4.2. Элементарные функции

В таблице 4.2 приведен перечень известных из школьного курса функций и их графиков. Эти функции называются основными элементарными функциями.

Элементарными функциями называются функции, которые можно получить из основных элементарных функций (перечисленных в таблице) с помощью алгебраических операций и композиций функций.

Примеры:

__________________________________________________________________________________

1. Функция

у = +

является элементарной, так как она получена с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и образования сложной функции.

2. Функция у = |x| (рис. 4.4) является примером неэлементарной функции

у

y = |x|

х

Рис. 4.4

________________________________________________________________

Таблица 4.2

Аналитическое задание

Область определения Х

Область значений Y

График

1. Степенная функция

у = xⁿ , nN у = x⁻ⁿ , nN y=, n N, n 1

(- , +) (- , 0) (- , +) (- , +), если nнечетно; , еслиnчетно

(- , +), Если nнечетно;, еслиnчетно (- , 0) (- , +), еслиnнечетно;, еслиnчетно (- , +), если nнечетно; , еслиnчетно

у у y= 1 у = х 0 1 х 0 1 х у у у = 1/xу =1/ х² 0 1 x0 1x у у у =у = 0 1 х 0 1 х

2.Показательная функция

у = , а 0, а1

(- , + )

y y = 0 a 1 1 a 1 0 1 x

Аналитическое задание

Область определения Х

Область значений Y

График

3.Логарифмическая функция

y=₁ a0, a 1

(

(- , + )

Y a > 1 y = 0 1 x 0 < a < 1

4.Тригонометрические функции

y=sinx У = сosx

(- , + ) (- , + )

[-1,1] [-1,1]

у 1 0 -2П -П П/2 П 2П х -1 y 1 -п - 0п х -1

y= tg x

(-+ Пn,+ Пn), N Z

(- , + )

y -п -0П x

3. Предел функции

Понятие предела является математическим выражением факта одновременного стремления двух связанных величин к некоторым значениям.

Примеры:

__________________________________________________________________________________

• если вы читаете литературу со скоростью 60 страниц в час, то при стремлении времени чтения к двум часам числе прочитанных страниц будет стремиться к 120;

• если количество рекламных вставок равно 30 в час, то при прибли­жении времени просмотра телепередачи к трем часам число реклам будет приближаться к 90;

• вы усиленно работаете над своим характером, чтобы быть похожим на Васю, который нравится Марине, а она нравится вам; тогда, если вы станете похожим на Васю, степень благосклонности Марины к вам будет почти такой же, как и к Васе [1, с. 112].

_______________________________________________________________

Понятие предела является одним из основных в математике. Рас­смотрим любую функцию, например у = x³; зададим любое значение х, к примеру, х = 2. Возьмём последовательность чисел x, близких к числу 2, и вычислим значения у_i = х_i³. Один из вариантов последовательностей чисел x_i и у_i^. приведен в табл. 4.3.

Таблица 4.3

x	1,96	1,97	1,98	1,99	2	2,01	2,02	2,03	2,04
y	7,53	7,64	7,76	7,88	8	8,12	8,24	8,36	8,49

Приведенная в таблице последовательность чисел имеет следующую закономерность: чем меньше число х отличается от числа 2, тем меньше соответствующее значение у отличается от числа 8. Т. е. при стремлении числа х к 2 число у стре­мится к 8, какие бы последовательности чисел x_i и у_i = х_i³ мы ни рассматривали.

Число А называется пределом функции у = f(x) при стремлении х к а (или в точке х = а), если для всех значений х (х ≠ а), сколь угодно мало отличающихся от а, соответствующие значения у сколь угодно мало отличаются от А.

y у = f(x)

A +ε

A 2ε

A – ε

0 х₀ -х₀ х₀ + x

Рис. 4.5

Число А — предел функции y=f(x) при х → а, если для любого положи­тельного числа ε можно указать такое положительное число δ, зависящее от ε, что для всех х, удовлетворяющих нера­венству 0 < |х - а| <δ, имеет место неравенство |f(x) — А| < ε.

Символическая запись: lim f(x) = A

x→a

Пример:

__________________________________________________________________________________

Предел функции у=х² в точке х=2 равен 4. Записываем:

____________________________________________________________