Основы_акустики_Гринченко_Вовк

вующих на него сил и моментов равнялись нулю. Равенство нулю суммы сил обеспечивается тем, что значение сил, которые действуют на противоположных гранях, должны быть равными, а сами силы — противоположными по направлению. Равенство нулю момента, в данном случае относительно оси Ох3, означает равенство нулю произ- ведения σ12 – σ21 на длину ребра кубика. Отсюда получим σ12 = σ21. Аналогично доказываются равенства σ31 = σ13, σ23 = σ32. Итак, сим- метрия тензора (σij) доказана. Таким образом, тензор напряжений оп-

ределяется не девятью величинами, а только шестью. С учетом симметрии тензора σjk равенство (6.59) можно переписать в виде

σi(n ) = σijn j .

(6.60)

Компоненты тензора напряжений σ11, σ22, σ33 называют нормальны-

ми напряжениями, а σ12, σ23 и т.д. — касательными напряжениями.

Рис. 6.9. Компоненты вектора напряжения на главных площадках тензора напряжений

Благодаря симметрии тензора σij его можно описать характери- стической поверхностью в виде эллипсоида с тремя главными осями (см. п. 6.1.4). На площадках, которые перпендикулярны к главным осям (их также называют главными площадками), напряженное со- стояние имеет простой вид (рис. 6.9): здесь напряжение соответству- ет простому сжатию или растяжению в направлении главных осей. Это главные значения тензора напряжений, которые называют глав-

ными нормальными напряжениями σ1, σ2, σ3. На этих площадках нет никаких сдвиговых сил. Итак, напряженное состояние полностью определяется главными напряжениями и ориентацией главных плос- костей. Вместо шести составляющих тензора σij здесь мы имеем дело с тремя главными напряжениями σ1, σ2, σ3 и тремя нормальными единичными векторами, которые определяют главные направления тензора напряжений.

321

Отсюда в системе координат, которые соответствуют главным осям тензора, соотношение (6.60) приобретают простой вид:

′

)

′

′

)

′

′

)

′

(n

,

(n

,

(n

,

(6.61)

σ1

= σ1n1

σ2

= σ2n2

σ3

= σ3n3

где σ(n ) = (σ1(n′),σ(2n′),σ(3n′)) — вектор напряжения в точке, n = (n1′,n2′ ,n3′ )

— координаты вектора нормали на произвольно ориентированной

′2

′2

′2

=1, то из

площадке в системе главных осей. Поскольку n1

+ n2

+n3

(6.61) получим

σ(n′) 2

σ(n′) 2

σ(n′) 2

1

+

2

+

3

=1.

(6.62)

σ

σ

2

σ

3

1

Уравнению (6.62) можно дать наглядное пояснение, а именно: геомет- рическое место концов вектора напряжения в исследуемой точке

σ(n ) = (σ1(n′),σ(2n′), σ(3n′)) образовывает эллипсоид, полуоси которого есть

главные напряжения σ1, σ2, σ3. Полученный эллипсоид носит назва-

ние эллипсоида напряжений.

Вообще, тензор напряжений в твердом теле, а также его эллипсоид изменяются от точки к точке, поэтому для описания всего тела следу- ет задать каждую компоненту тензора σij как функцию пространст- венных координат. Таким образом, тензор напряжений является по- лем. Мы уже встречались со скалярным полем давления и векторным полем скорости, для которого в каждой точке задавались три числа. Теперь имеем пример тензорного поля, которое задается в каждой точке пространства девятью числами, из которых для симметричного тензора напряжений σij реально остается только шесть. Итак, чтобы полностью описать внутренние силы в произвольном твердом теле, необходимо знать шесть функций пространственных координат х1,

х2, х3.

6.4. Тензор деформаций

Если каждая точка твердого тела получила одно и то же смещение, то это означает, что тело переместилось поступательно. В этом случае деформации тела отсутствуют, и никаких внутренних напряжений в теле не возникло. Внутренние напряжения возникают только тогда, когда расстояния между точками тела изменяются. Пусть xi и xi + dxi, i = 1,2,3, — координаты двух бесконечно близких точек, квадрат расстояния между которыми до деформации равен

322

(dl)2 =	3	= dxi2.
	∑ dxi2 = dxidxi		(6.63)
	i =1

При деформации точки смещаются; такое смещение будем описывать вектором смещения u = (u1, u2, u3). Каждая координата вектора сме-

щения является функцией координат, т.е. ui (x1,x2,x3) ≡ ui (xk). После деформации координаты определенных точек будут иметь вид

xi + ui (xk ) и xi + dxi + ui (xk + dxk ) ≈ xi + dxi + ui (xk )+	∂ui	dxk .
	∂xk

Тогда квадрат расстояния между точками после деформации равен

2		∂u	2		∂u		∂u		∂u
(dl′)	= dxi +	i	dxk	= dxi2 + 2	i	dxidxk +	i		i	dxkdxm .
		∂xk
					∂xk		∂xk ∂xm

Поскольку индексы в выражении (6.64) являются немыми, можно поменять местами и записать такие соотношения:

∂ui

∂ui

∂uk

2

dxidxk

=

dxidxk + ∂x

dxidxk ,

∂x

∂x

i

k

k

∂ui

∂ui

dxkdxm =

∂um

∂um

dxidxk .

∂xk ∂xm

∂xi ∂xk

В результате (dl′)2 представим в виде

(dl′)

2

(dl )

2

∂u

∂u

∂u

∂u

=

+

i

+

k

+

m

m

dx

dx

k

.

∂xk

∂xi

∂xi ∂xk

i

(6.64)

то их

(6.65)

Итак, приращение квадрата расстояния между двумя близкими точ- ками равно

2

2

∂u

∂u

∂u

∂u

(dl′)

− (dl )

=

i

+

k

+

m

m

dx

dx

(6.66)

∂xk

∂xi

∂xi ∂xk

i

k

или

(dl′)2 − (dl )2 = 2uikdxidxk ,

(6.67)

где

uik =

1

∂ui

+

∂uk

+

∂um

∂um

(6.68)

.

2

∂xi

∂xk

∂xi ∂xk

Поскольку (dl ′)2 — (dl )2 есть скалярная величина, а dxi, i = 1,2,3— ко- ординаты вектора, то (см. п. 6.1.4) выражение (6.67) определяет

323

квадратичную форму. Следовательно, ее коэффициенты uik образуют тензор второго ранга, который называется тензор деформаций. Оче- видно, тензор деформаций симметричный (uik = uki). Если все компо- ненты тензора uik равны нулю, то это означает, что расстояние между частицами тела не изменяется, и оно двигается, как абсолютно жест- кое тело.

Практически почти во всех случаях деформирования тел дефор- мации оказываются малыми. Это значит, что изменение любого рас- стояния в теле оказывается малым по сравнению с самим расстояни- ем. Ниже мы будем рассматривать все расстояния как малые. Поэто- му в выражении (6.68) можно пренебречь последним членом как ма- лой величиной второго порядка и ограничиться линейными относи- тельно ui членами, тогда

			1		∂ui
	uik	=				+	∂uk .	(6.69)
			2		∂xk
							∂xi

Определим физический смысл компонент линеаризованного тен- зора деформаций (6.69). Сначала рассмотрим диагональные компо- ненты (компоненты с двумя одинаковыми индексами), например

u11 = ∂u1/∂x1. Пусть x1 и x1 + dx1 — две близкие точки, которые лежат на оси Ox1. После деформации эти точки могут сместиться с оси Ox1,

их координаты вдоль оси Ox1 будут соответственно x1 + u1(x1, x2, x3) и x1 + dx1 + u1 (x1 + dx1, x2, x3). До деформации расстояние между точ- ками было dx1, а после деформации расстояние вдоль оси Ox1 стало

dx	+ u (x	+ dx ) − u (x ) ≈ dx			∂u1
				+		dx . Приращение расстояния меж-
1	1 1	1 1 1	1		∂x1		1

ду точками равно (∂u1/∂x1)dx1 . Если его поделить на начальное рас- стояние dx1, то получим относительное удлинение вдоль оси Ox1.

Итак,

диагональные

компоненты тензора деформаций (6.69):

u =

∂u1

,

u

22

=

∂u2

, u

33

=

∂u3

определяют относительное удлинение

11

∂x

∂x

2

∂x

3

1

вдоль координатных осей Ox1, Ox2, Ox3.

Определим изменение объема V = dx1dx2dx3 элементарного парал- лелепипеда с длинами ребер dx1, dx2, dx3. После деформации, как бы-

ло показано, длины ребер равны (1 + u11)dx1, (1 + u22)dx2, (1 + u33)dx3. Поскольку мы рассматриваем малые деформации, то можно не учи-

тывать квадратичные и кубические по ui члены, тогда объем паралле- лепипеда после деформации будет определяться как V ′ = (1 + u11 + u22 + u33)dx1dx2dx3. Для относительного изменения объе- ма имеем

324

V ′ −V = u		+ u	22	+ u	33	= u	,	(6.70)
V	11					kk

т.е. след тензора (6.69). След тензора является инвариантом, следова- тельно, относительное изменение объема, как и положено, не зависит от выбора системы координат. Вместе с этим (V ′ – V ) /V равно аку- стическому сжатию s с противоположным знаком (см. (4.18)), а сумма диагональных компонент тензора деформаций является дивергенци- ей вектора смещения u = (u1,u2,u3).Таким образом, получаем такое со- отношение:

ukk = div(u) = −s.

(6.71)

Рис. 6.10. Проекция недеформированного (OABC) и деформированного (O ′A′B ′C ′) элементов на плоскость х1Ох2

Рассмотрим теперь недиагональные компоненты тензора дефор- маций (компоненты с разными индексами), например u12. Возьмем снова элементарный параллелепипед с ребрами длиной dx1, dx2, dx3, которые параллельны осям координат. На рис. 6.10 изображена грань параллелепипеда, которая до деформации лежала в плоскости x1x2. Вследствие деформации вершины О, А, В, С сместились и, в общем случае, вышли из плоскости х1х2. Пусть О′, A′, B ′, C ′ — проекции но- вых положений соответствующих точек на плоскость х1х2. Учитывая малость деформаций и, соответственно, углов γ1, γ2 (рис. 6.10), полу- чаем

γ ≈ tgγ ≈

u2(A) − u2(O)

≈

∂u2

,

γ

2

≈ tgγ

2

≈

u1(C) − u1(O)

≈

∂u1

,

1

1

dx1

∂x1

dx2

∂x2

откуда

2u	=	∂u2	+	∂u1		= γ	+ γ	2	= u	+ u .	(6.72)
		∂x
12				∂x	2	1			12	21
		1
											325

Таким образом, сумма симметричных недиагональных компонент тензора деформаций uik + uki определяет деформацию прямого угла между соответствующими осями координат. Понятно, что изменение углов является следствием сдвига граней параллелепипеда. Итак, не- диагональные компоненты тензора деформаций (uik) описывают де- формации сдвига.

Как мы уже знаем, симметричный тензор имеет систему главных осей. В этой системе координат тензор деформаций приводится к диа- гональному виду в любой точке среды. Поэтому произвольную дефор- мацию можно описать только за счет удлинения и укорочения вдоль осей координат. Например, однородную деформацию сдвига кубика можно рассматривать как совокупность сжатия вдоль одной из диа- гоналей и растяжения вдоль другой.

6.5. Закон Гука

Внутренние напряжения в твердых телах определяются деформациями тела, подобно тому, как давление в жидкости опреде- ляется ее сжатием. Связь между напряжениями и деформациями может быть разного типа, это определяется моделью исследуемой среды. В дальнейшем будем рассматривать только тела с линейной упругостью, т.е. тела, для которых связь между компонентами на- пряжения и деформации линейная.

Проводя опыты с проволокой, Гук* установил линейную связь ме- жду нагрузкой и перемещением и в 1676 году сформулировал закон

“Ut tension sic vis” — “Какая сила, такая деформация”. Обобщением первоначального закона можно считать обобщенный закон Гука.

Компоненты напряжения в данной точке тела суть линейные и однородные функции компонент деформации в этой точке (и наобо- рот).

Понятно, что речь идет о малых деформациях. Итак, каждая ком- понента тензора напряжений линейно связана со всеми компонента- ми тензора деформаций. Например,

σ11 = C1111u11 +C1112u12 +C1113u13 +C1121u21 +

+C1122u22 +C1123u23 +C1131u31 +C1132u32 +C1133u33,

для других восьми компонент σij имеем восемь аналогичных уравне-

ний, где С — постоянные. Таким образом, закон Гука в обобщенной форме запишется в виде

σij = Cijkeuke .

(6.73)

* Гук (Hooke) Роберт (1635—1703) — английский физик.

326

Уравнение (6.73) заменяет девять уравнений, в каждом из которых справа имеем девять членов. Всего имеем 81 коэффициент Сijke.

Покажем, что 81 коэффициент Сijke образовывает тензор четверто- го ранга. Совокупность из 81 чисел Сijke, образовывает тензор четвер- того ранга, если эти числа при изменении системы координат пре- вращаются в числа Cijke′ в соответствии с формулой (6.21), а именно

	′			(6.74)
Cijke = αimαjn αkq αepCmnqp.
Для доказательства используем такие соотношения:
	′	= αimαjn σmn ,		(6.75)
	σij
	σmn = Cmnqpuqp ,			(6.76)
			′	(6.77)
	uqp = αqk αpeuke .
Комбинируя (6.75)-(6.77), получаем
′			′	(6.78)
σij	= αimαjn αqk αpeCmnqpuke .
Вместе с тем
	′	′	′	(6.79)
	σij	= Cmnkeuke .

Сравнивая коэффициенты в уравнениях (6.78) и (6.79), получаем за- кон преобразования компонент тензора четвертого ранга (6.74) при изменении системы координат.

Таким образом, (Cijke ) является тензором, который используется

как физическая характеристика среды. Его называют тензором уп- ругости. Действительно, соотношение (6.73) должно было бы иметь тензорный характер: иначе соотношение, которое справедливо в од- ной системе координат, оказалось бы несправедливым в другой, в то время как согласно самому содержанию такого соотношения оно должно быть инвариантным относительно выбора системы коорди- нат.

Здесь уместно отметить [1, c. 36], что основная задача тензорного исчисления как раз и состоит в том, чтобы научиться отделять ре- зультаты, которые принадлежат к самим физическим или геометри- ческим объектам, оттого, что привнесено случайным выбором систе- мы координат.

Вследствие симметрии тензоров (σij) и (uke) число уравнений (6.73) уменьшается до шести, и компоненты тензора (Сijke) имеют такое свойство:

Cijke = C jike = Cijek = C jiek .

(6.80)

327

Поэтому тензор модулей упругости имеет только 36 независимых компонент. Матрица его компонент имеет вид

C1111C2211C3311C1211C1311C2311

C		C		C		C		C
1122		1133		1112		1113		1123
C2222		C2233		C2212		C2213		C2223
C3322		C3333		C3312		C3313		C3323			(6.81)
C1222		C1233		C1212		C1213		C1223		.
C1322		C1333		C1312		C1313		C1323
C	2322	C	2333	C	2312	C	2313	C	2323

Дальнейшее уменьшение количества независимых компонент тен- зора упругости связано с энергетическими соображениями. Вспом- ним, что если сила F пропорциональна перемещению x, т.е. F = kx, то работа при данном перемещении равна kx2/2. Подобным образом, энергия, которая накоплена в единичном объеме (т.е. плотность энер- гии) деформированной среды, для обобщенного случая линейной свя- зи между напряжением и деформацией (6.73), имеет вид

U =	1 ∑ C	u u	=	1 ∑σ u .	(6.82)
	2 ijke	ijke ij ke		2 ij ij ij

Напомним, что индексы i, j, k, е изменяются от 1 до 3, что обеспечи- вает перебор всех компонент матрицы (6.81). После двукратного

∂

∂U

= C

дифференцирования (6.82) получим

ijke

. Поскольку по-

∂u

∂u

ke

ij

∂

рядок дифференцирования можно

изменять,

то

∂U

= C

,

∂uij ∂uke

keij

откуда имеем

∂2U

= Cijke = Ckeij .

(6.83)

∂uij ∂ukе

Благодаря такой симметрии, число независимых компонент тензора упругости уменьшается до 21. Такая ситуация отвечает наиболее об- щей анизотропии упругого тела.

Сделаем несколько замечаний. В общем случае анизотропии уг- ловые деформации возникают не только под действием касательных напряжений, но и нормальных. В свою очередь линейные деформа- ции зависят не только от нормальных напряжений, но и от каса- тельных. Если оси Ох1, Ох2, Ох3 являются главными осями напря- женного состояния, то касательные напряжения σ12 = σ13 = σ23 = 0. При этом угловые деформации (деформации сдвига) u12, u13, u23 не равны нулю. Итак, в анизотропной среде главные оси напряженного

328

и деформированного состояний в общем случае не совпадают. В об- щем случае анизотропии упругие свойства тела характеризуются 21 независимыми постоянными. У кристаллов, для которых характер- ной особенностью есть наличие соответствующей симметрии, коли- чество независимых постоянных упругости уменьшается [58]. Очень важным является использование закона упругости (6.73) при так на- зываемой конструктивной анизотропии. Если в упругой конструк- ции много раз повторяются конструктивные особенности, то в ряде случаев оказывается возможным рассматривать конструкцию как сплошную среду, наделив ее свойствами анизотропии. В качестве примера можно привести конструкцию, в которой чередуются слои металла и пластика, резины и нитей и т.д. Естественно, что такой подход возможен только в случае, когда общие размеры тела суще- ственно превышают размеры отдельных элементов конструкции.

Много реальных материалов можно изучать в рамках модели од- нородной и изотропной сплошной среды, для которой механические свойства во всех точках тела и для всех направлений одинаковы. По- этому, модель идеально изотропного тела является простейшим и вместе с тем очень важным и полезным приближением. В дальней- шем сосредоточим внимание именно на изотропной среде.

Запишем закон упругости (6.73) для изотропного тела. Для этого рассмотрим выражение (6.82) для плотности энергии в деформиро- ванной среде. Понятно, что в случае изотропного тела выражение для энергии не должно изменяться при повороте системы координат. По- нятно также, что компоненты тензора упругости Cijke в выражении (6.82) для изотропного тела являются инвариантными при повороте системы координат; тензор с такими свойствами называется изо- тропным. Итак, чтобы выражение для энергии не изменялось при повороте системы координат, в нем должны быть только два инвари- анта I1 и I2 (или I ) тензора деформаций uke (так как I3 имеет тре-

тью степень, см. (6.49), (6.50)). Кроме того, выражение для энергии (6.82) представляет собой однородную квадратичную функцию uke .

Поэтому в случае изотропного тела выражение для плотности энергии

U		представляет собой линейную комбинацию: U =												λ I 2		+ μI	или, с
учетом (6.49), (6.50), имеем														2	1
U	=	λ	(u	+ u	22	+ u	33	)2 + μ(u2	+ u2	+ u2	+ 2u2	+ 2u2	+ 2u2		),		(6.84)
		2	11					11	22	33	12	13		23

329

где λ и μ — две скалярные величины, так называемые упругие посто- янные Ламе*. Поскольку величина U должна быть положительно оп- ределенной, то для постоянных Ламе справедливы условия: λ > 0 , μ > 0 . Тогда согласно (6.82) и (6.84) имеем

	σ	=	∂U	= λδ	u	+ 2μu .	(6.85)
			∂u
	ij			ij	kk	ij
			ij

Уравнение (6.85) является обобщенным законом Гука для изотропной среды. Запишем (6.85) в развернутом виде:

σ11 = λ(u11 + u22 + u33 ) + 2μu11, σ22 = λ(u11 + u22 + u33 ) + 2μu22, σ33 = λ(u11 + u22 + u33 ) + 2μu33, σ12 = 2μu12,

σ13 = 2μu13,
σ23 = 2μu23.	(6.86)

Сравнивая (6.85) с (6.73), записываем матрицу коэффициентов тен- зора упругости (6.81) для изотропного тела:

λ + 2μ		λ	λ	0	0	0
	λ	λ + 2μ	λ	0	0	0
	λ	λ	λ + 2μ	0	0	0		(6.87)
							.
	0	0	0	2μ	0	0
	0	0	0	0	2μ	0
	0	0	0	0	0
						2μ

Как видим, упругие свойства изотропного тела полностью описы- ваются двумя постоянными λ и μ. Понятно, что главные оси тензора напряжений и тензора деформаций для изотропного тела совпадают. Вместо упругих постоянных Ламе часто используют другие постоян- ные, которые имеют четкий физический смысл и возможность экспе- риментального измерения. Их вводят при рассмотрении однородных деформаций тела, т.е. деформаций, при которых напряженное со- стояние среды одинаково во всех точках тела. Выделим такие важ- ные типы однородных деформаций: всестороннее сжатие, чистый сдвиг, растяжение вдоль одной оси.

* Ламє (Lame) Габриэль (1795—1870) — французский инженер, математик и механик.

330