ТОЭ / ТОЭ ТПУ

p ui 2I 2Rsin2 ( t i ) I 2R(1 cos2( t i )) .

p(t)

ψi=0

Р

Im Um

			0	π		2π ωt
						i(t)
				u(t)
					1	T
	Средняя за периодТ активная мощность: Р					p(t)dt I 2 R, Вт .
					T
						0

P – называется активной мощностью и используется в балансе активных мощностей.

Индуктивность в цепи синусоидального тока

При токе i(t) Im sin( t i ) , по закону электромагнитной индукции:

u L dtdi 2I Lcos( t i ) 2U sin( t i 900 )

Для действующих значений: U I L IX L , где X L L,Ом – индук-

тивное реактивное сопротивление.

Напряжение на индуктивности опережает ток на 900 , т.е. угол сдвига фаз 900 .

			p(t)
U m
900	ψi=0	i(t)
	I m
	0	π	2π ωt
			u(t)

21

Мгновенная активная мощность:

p ui 2I 2 XL sin( t i )cos( t i ) QL sin 2( t i )) ,

где QL I 2 X L , вар (вольт-ампер реактивный) – индуктивная реактивная мощность, применяется в балансе реактивных мощностей.

1 T

Средняя за периодТ активная мощность: Р T 0 p(t)dt 0 .

Когда p 0 индуктивность запасает энергию в магнитном поле, тогда

p 0 , запасенная энергия возвращается в сеть.

Ёмкость в цепи синусоидального тока

При

токе

i(t) Im sin( t i )

для

напряжения

получим:

1

I

cos( t i )

u

i(t)dt

2

2U sin( t i

900 ) .

С

C

Для действующих значений: U

I

IX

, где X

1

, Ом – емкост-

C

C

C

С

ное реактивное сопротивление. Напряжение на ѐмкости отстает от тока

на 900 , т.е. угол сдвига фаз

900 .

p(t)

u(t)

ψi=0

i(t)

I m

0

π

2π ωt

900

Um

Мгновенная активная мощность:

р u i 2I 2 X

C

sin( t

) cos( t

) Q

sin 2( t

) ,

i

i

C

i

где Q I 2 X

C

, вар –

емкостная реактивная мощность, применяется в

C

балансе реактивных мощностей.

1

T

Средняя за периодТ активная мощность:

Р

p(t)dt 0 .

T

0

22

Когда p 0 ѐмкость запасает энергию в электрическом поле, p 0 , за-

пасенная энергия возвращается в сеть.

Последовательное соединение R, L,C

i	R		UC
			c
u		L	U	UL	I
	C		UR	b
			ψi
			a

	При токе i						2I sin( t i ) , по 2 закону Кирхгофа входное на-
пряжение равно: u uR uL uC .
	Построим векторную диаграмму для действующих значений тока
и	напряжений.Получим треугольник напряжений abc, где
U	U 2 U		L	U	C	2 – действующее значение входного напряжения,
		R

arctg UL UC – сдвиг фазы между входным напряжением и током

UR

(угол нагрузки),

u 2U sin( t i ) – мгновенное значение входного напряжения.

На основании треугольника напряжений получаем треугольник сопротивлений и треугольник мощностей:

				Z				S
						XL- X C				QL- QC
				R				P
Из треугольника сопротивлений:
	U						X L X C
Z			R2 X L X C 2 , arctg						,
	I							R

где Z (Ом) – полное сопротивление цепи. Из треугольника мощностей:

. S UI P2 QL QC 2 , arctg QL QC ., P

23

где S , ВА (вольт-ампер) – полная мощность цепи; cos P – коэффи-

S

циент мощности.

На основании треугольника мощностей составляется баланс мощ-

ности электрической цепи.

а) мощность источников: Sи UI ,

Pи S cos ,

Qи S sin .

б) потребляемая мощность:

P I 2 R,

Q I 2 X

L

I 2 X

C

,

S

п

P2

Q2 .

п

п

Погрешность расчета (небаланс):

P

Pи Рп 100% 3% ,

Q

Qи Qп 100% 3%

Ри

Qи

Параллельное соединение R, L,C .

i

U

iR

iL

iC

IR

b

u

I c

ψU

R

L

C

a

I

C

I L

При напряжении u

2 U sin( t u ) ,

по 1 закону Кирхгофа входной

ток равен:

i iR iL iC . Построим векторную диаграмму для дейст-

вующих значений напряжения токов. Получим треугольник токов abc,

где I IR2 IL IC 2 – действующее значение входного тока,

arctg	IL IC	– сдвиг фазы между входным напряжением и током
	IR

(угол нагрузки).

i 2I sin( t u ) – мгновенное значение входного тока.

На основании треугольника токов получаем треугольник проводимостей.

24

g

bL - bC

Y

Из треугольника проводимостей:

I

, arctg

bL bC

,

Y

g2 b

b

2

U

L

C

g

где Y , См (Сименс) – полная проводимость цепи;

g

1

, См – активная проводимость;

R

b

1

, См – индуктивная реактивная проводимость;

L

X L

b

1

, См – емкостная реактивная проводимость.

C

XC

Изображение синусоидальных токов и напряжений комплексными числами

Синусоидальной функции времени напряжения или тока соответствует изображение в виде комплексного числа (КЧ) на комплексной плоскости.

							) I Ie j i
			i	2I sin( t		i		a jb ,
			– мнимая единица; I
где j	1						– комплекс действующего значения
тока; Ie j i –			показательная форма				записи КЧ;	a jb – алгебраическая

форма записи КЧ; a Re(Ie j i ) – действительная часть КЧ; b Im(Ie j i )

– мнимая часть КЧ.

+j				I
	b
			ψi	+1
				a

Система координат ( j, 1) называется комплексной плоскостью. (+1) – действительная ось, ( j )– мнимая ось.

Обе формы КЧ связаны тригонометрическими соотношениями:

25

	a I cos i , b I sin i , I			arctg	b
		a2 b2 , i				1800 ,
					a

причем ( 1800 ) учитывается, когда a 0 .

Операции с комплексными числами.

1) сложение и вычитание:

A1 A2 (a1 jb1) (a2 jb2 ) (a1 a2 ) (b1 b2 ) a3 jb3 A3

2) умножение:

A1e

j 1

A2e

j 2

A1A2e

j( 1 2 )

A3e

j 3

A1A2

A3

A1e

j 1

A1

A1

j ( 1 2 )

j 3

3)

деление:

e

A3e

A3

A2e

j 2

A2

A2

4)

возведение в степень: (Ae j )n

Ane j n

5)извлечение корня: nAe j nAe j n

6)комплексно-сопряжѐнное число A* : если A Ae j a jb , то

A* Ae j a jb

7)некоторые соотношения:

	j e j900 ;	( j) e j900 ; 1 e j 00 ;	( 1) e j1800 ;	1	j;	j2 1
				j

8) дифференцирование:

т.к. (2Asin( t )) (2 Asin( t 900 ) , то

(Ae j ) Ae j ( 900 ) j A

9) интегрирование:

т.к. 2 Asin( t i )dt 2 A sin( t i 900 ) , то

Ae j dt A e j ( 900 )			A	j	A
			j

Законы электротехники в комплексной форме

а) Закон Ома.

	I R
U
	jX L
	-jXC

26

При токе i 2I sin( t i ) , в комплексной форме получим изображения действующих значений тока и напряжений на элементах:

I Ie j i , UR IR , UL IjXL , UC I ( jXC ) .

Полное комплексное сопротивление цепи: Z R jX L jXC

j( i )

По закону Ома входное напряжение равно: U I Z Ue

б) Первый закон Кирхгофа. Для узла а: I

I

I

0 .

I.

1

2

3

b

jX L

c

.

2

.

I1

.

I1

E

1

-jXC

.

a

I2

I3.

.

R

UJ

I3

a	.	d
	J

Ze j

Ue j u

г) Второй закон Кирхгофа. Для контура 1: UR UL UC UJ E

или I1R I2 jXL I3 ( jXC ) UJ E .

Баланс мощности в комплексной форме.

Для расчета мощности источников используется комплексносопряжѐнное значение тока.

мощность источников:

Sи E I * UJ J * Se j S cos jS sin Pи jQи

активная потребляемая мощность: Pп I 2 R

реактивная потребляемая мощность: Qп I 2 X L I 2 XC погрешность расчета (небаланс):

P

Pи Рп

100% 3%

,

Q

Qи Qп

100% 3%

Ри

Qи

ТЕМА 3. РЕЗОНАНС В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Резонанс – это такой режим электрической цепи, содержащей емкости и индуктивности, при котором общее входное сопротивление или входная проводимость цепи будут резистивными. В этом режиме цепь потребляет только активную мощность и входные ток и напряжение совпадают по фазе.

27

Резонанс напряжений

Резонанс напряжений возникает при последовательном соединении участков цепи с индуктивным и емкостным характером. Входное сопротивление цепи: Z R j( X L X C ) .

Условие резонанса: X X

или L 1

C

.

L

C

I.

R

jX L

.

-jXC

U

Резонансные величины:

1

;

C 1

; L 1

2

.

0

LC

0

2

L

0

C

I I

X

L

X

C

В режиме резонанса Z R ;

U

; arctg

0 ;

R

max

R

Q UI sin 0 ;

S P UI cos I 2 R.

X L 1 C и arctg

X

Зависимости Z R2

X 2

,

от угловой

R

частоты :

Z, X, R

Z( )

90 0

R (ω)

0

0

X( )

- 90 0

Если X L X C R , то UL jX L I

, UC jXC I будут равны по модулю и

превысят входное напряжение U L UC U .

L

L

1

[Ом]

волновое

(характеристическое)

сопротивле-

C

0

0C

ние контура; G

UL

UC

X L

XC

добротность контура, ко-

U

U

R

R

R

тораяопределяет резонансные свойства контура. Чем больше доброт-

28

ность G , тем меньше отличаются L и C от резонансной частоты и тем острее становятся все три резонансные кривые I ( ) , UC ( ) , U L ( )

I, UL ,UC

UC	UL		I
	I max
		2
I
C 0 L			1	2
Полоса пропускания П		0	определяется по уровню Imax
	1 2	G		2

резонансной кривой тока I ( ) .

Векторная диаграмма резонанса напряжений

+ j
.	.
UL
	UC
	. .	I.
	UR U		+1

Резонанс токов

Резонанс токов возникает при параллельном соединении участков

цепи с индуктивным и емкостным характером.

I.

I.R

.

I.C

.

IL

R

U

jXL

-jX C

U

U

U

IR

gU; IL

UjbL ; IC

UjbC ,

R

jX L

jXC

29

где g 1 ; b

1

; b

1 .

R

L

X L

C

X C

По первому закону Кирхгофа:

j(bC

I

IR IC

IL

U (g

bL )) UY ,

где Y g j(bC bL ) – комплекс полной проводимости цепи.

Условие резонанса токов: b

b

или

1

L

C.

L

C

Резонансные величины: 1

; C 1

2

; L 1

2

.

0

LC

0

L

0

C

В режиме резонанса токов проводимость Y g 1

R

и входной ток бу-

дут минимальны; arctg bC bL

0 ; Q UI sin 0 ;

g

S P UI cos I 2 R .

R

Если g C 1

, то I

L

I

C

I ;

y

C волновая проводимость

0

0 L

L

контура;

G

IL

IC

R

R

y

добротность контура.

I

I

X L

XC

g

Частотные характеристики

I , I L , IC , I R

IL

90

IC

0

I

I R

90

0

30