Класс самодвойственных функций

Функция f(х₁,..., х_n) называется самодвойственной, еслиf(х₁, ..., х_n) =f(х₁, ...,х_n).

Пример.f(х) = х,f(х) =х – самодвойствен­ные функ­ции;f(х₁, х₂) = х₁• х₂,f(х₁, х₂) = х₁Úх₂– несамо­двой­ственные.

Лемма 3. Из самодвойственных функций суперпози­цией можно получить только самодвойственные функции.

Следствие. Полная система функций должна содер­жать хотя бы одну несамодвойственную функцию.

Класс монотонных функций

Набор  = (₁, ..., _n) предшествует набору  = (₁, ..., _n), если _i  _i (i = l, 2, ..., n). Это обозначаем как   . Наборы, которые находятся в отношении  называются сравнимыми.

Функция f(х₁, ..., х_n) называется монотонной, если для любой пары наборов a и b таких, что при   : f()  f().

Пример.f(х) = х,f(х₁, х₂) = х₁ • х₂,f(х₁, х₂) = х₁Úх₂– монотонные функции, аf(х) =х – немо­нотонная функция.

Лемма 5. Из монотонных функций суперпозицией мож­но получить только монотонные функции.

Следствие. Полная система функций должна содер­жать хотя бы одну немонотонную функцию.

Класс линейных функций

Функция f(х₁, ..., х_n) называется линейной, если полином Жегалкина этой функции имеет линейный вид:

f(х₁, ..., х_n) = а₀Åа₁x₁Å…Åа_n x_n,

где а_i  {0,1} (i = 0, l, ..., n).

Пример.f(х) = х,f(х) =х = хÅ 1 – линейные функции;f(х₁, х₂) = х₁ Úх₂= х₁Å х₂Å х₁•х₂– нелинейная функция.

Лемма 7. Из линейных функций суперпозицией можно полу­чить только линейные функции.

Следствие. Полная система функций должна содержать хотя бы одну нелинейную функцию.

Таблица 2.6. Свойства функций двух переменных

Обозначе­ние функ­ции	Свойства функции
	Сохра­няю­щая 0	Сохра­няю­щая 1	Самодвой­ствен­ность	Моно­тонность	Линей­ность
f1 = 0	+	–	+	+	+
f2 = х1  х2	+	+	–	+	–
f3 = х1  х2	+	–	–	–	–
f4 = x1	+	+	+	+	+
f5 = х2  х1	+	–	–	–	–
f6 = x2	+	+	+	+	+
f7 = x1  x2	+	–	–	–	+
f8 = х1 Ú х2	+	+	–	+	–
f9 = х1  х2	–	–	–	–	–
f10 = x1 ~ x2	–	+	–	–	+
f11 = x2	–	–	+	–	+
f12 = x2  x1	–	+	–	–	–
f13 =x1	–	–	+	–	+
f14 = x1  x2	–	+	–	–	–
f15 = x1  x2	–	–	–	–	–
f16 = 1	–	+	+	+	+

В таблице 2.6 дается полезная информация о свойствах всех функций двух переменных. Пользуясь этой таблицей можно проверить полноту заданной системы функций, а также построить другие базисы.