3.Обработка результатов косвенных измерений.
Пусть интересующая нас физическая величина Х связана с величинами a и b некоторым физическим соотношением
X= f (a,b)
причем
величины a
и b
определены в результате прямых измерений,
т.е. нам известны 
,
,
,
Результат косвенного измерения величины Х записывается в виде
где в качестве наилучшего значения для Х принимается
(5)
а
погрешность
рассчитывается через погрешности 
и 
по формуле
где
и 
- частные производные функции f
по переменным а
и b,
соответственно. Если понятие частной
производной Вам пока недоступно, то
поверьте, что применение формулы (6) для
конкретных функций f
(a,b)
приводит к следующим формулам для оценки
погрешностей:
: 
;
: 
;
:
;
(7)
Рассмотрим следующий пример. Предположим, что Вы хотите определить ускорение свободного падения g. Пренебрегая сопротивлением воздуха, для свободно падающего стального шарика, можно записать:
;
где t- время падения, а h- высота, с которой падает шарик. Таким образом, измеряя высоту h и время падения t, можно рассчитать ускорение свободного g падения по формуле
Вы пять раз сбрасываете шарик с одной и той же высоты и измеряете время t.
Пусть результаты измерений время следующие:
Измерение времени производится секундомером, цена деления шкалы которого
Измеряя высоту h, Вы получили h = 20.0 0.1 м.
Обработаем
результаты измерений в соответствии с
формулами (1),(2),(3).(5),(7) и определим
ускорение свободного падения.
Таким
образом, в рассмотренном эксперименте
результатом измерения свободного
падения является 
4. Изображение экспериментальных результатов на графиках.
Использование графиков для обработки результатов измерений
Для наглядного представления полученных результатов измерений, сравнения экспериментальных данных с теоретической зависимостью, а также с целью быстрого и простого определения некоторых величин, используются графики.
При
построении графической зависимости
y=f(x)
каждая экспериментальная точка 
обозначается крестом. Полуразмер креста
по горизонтали должен быть равен
погрешности x
,
а его вертикальный полуразмер - погрешности
(рис.1).
Для графиков следует использовать миллиметровую бумагу. При построении графиков следует разумно выбирать масштабы, чтобы измеренные точки располагались по всей площади листа.
По осям графика удобно откладывать такие величины, чтобы теоретически ожидаемая зависимость являлась достаточно простой, например, описывалась бы прямой линией. Поясним сказанное на следующем примере. Допустим, что
0
X
Рис.1
изучается
движение тела с постоянным ускорением
.
Измеряя в различные моменты времени t
величину перемещения тела S,
мы хотим определить величину а
ускорения. Если начальная скорость
движения тела равна нулю, то зависимость
перемещения S
от времени
t
описывается формулой
Экспериментальные
результаты 
удобно представить графически в виде
зависимости y=f(x)
, где 
,
а y=S.
Соответствующий график представляет
собой прямую y=ax,
проходящую через начало координат
(рис.2).
По наклону графика можно найти ускорение
где
и 
координаты точки на прямой, проведенной
наилучшим образом через экспериментально
полученные точки 
.
0
X
При
обработке экспериментальных результатов
довольно часто возникает задача
построения наилучшим образом прямой
y=ax
, проходящей через N
экспериментальных точек 
Параметр а
можно определить по методу “наименьших
квадратов”, согласно которому параметру
а
переписывается такое значение, при
котором величина
имеет
минимум. При этом получается следующая
формула для 
:
Для оценки погрешности определения параметра а можно воспользоваться формулой
Обработку результатов по методу наименьших квадратов удобно проводить на компьютере, в память которого необходимо заложить соответствующую программу расчетов.
ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ.