ТОЭ / ТОЭ ТПУ

R2 jX C

R22 X C2

Векторная диаграмма при резонансе токов

+j

I.C
. .			.
	I	I R	U
I.L			+1

Резонанс токов в параллельном контуре с потерями
		I.		.
					IC
					I.L
		R1			R2
		.
		U
		jX L			-jX C

Y1 R1 1jX L ; Y 2 R2 1jXC ; Y Y1 Y 2 R1 1jX L R2 1jXC

По условию резонанса мнимая часть полной проводимости цепи должна равняться нулю. Чтобы выделить мнимую часть умножим числитель и знаменатель на комплексно сопряженные числа:

R1 jX L

R2	X 2
1			L
j			X C
		2	2
		R2	X C

		R1
	2		2
	R1		X L

		X L
			.
	2	2
	R1	X L

		R2
	2		2
	R2		X C

Приравняв к нулю мнимую часть, находим условие резонанса в параллельном контуре с потерями:

	XC			X L
					.
R2	X 2		R2	X 2
2	C	1		L

Из этого выражения находим резонансную частоту:

		2	R2
							1		;	L
			1		, где						.
р 0		2	R22			0		LC		C

31

Ue

j 0

,

токи в

параллельных ветвях

U

ILа

jILр ;

При U

IL

jX L

R1

I

U

I

jI

.

Cа

Cр

C

R2

jXC

Векторная диаграмма

+j

.

I.C р

IC

. .

I

U

.

.

.

+1

I Lр

I L а

IC а

IL

ТЕМА 4.ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ С

ВЗАИМНОЙ ИНДУКТИВНОСТЬЮ

При наличии в цепи катушек, взаимодействующих своими магнитными потоками, цепь называют индуктивно связанной или цепью с взаимной индуктивностью.В общем случае любое число катушек может иметь индуктивную связь.

Магнитный поток Ф1, Вб (Вебер)первого контура (создается i1 ) частично замыкается вокруг витков первого контура, создавая поток рассеяния Ф11 , и частично проходит через витки второго контура, создавая поток взаимной индукции) Ф21 : Ф1 Ф11 Ф21 .

Ф21
Ф11	Ф22
	Ф12
i1	i2

Магнитный поток Ф2 второго контура (создается i2 ) частично замыкается вокруг витков второго контура, создавая поток рассеяния Ф22 , и

32

частично проходит через витки первого контура, создавая поток взаимной индукции Ф12 : Ф2 Ф22 Ф12 .

Потокосцепление первого контура:

1 w1 (Ф1 Ф12 ),

потокосцепление второго контура:

2 w2 (Ф2 Ф21 ) , где

w1 ,

w2 – число витков первого и второго контуров.

L

w1Ф11

;

L

w2Ф22

, Гн – собственные индуктивности контуров;

1

i1

2

i2

М

w1Ф12

; М

w2Ф21

, Гн – взаимные индуктивности.

12

21

i2

i1

Для линейных цепей Ф21 Ф12 ; M12 M 21 M .

Степень магнитной связи двух катушек характеризуется коэффи-

циентом связи k

M

. Начала обмоток называются одноимѐнными

L1L2

зажимами и обозначаются на схеме звездочками или точками. Направление магнитного потока в катушке индуктивности опре-

деляется по правилу буравчика, поэтому, если потоки взаимной индукции Ф21 и Ф12 совпадают по направлению, то такое включение называ-

ют согласным включением. При этом токи направлены одинаковым образом относительно одноименных зажимов:

M

i1 *	L1	i2 *	L 2
	u1		u2

При встречном включении взаимные магнитные потоки Ф21 и Ф12 на-

правлены навстречу друг другу. При этом токи направлены различным образом относительно одноименных зажимов:

M

i1	L1 *	i2 *	L2
	u1		u2

Мгновенное значение напряжения на индуктивно связанных ка-

тушках:

33

u w

d(Ф11 Ф12 )

L

di1

M

di2

;

u w

d (Ф22 Ф21)

L

di2

M

di1

,

1 1

dt

1 dt

dt

2 2

dt

2

dt

dt

знак «+» берется при согласном включении катушек, а «–» – при встречном включении.

U1	Комплексы действующих значений напряжений на катушках
	UL1	UМ1	jXL1I1 jXМ I2 ;		U2	UL2 UМ 2		jXL2I2	jXМ I1 ,
где X L1 L1			; X L 2 L2 ;	X М M , Ом –			реактивное		сопротивление
индуктивной связи; UМ1 jXМ I2					, UМ 2 jXМ I1 – комплексные напряже-
ния взаимной индукции.
	При согласном включении берется знак «+» и вектора UМ1 и UМ 2
опережают свои токи I2				и I1 на 900 (индуктивный характер), а при
встречном включении берется знак «–», и вектора UМ1									и UМ 2	отстают
от своих токов на 900 (емкостной характер).										j MI
При расчете цепи по уравнениям Кирхгофа напряжение UM

учитывается наравне с другими падениями напряжения с учетом вида включения (согласное или встречное).

Последовательное соединение двух индуктивно связанных катушек

.

R1

XL1

I

.

XM

U

R 2

X

L2

По

закону

Ома:

UR1 IR1 ;

UR2

IR2

; Напряжения на катушках:

UM .

U1

jXL1I jXM I UL1

UM

; U2

jXL2 I jXM I UL2

Входное сопротивление цепи Z R1 R2 j( X L1 X L 2

2 X M ) .

U

U

I

Общий ток

,

R j( X

X

2X

Z R

L1

L2

M

)

1

2

«+» – при согласном включении;«–» – при встречном.

При неизменном действующем значении входного напряжения больший по величине ток будет при встречном включении.

Векторные диаграммы

34

.

			UM
+j					+j
			.
	.	.	UL2					.
								UM
							.
		.
							.	.
		.				.		UL2
	.		.			.	.	.
			I	+1
								+1
	согласное включение					встречное включение

Параллельное соединение двух индуктивно связанных катушек
			I.			I.2
			I.1
			R1							R 2
	U
						XM				XL2
			XL1

Уравнения по законам Кирхгофа в комплексной форме с учетом влияния индуктивной связи:

I I1		I2 ;	U I1R1		jX L1I1	jXM I2	; U I2R2		jXL2I2	jXM I1 .

Совместное решение уравнений позволяет определить ток:

I U Z1 Z 2 2( jX M ) ,

Z1 Z 2 X M2

где Z1 R1 jX L1 ;. Z 2 R2 jX L 2 ., при этом знак «+» берется при со-

гласном включении катушек,а «–» – при встречном.

При неизменном входном напряжении больший ток будет при встречном включении.

Потребляемая реактивная мощность с учетом индуктивной связи катушек определяется по формуле

Qп Ii2 X Li	Ik2 XCk 2X M Id Ir cos( d r ) , где
i	k

слагаемое 2 X M Id Ir cos( d r ) учитывает индуктивную связь; знак «+» ставится при согласном включении катушек и «–» при встречном; Id , Ir – действующие значения токов индуктивно связанных катушек; d , r – их начальные фазы.

35

Развязка индуктивной связи

Используется с целью упрощения расчетов. После развязки схема может быть рассчитана любым методом в комплексной форме.

Развязка последовательно соединенных катушек:

jXL1	XM	j(XL1 XM )	j(XL2 XM )
	jXL2
*	*
jXL1	XM	j(XL1 XM )	j(XL2 XM )
	jXL2
*		*

Развязка индуктивных связей катушек, имеющих общий узел:

если катушки подключены к общему узлу одноименными зажимами, то в эквивалентной схеме без индуктивной связи последовательно к каждому из них подключается сопротивление jX M , а в общую ветвь со-

противление jX M :

jXL1	jXL2	jXL1	jXL2
1
XM
*	*	jXM	jXM

jXM

если катушки подключены к общему узлу разноименными зажимами, то в эквивалентной схеме без индуктивной связи последовательно к каждому элементу подключается сопротивление jX M , а в общую ветвь

сопротивление jX M :

36

jXL1 * jXL 2 jXL1 jXL2

* XM

jXM jXM

jXM

ТЕМА 5. ДВУХОБМОТОЧНЫЙ ТРАНСФОРМАТОР В ЛИНЕЙНОМ РЕЖИМЕ

Трансформатор предназначен для преобразования величин переменных токов и напряжений при неизменной частоте. В простейшем случае он представляет собой две обмотки на замкнутом сердечнике из ферромагнитного материала. Передача энергии из первичной во вторичную обмоткупроисходит благодаря явлению взаимной индукции. Обмотка 1-11 называется первичной и подключается к источнику электроэнергии с напряжением u1 , обмотка 2-21 называется вторичной и

подключается к нагрузке с напряжением u2 .

1	i1			i2	2
	u1	w1	w2		u2
1					2

Схема замещения линейного трансформатора:

1	R1	XM	R2		2
.	*	*			.
	. XL1		XL2			Z н
U1				.	U2
	I1
				I2
1	а		а		2

Уравнения трансформатора в линейном режиме:

37

U1	I1R1 I1 jX L1			I2 jX M
UR1		UL1	UM 1
0 U		2 I2 R2 I2		jX L2	I1 jX M
U2	UR 2 U L2 UM 2

где U2 I2 Z н I2 (Rн jXн )- напряжение на нагрузке.

Коэффициент трансформации – это отношение напряжения на зажимах обмотки высшего напряжения (вн) к напряжению на зажимах

U х

обмотки низшего напряжения (нн) в режиме холостого хода: kтр вн .

Uннх

Если U

U

и R

X

, то k

w1

, где

w

, w – числа витков первич-

1

2

L1

тр

1

w2

1

2

ной и вторичной обмоток. Если в режиме холостого хода

( Z н , I 2 0 ) U1

U2 ,

kтр 1, то трансформатор называют понижаю-

щим, если U1 U2 , kтр 1– повышающим.

Диаграммы работы трансформатора в режиме холостого ходаи короткого замыкания:

+j
	.
	U1
. .		.
UM2	U2	UL1
	.	.
	UR1	I1	+1

+j
.
UM2		.
	.	UL1 .
			UM1
	UL2
		.
		U1
	.	.
.	UR2	I2	+1
UR1	.
	I1

Эквивалентная схема трансформатора без индуктивной связи

(за общий узел принимается точкаа в схеме замещения с индуктивной связью):

1	R1	j(XL1 XM )	j(XL2 XM )	R2	2
		а
			jXM		ZН
1					2

38

ТЕМА 6. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ С ИСТОЧНИКАМИ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ НАПРЯЖЕНИЙ И ТОКОВ

Несинусоидальные периодические напряжения и токи возникают в цепях содержащих нелинейные элементы – электроника, автоматика, радиотехника, и т.д.Расчет таких цепей заключается в следующем:

1.Разложение несинусоидальных ЭДС или токов источников тока в ряд Фурье.

2.Расчет электрической цепи по принципу наложения и определение постоянной и гармонических составляющих токов и напряжений в ветвях цепи.

3.Определение мгновенных или действующих значений токов и напряжений.

Разложение несинусоидальных ЭДС или токов источников тока в ряд Фурье.

f(t)
	T
0	t

Для разложения в ряд Фурье используется следующая форма за-

писи:

T

Т

1

f (t) A0 Akm sin(k t k ),где A0

1

f (t)dt

0

arctg

Ckm

,

A

B2

C2 ,

k

причем

km

km

km

Bkm

B

1

T f (t)sin(k t)dt, C

2

T

f (t)cos(к t) dt

km

к

T

0

0

Здесь

A0 – постоянная составляющая,

A1m sin( t 1 ) – первая

(основная) гармоника, ее период

T

2

равен периоду самой функции.

Все остальные гармоники называются высшими.

39

Так, Akm sin(k t k ) – гармоническая составляющая k-го поряд-

ка, (k-я гармоника), чей период T	2		T	. Каждой гармонике может
k	k		k

быть сопоставлена ее комплексная амплитуда:

Akm Akme j k Bkm jCkm

Действующие и средние значения несинусоидальных величин

Пусть известно разложение некоторого тока в ряд Фурье: i t I0 ik I0 Ikm sin(k t k ) .

Найдем его действующее (среднеквадратичное) значение:

	1	T i2 (t) dt				Im21		Im2
I				I 2					2	... I 2			I 2	I 2	... .
	T			0		2		2	0				1	2
		0

Действующее значение не зависит от начальных фаз гармоник. Его можно измерить приборами электромагнитной и электродинамической систем (а действующее значение напряжения – еще и электростатическими вольтметрами).

Среднее за период значение токаравно постоянной составляю-

1 T

щей в разложении I0 T 0 i(t)dt и может быть измерено приборами магнитоэлектрической системы.

		T
			1	T
Среднее по модулю значение тока I	ср				i(t)	dt	измеряется
				0

магнитоэлектрическими приборами с выпрямителем.

Волновые диаграммы и частотные спектры.

Для примера рассмотрим функцию несинусоидального тока в ви-

де ряда Фурье: i t 1 3sin( t 300 ) 2sin(3 t 900 ) , А

Совокупность комплексных амплитуд Akm всех гармоник данной

функции можно рассматривать как ее дискретный спектр. На графике он может быть представлен в виде линейчатых амплитудно- и фазочастотных спектров, которые показывают зависимость амплитуд гармоник Akm их начальных фаз k от номеров гармоник или их частот k .

40