются по известным формулам,
величины p =	a2	+b2	имеют смысл амплитуд отдельных гармони-
k	k	k
ческих составляющих. Частоты							гармоник		ωk	= 2πfk = kω1 = kΩi ,

k =1,2,3,... кратны частоте следования импульсов Ωi . Согласно фор-

мулам (5.223)-(5.225) постоянная составляющая (k = 0 ) в ряде (5.227) отсутствует.

При проведении численных расчетов удобно оперировать безраз-

мерными величинами N , q . Безразмерное время определим как вре-

мя t ,

нормированное к продолжительности импульса

τi = NT0 ,

т.е.

t′ =

t

,

а пространственные величины будем нормировать к длине

τ

i

x

z

звуковой волны λ0 = cT0 на частоте несущей ω0 : x′ =

, z′ =

,

h

λ0

λ0

h′ =

. Тогда формулы (5.223)-(5.225) и (5.227) можно переписать в

λ0

виде

sin(2πNt′)

0 ≤ t′ ≤1

,

,

(5.228)

p (t′) =

0

,

1 ≤ t′ ≤ q

	(				(			))
			′		1	+ βt	′		,		0 ≤ t		′	≤1
	sin 2πNt														,			(5.229)
p (t′) =		0							,		1 ≤ t′			≤ q
		′		)(1					′	))	,		0 ≤ t		′	≤1
sin 2πN(1		− t				+ β(1 −t											,	(5.230)
p (t′) =		0									,	1 ≤ t′				≤ q

273

p (t′) =	K								,	(5.231)
	∑	ak cos		2πkt′		+bk sin	2πkt′
	k =1			q			q

здесь β = ατi . Положим в численных расчетах следующие значения параметров: N =10 , q =10 , тогда величина Nq =100 . Такой выбор

величины N позволяет, как показано ниже, рассматривать сигнал 1 как сигнал с узким спектром. Величина скважности q =10 определя-

ет временной интервал между импульсами в исходном сигнале, кото- рый вполне достаточен для последующего исследования формы сиг- нала при его распространении в волноводе.

Рис. 5.29. Амплитудный спектр исходного сигнала, N =10 , q =10 ,

K= 500 :

а– сигнал 1, б – сигналы 2 и 3 ( β = 0,9 )

На рис. 5.29 представлены величины амплитудных коэффициен-

тов	p	= a2	+b2	,	k =1,2,...,K гармоничных составляющих ряда
	k	k	k

(5.217), другими словами, показан амплитудный спектр исходного сигнала. При этом на рис. 5.29, а имеем спектр сигнала 1, а на рис. 5.29, б – спектр частотно модулированного сигнала 2 или 3 для вели-

274

чины β = 0,9 . Количество членов K конечного ряда (5.227) взято рав-

ным K = 500 .

Для сигнала 1, согласно рис. 5.29, а, максимальную амплитуду имеет сотая гармоника, которая отвечает частоте несущей ω0 (дейст-

вительно, из равенства ωk ≡ kΩi = ω0 , принимая во внимание форму- лы (5.216), имеем k = Ti /T0 = Nq =100 ). Частотный отрезок Δω сигна- ла 1 между частотами ω0 − 2π/τi иω0 + 2π/τi называется эффектив- ной полосой спектра. Номера гармоник, которые определяют край-

ние частоты этой полосы, находятся из соотношений				ω	±	2π	= kΩ .
				0		τ	i
			безразмерные параметры N и	q ,		i
Отсюда, используя						получаем
k = q (N ±1),		т.е.	k = 90 и k =110 . Поскольку		отношение
Δω	= 110 − 90	= 0,2 <1	, то имеем так называемый узкополосный сиг-
ω	100
0

нал. Для данного сигнала в эффективной полосе спектра содержится 90% всей его энергии.

Спектр сигнала 2 или 3, отображенный на рис. 5.29, б, является более широким. Если для сигнала 1 (рис. 5.29. а) 90% энергии сигнала

удерживает полоса частот [ω90,ω110 ], то соответственно для частотно модулированного сигнала 2 или 3 такой полосой является отрезок на

шкале частот ω	,ω	.
90	260

Оценку погрешности аппроксимации формы исходного сигнала (5.228)-(5.230) конечным рядом Фурье (5.231) проведем с помощью

такого энергетического соотношения:

2

q

′

)−

K

2π

′

2π

′

′

∫

p (t

∑

ak cos

q

ktk

+bk sin

q

ktk

dt

0

k =1

δ =

,

(5.232)

1

p

(

t′ 2 dt′

∫

)

здесь p (t′) –

0

исходный

сигнал,

определяемый

одной

из

формул

(5.228)-(5.230). Согласно выбранным численным величинам N , q , K , для сигнала 1 погрешность δ ≈ 7,5 10−6 , а для частотно модулирован-

ного сигнала 2 или 3 имеем δ ≈1,5 10−4 . Понятно, что это очень ма-

лая погрешность. Если резко снизить количество составляющих ряда (5.231), например взять K = 200 , то для сигнала 1 величина

δ ≈ 5,8 10−4 , что является вполне приемлемой погрешностью, а для

частотно модулированного сигнала 2 или 3 ситуация совсем другая – здесь величина δ ≈ 0,44 .

275

Рис. 5.30. График исходного сигнала, образованного конечным рядом Фурье (5.221) при удержании K = 500 составляющих ряда: а – сигнал 1, б – сигнал

2 ( β = 0,9 ), в – сигнал 3 ( β = 0,9 )

На рис. 5.30 представлены графики исходного сигнала, образо- ванного конечной суммой гармоник ряда (5.231) ( K = 500 ). Для сиг-

нала 1 (рис. 5.30. а) имеем десять периодов T0 = 2π/ω0 несущей на продолжительности импульса τi , а сигналы 2 (рис. 5.30, б) и 3 (рис.

5.30, в) удерживают по девятнадцать периодов переменной величины на том же отрезке времени τi .

Заметим, что предлагаемая модель сигнала не позволяет рассмат- ривать задачу распространения импульса в волноводе на произволь- ном отрезке времени. Имея в виду наличие в нем дисперсии можно сказать, что такое представление импульса пригодно до тех пор, пока запаздывание импульса не сравнится с периодом следования импуль- сов.

5.15.2. Распространение в волноводе импульсного сиг- нала с одномодовой пространственной структурой

Пусть в плоскопараллельном волноводе с акустически мяг- кими границами (рис. 5.31, а) в сечении x = 0 задается распределе- ние давления по сечению, которое отвечает первой моде волновода с временной зависимостью (5.223), (5.224) или (5.225). Например, для сигнала 2 в сечении x = 0 давление изменяется согласно закону

276

sin		πz sin		(	ω t	1+ αt	))	, 0 ≤ t ≤ τ ,
		h			0	(		i	(5.233)
p (z,t ) =
			0					, τi ≤ t ≤ Ti ,

где h – ширина волновода. Волновод заполнен идеальной жидкостью с плотностью ρ и скоростью звука c . Задача симметрична относи-

тельно сечения x = 0 , поэтому далее будем исследовать волновой процесс для координат x ≥ 0 .

Рис. 5.31. Плоскопараллельный волновод:

а – в сечении x = 0 задается распределение амплитуды давления, соответ- ствующее первой моде волновода,

б – в сечении x = 0 на отрезке z = z ,z

задается равномерное распреде-

1

2

ление амплитуды давления; вне этого отрезка давление равно нулю

Представим исходный сигнал 1, 2 или 3 в сечении

x = 0

в виде

конечного ряда Фурье

p (z,t ) = sin

πz

K

ω

t )+b

cos

π

− ω t

.

(5.234)

∑

a cos (

k

k

k

2

k

h k =1

Каждая составляющая этой суммы образует в волноводе первую моду

с частотой ωk	= kω1 = kΩi . Поэтому поле в волноводе будет иметь вид
суперпозиции	первых	мод		с	соответствующими				частотами ωk ,
k =1,2,...,K :
p (x,z,t ) = sin			πz	K	(a	+ ib	)exp −i (ω t − γ			x ) ,	(5.235)
				∑					k
					k	k		k
			h k =1								277

где постоянная распространения k -ой моды

γ

=

ωk

1−

ω2кр1

,

(5.236)

k

c

ω2

k

здесь ω

= πc

– критическая частота первой моды. Используя без-

кр1

h

размерные параметры, представим выражение ωkt − γk x

в формуле

(5.235) следующим образом:

ωkt − γk x = 2πkt′ −

2π

ω

2

kx′ 1−

1

кр1

,

(5.237)

Ωi

q

Nq

k

где отношение

ωкр1

≡

ωкр1

=

Nq

будет в дальнейшем представлять со-

2h′

Ωi

ω1

бой новый безразмерный параметр данной задачи.

Понятно, что из-за наличия дисперсии первой моды, в процессе распространения сигнала в нем будут накапливаться характерные искажения. Очевидно, что их характер будет существенно зависеть

от нормированной критической частоты первой моды ωкр1 ≡ ωкр1 ,

Ωi ω1

ведь величина этого параметра будет определять количество нор- мальных волн, которые являются неоднородными. Нормальные вол-

ны, для которых номер k > ωкр1 будут однородными.

Ωi

278

Рис. 5.32. Временные зависимости давления при распространении сигнала

1, ωкр1 = 20 , z /h = 0,5 :

Ωi

а - x′ = 50 , б - x′ =150 , в - x′ = 300

279

Рис. 5.33. Временные зависимости давления при распространении сигнала

1, ωкр1 = 40 , z /h = 0,5 :

Ωi

а - x′ = 50 , б - x′ =150 , в - x′ = 300

280