2.1.2. Основные логические операции

1. Выражение А  В(«А и В») означает высказыва­ние, истинное только в том случае, когда А и В истинны.

Такое вы­сказывание называют конъюнкцией выска­зы­ва­нийА и В. Символобозначает операцию конъюнкции. Эта операция соответствует союзу«и»в обычной речи. В алгебре логики знак операции «» можно опускать или заменять на «•».

В обычной речи не принято соединять союзом «и» два высказывания, далекие по со­держанию. В алгебре высказываний операция конъюнкции мо­жет быть применена к любым двум высказываниям. Например, для высказываний: «пять больше трех» и «трава зеленая» их конъюнкция является истинным вы­сказыванием.

2. Выражение А  В(«А или В») означает высказы­вание, истинное, если хотя бы одно из высказываний А или В явля­ется истинным.

Такое высказывание называют дизъюнкцией вы­ска­зыва­нийА и В. Символобозначает операцию дизъюнкции. Эта операция соответствует союзу «или» в обычной речи, применяе­мому в неисключающем смысле.

Дело в том, что в обычной речи союз «или» может иметь два смысловых значения: неисключающее и исключающее. В пер­вом случае подразумевается, что из двух высказываний, по крайней мере, одно истинно, а может быть и оба истинны. Пример такого высказывания: «В жаркую погоду пьют воду или едят мороже­ное». Во втором случае полагают, что из двух высказываний истин­ным является только одно. Пример такого высказывания: «Сегодня мы поедем на экскурсию или пойдем на пляж». Конъюнкция высказываний соответствует перво­му случаю.

3. Выражение A  B(«если А, то В» или «А влечет В») означает высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно.

Такое высказывание называют импли­кацией высказыванийА и В. Высказывание А называетсяусловием(посылкой), высказывание В –заключением(следствием) импликации. Символобозначает опера­цию импликации.

В обычной речи операции импликации соответствует связка «если ..., то…». Отличие состоит в том, что связка предполагает смысловую за­висимость соединяемых высказываний, а для операциисмысло­вая связь несущест­венна.

Например, высказывания: «если 2 * 2 = 5, то трава синяя» и «если два больше трех, то восемь делится на четыре» являются истинными, так как у первого из них ложная посылка, а у второго – истинное следствие. Импликация: «если 2 * 2 = 4, то 5 < 2» ложна, поскольку ее условие истинно, а заключение ложно.

4. Выражение A ~ В(«А эквивалентно В») означает высказывание, кото­рое истинно тогда и только тогда, когда А и В оба истинны или оба ложны.

Такое высказывание называют эквивалентностью высказыванийAи В. Символ~означает операцию эквивалентности.

В обычной речи этой операции соответствует связка: «тогда и только тогда, когда». Примером эквивалентности может служить высказывание: «ТреугольникABCравнобедренный тогда и только тогда, когда угол при вершине В равен углу при вершине С».

4. Выражение А («не А») означает высказывание, которое истинно, когда А ложно и ложно, когда А истинно.

Такое высказывание называютотрицаниемвысказыванияА. Символ над буквой обозначает операцию отрицания.

В обычной речи этой операции соответствует частица «не». Например, для истин­ного высказывания: «восемь делится на четыре» отрицанием являет­ся ложное высказывание: «неверно, что восемь делится на четыре» или «восемь не делится на четыре».