ТОЭ / ТОЭ ТПУ

	b
E1	J
R	R
a	d
	R
	E2
	d

R R

R	c

Рис.5. Схема электрической цепи

3.Выбираем положительные направления токов. В ветвях, содержащих ЭДС – по направлению ЭДС, в остальных ветвях – произвольно. Расчетная схема электрической цепи с указанными направлениями токов в ветвях и напряжением на источнике тока приведена на рис.6.

4.В общем (буквенном) виде составляем полную систему уравнений состояния цепи по законам Кирхгофа для расчета токов всех ветвей и напряжения на источнике тока.

Схема содержит NУ 4 узла и NB 6 ветвей. Следовательно, по первому закону Кирхгофа можно составить: NУ 1 4 1 3 независимых уравнения, а по второму закону Кирхгофа: NB NУ 1 6 4 1 3 неза-

висимых уравнения.На схеме рис.6 пунктирной линией показано направление обхода контуров.

Узел b: I1 I4 J Узел c: I2 I4 I3 0 Узел а: I3 I1 I5 0

Контур 1: U J I5 2R E1

Контур 2: I2 R I3 R2 I5 2R E2

Контур 3: I2 R I4 R U J E2

61

				b
		I1
	E1	J1к	J	UJ	I
			1к		4
J3к
	a			d
	I5	2 R	E2		R
		J2к		d
			R		3к

I 3

2к

I2

R/2 c

Рис.6. Расчетная схема

Спомощью программы MATCHAD производим расчет уравнений

вматричной форме:

						1						2
			1	0	0		0	0									1.009
			0	1	1	1	0	0				0
																	1.155
			1				1
	a			0	1	0		0		b		0		i a 1 b	i		0.164
			0	0	0	0	220	1				100					0.991
			0	110 55		0	220	0				50					0.845
		0		110	0	110	0	1				50					286

Значение токов ветвей схемы и напряжение на источнике тока:

I1 1.009 A, I2 1.155 A, I3 0.164 A, I4 0.991 A,

I5 0.845 A, U J 286 B

5. Методом контурных токов определяем токи в ветвях. Выбираем независимые контуры. В рассматриваемой схеме их три

(рис.6). При этом, поскольку ветвь bdсодержит идеальный источник тока, эта ветвь может входить только в один контур. Ток этого контура равен току источника: J2k J 2 A .

Для остальных контурных токов составляем уравнения:

62

J2к (2R R R2 ) J1к 2R J3к R2 E2

J3к (R R2 ) J1к 0 J2к R2 E1

После переноса в правую часть постоянных коэффициентов уравнения примут вид:

J2к (2R R R2 ) J3к R2 E2 J 2R

J2к R2 J3к (R R2 ) E1

Численно получим:

385J2к 55J3к 390

55J2к 165J3к 100

В матричной форме уравнения будут иметь вид:

	385	55		J2к		390
	55
		165		J3к		100
После расчета получим:
J2k 1.155				A; J3k	0.991 A.
Определяем токи ветвей:

I1 J1k J3k 2 0.991 1.009 A ; I2 J2k 1.155 A ;

I3 J2k J3k 1.155 0.991 0.164 A ; I4 J3k 0.991 A ;

I5 J1k J2k 2 1.155 0.845 A .

Согласно второму закону Кирхгофа,

U J I5 R I1 0 E1 ,

Отсюда

U J I5 R E1 0.845 220 100 286 B .

6. Определим токи в ветвях схемы методом узловых потенциалов. Между узлами a и b включена ветвь с идеальным источником ЭДС без сопротивления. Поэтому в качестве базисного ( 0 ) удобно принять

узел а, тогда a 0 ; b E1 100 B .

Для узлов c и d составляем узловые уравнения:

63

1

1

2

1

1

E

2

c

R

d

R

b

R

R

R

R

1

1

1

E2

c

d

J

R

R

2R

R

Перенеся слагаемое b R1 в правую часть уравнения и подставив известные числовые значения, получаем:

		1					1						2						1				50				100
	c						110				110							d	110			110					110
		110
			1						1								1						50
	c					d													2
			110					110								220							110

В матричной форме уравнения будут иметь вид:

	0.03636	0.00909					1.3636
	0.00909				c		2.4545
		0.0136363		d

После расчета получим:

c 9 B, d 186 B

Токи в ветвях схемы определятся по обобщенному закону Ома:

I

2

d c

E2 186 9 50 1.154 A

R

110

I

2 c

2( 9)

0.163 A

3

R

110

I

b

c

100 9

0.991 A

4

R

110

I

d

186

0.845 A

5

2R

220

U J

b

d

100 186 286 В

Ветвь аb содержит только одну ЭДС E1 и проводимость этой ветви

равна , поэтому ток I1 невозможно определить через потенциалы узлов. Для узлаа составим уравнение по первому закону Кирхгофа:

I1 I3 I5 0.163 0.845 1.008 A .

7. Составляем уравнение баланса мощности. Мощность источников:

Pи E1I1 E2 I2 U J J 100( 1.009) 50( 1.155) 286 2 413.35 Вт

Мощность потребителей:

64

Pn I22 R I32 R2 I42 R I52 2R

( 1.155)2 110 ( 0.164)2 55 0.9912 110 0.8452 220 413.336 Вт

Погрешность расчета (небаланс) составила

		Pи Pп				413.36 413.336
				100%				100% 0,0058% .
		Pи			413.36
Таким образом, небаланс в пределах допуска ( ≤ 1 %).
8.	Определим ток I5 в ветви с сопротивлением 2R методом экви-

валентного генератора.

Изобразим схему относительно ветви ad в виде эквивалентного генератора в режиме холостого хода (рис.7).

Из схемы рис.7 определим ЭДС эквивалентного генератора

ЕГ U XX .

Согласно второму закону Кирхгофа, U

JR I

R

E

,

XX

3ХХ

2

2

откуда: E

U

E

JR I

R

Г

XX

2

3ХХ

2

Для определения тока I3ХХ воспользуемся методом контурных то-

ков:

J

J 2 A,

J

(R

R

) J

R E

1K

2 K

1K

2

1

Подставляя численные значения, получим:

I3 ХХ

J2 К

E1 J1К R

110 2 110

0.727 А, тогда

R

R 2

110 55

EГ U ХХ 50 2 110 0.727 55 310 В

65

		b		J2к
E1		J
a	U xx		d
				J1к
		E2			R
			J

R

I 3 xx R/2

c

Рис.7. Эквивалентный генератор в режиме холостого хода

Для определения RГ рисуем вспомогательную схему (рис.8), в которой источники ЭДС замкнуты, а источники тока разомкнуты.

						b
a			R Г				d
								R
					R
			R/2
						c

Рис.8. К определению сопротивления эквивалентного генератора

Из расчета схемы получаем:

	R	R
							110 55
R R		2				110		146.66 Ом .
Г	R		R				110 55
		2

По формуле Тевенена-Гельмгольца определяем ток в сопротивлении нагрузки:

I5			EГ			310	0.845 A
		RГ				146.66 220
				2R

66

Ток короткого замыкания эквивалентного генератора определится
как
I	КЗ	EГ		310	2.113 A .
		RГ	146.66
Определим ток I5 графически. Для этого построим в одних осях
внешнюю характеристику эквивалентного генератора и вольтамперную
характеристику нагрузки (сопротивления 2R ). Внешняя характеристика
является линейной и пересекает оси координат в точках U XX и I										кз	.
Вольтамперная характеристика нагрузки также линейна и строит-
ся по закону Ома: U5 I5 2R . При этом достаточно задать два значения
тока, например I5 0					и I5 1А .
Точка пересечения характеристик будет рабочей точкой генерато-
ра, нагруженного на сопротивление 2R , а ее проекция на оси координат
– искомыми током и напряжением (рис.9). Получаем графические зна-
чения	U5 186 В,			I5 0.85 А.
			B	U
		400
				U хх
		300
		200
				U5
		100
					I5			I кз	I
			0		0.5	1	1.5	2	A
				Рис.9. Графическое определение тока и
					напряжения на сопротивлении 2R

9. Построим потенциальную диаграмму для контура add′c(рис.6), не содержащего источника тока.

Принимаем a 0

Тогда d a I5 2R 0 0.845 220 185.9 Bd d E2 185.9 50 135.9 B

c d I2 R 135.9 1.155 110 8.85 B

a c I3 R2 8.85 0.164 55 0 B

67

Диаграмма приведена на рис.10.
B
0	a	110	220	330	a	R
						Ом
				c
-100
			d
-200			d
	Рис.10. Потенциальная диаграмма для контура a d d c a

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ РАСЧЕТНОГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ №2

1.Изобразим схему электрической цепи для условного варианта, рассмотренного в методических указаниях к заданию №1 (рис.11).

2.В общем (буквенном) виде составляем полную систему уравнений состояния цепи по законам Кирхгофа для расчета токов всех ветвей

инапряжения на источнике тока.

Схема содержит NУ 4 узла и NB 7 ветвей. Следовательно, по первому закону Кирхгофа можно составить NУ 1 4 1 3 независимых уравнения, а по второму закону Кирхгофа NB NУ 1 7 4 1 4 независимых уравнения.

В индуктивных элементах токи i2 (t), i3 (t) ориентированы одинаковым

образом относительно одноименных зажимов, обозначенных звѐздочками, поэтому имеем вариант согласного включения.

Узел а:	i3 i1	i5 0
Узел b: i1 iR 4 iC 4		J
Узел d:	i5 i2 J
Контур 1:U J		i5 2R e1

Контур 2: i 2R i R L

di2

M

di3

i

R

L

di3

M

di2

e

5

2

dt

dt

3

2

dt

dt

2

Контур 3:

i R L

di2

M

di3

1

i

dt u

e

C

J

2

dt

dt

C 4

2

68

	C
Контур 4:	1		i	dt i	R 0
			C 4	R4

b

i1 (t)
e1(t)	1к	J(t)		u (t)
				J
	2R		d
a				3к
i5(t)
		e (t)
		2		C	4к	R

i3(t) 2к R

		M		iC4(t) iR4(t)
			L
					i4	(t)
	L	R/2	i2(t)

c

Рис.11. Схема электрической цепи переменного тока

2.Определим реактивные сопротивления:

ХL L 314 0.35 110 Oм; Х М М 314 0.185 55 Ом;

Х			1		1	110 Ом.
	С				314 28.95 10 6
			С

Здесь и далее 2 f 2 314 50 314 радс – угловая частота

источников ЭДС и тока.

3. Полные сопротивления ветвей схемы:

Z1 0;

Z 2 R jX L 110 j110 Oм;

Z

R

jX

55 j110 Oм;

3

L

2

Z

R ( jXC )

R jX

110 ( j110)

55 j55 Oм;

4

C 4

4

j110

R jXC

110

Z 5 2R 220 Ом.

Комплексы действующих значений ЭДС и тока источников:

E1 100e j900 0 j100 B;

	50e	j 450	35.35 j35.35 B;		2e	j300	1.732	j1 A.
E2				J

69

Расчетная схема с комплексными источниками ЭДС и тока и комплексными сопротивлениями ветвей показана на рис.12.

.		.
E1		I1			b
		.				.
	1к	U
						J
		J
a .					d	.
I5		Z5						3к		Z 4
			.			E	2
.			I	2	.
I3	2 к
									I.
		M				Z	2			4
		Z 3			c
Рис.12. Расчетная комплексная схема
	замещения электрической цепи

4. Составляем систему уравнений в комплексной форме по законам Кирхгофа для расчета токов ветвей и напряжения на источнике тока:

Узел b:

I

I

J

1

4

Узел c:

I

I

I

0

2

4

3

Узел а:

I

I

I

0

Контур 1:

3

1

5

UJ I5 2R E1

I2 jXM I5 Z 5

E2

Контур 2:

I2 Z 2 I3 jXM

I3 Z3

E2

Контур 3:

I2 Z 2 I3 jXM

I4 Z 4

UJ

Подставляя численные значения, получим:

Узел b:

I I J

1

4

Узел c:

I

I

I

0

2

4

3

Узел а:

I

I

I

0

Контур 1:

3

1

5

UJ

I5 220 j100

Контур 2:

I (110 j165) I

(55 j165) I 220 35.35 j35.35

2

3

5

35.35 j35.35

Контур 3: I2 (110 j110) I3 j55 I4 (55 j55) UJ

Спомощью программы MATCHAD производим расчет уравнений

вматричной форме:

	1		0	0	1		0	0				1.732 i
	0		1	1	1		0 0					0
												0
a	1		0	1	0		1	0		b
												100i
		0	0	0	0	220		1
												35.35 35.35i
		0	110 165i	55 165i	0	70	220	0
											35.35 35.35i
	0		110 110i	55i	55	55i 0		1