- •Экономико-математические методы и модели (курс лекций)
- •Isbn 5-7369-0373-3 © Векленко в.И., 2006 введение
- •Часть I. Экономико-математические
- •Классификация экономико-математических методов
- •1. Методы классической математики
- •Леция 2. Основы линейного программирования
- •1. Общие сведения о линейном программировании
- •2. Задача линейного программирования
- •3. Постановка задачи линейного программирования
- •Лекция 3. Решение и анализ задачи линейного программирования
- •Графический способ решения задачи
- •Симплексный метод и его алгоритм
- •Решение задачи симплексным методом
- •4. Симплекс-метод с искусственным базисом или м-метод
- •Оптимальных решений задач линейного программирования
- •Двойственная задача линейного программирования
- •2. Экономические свойства двойственных оценок
- •3. Анализ оптимального решения по последней симплексной таблице
- •Лекция 5. Распределительный метод решения задачи линейного программирования
- •Постановка и экономико-математическая модель распределительной (транспортной) задачи
- •2. Общая характеристика метода потенциалов
- •3. Решение транспортной задачи
- •Особые случаи решения транспортной задачи
- •Дополнительные ограничения в транспортной задаче
- •Лекция 6. Методы теории игр
- •Основные понятия теории игр
- •Матричные игры
- •Критерии оптимизации в играх с природой. Принятие решений в условиях неопределенности
- •Лекция 7. Методы управления запасами
- •Системы регулирования товарных запасов
- •Модель Уилсона
- •Задача 1
- •Решение
- •Модель планирования экономичного размера партии
- •Формулы модели экономичного размера партии:
- •Задача 2
- •Решение
- •Лекция 8. Балансовые методы и модели
- •Балансовый метод. Принципиальная схема межотраслевого баланса
- •2. Экономико-математическая модель межотраслевого баланса
- •3. Расчеты по модели межотраслевого баланса
- •Определение обратной матрицы Еn-а методом Жордана-Гаусса:
- •Задача 1.
- •Задача 2
- •Лекция 9. Сетевое планирование
- •Основные понятия сетевых методов
- •Методы построения сетевых моделей
- •Основные понятия сетевых методов
- •Методы построения сетевых моделей
- •Задача 1
- •Решение
- •Анализ сетевых моделей
- •Задача 2
- •Решение
- •4. График взаимосвязи работ во времени
- •Задача 3
- •Лекция 10. Методы и модели теории массового обслуживания
- •1. Общие понятия, определения и классификация методов и моделей в системах массового обслуживания
- •2. Модели разомкнутых систем
- •Часть II. Экономико-математические
- •2. Экономическая система
- •Моделирование экономических процессов
- •4. Экономико-математические модели
- •1. Законы спроса и предложения
- •2. Рыночная цена
- •3. Эластичность
- •Закон убывающей предельной полезности. Потребительское поведение
- •2. Эффект дохода и эффект замещения
- •3. Кривые безразличия
- •4. Бюджетные линии
- •Лекция 14. Модели издержек фирмы
- •2. Предельные издержки фирмы
- •Модели поведения фирмы в условиях совершенной конкуренции
- •2 Способ:
- •1 Подход:
- •2 Подход:
- •2. Модели поведения монополии
- •Лекция 16. Оптимальное распределение ресурсов фирмой
- •1. Предельная доходность ресурса
- •2. Предельные издержки ресурса
- •3. Выбор варианта сочетания ресурсов
- •Проектирования
- •1. Принципы анализа инвестиционного проекта
- •2. Стоимость денег во времени. Сложный процент и дисконтирование
- •3. Показатели эффективности в проектном анализе
- •1. Способы представления производственных функций
- •2. Экономико-статистическое моделирование
- •3. Экономические характеристики производственных функций
- •Лекция 19. Модель общего рыночного равновесия эрроу-гурвица
- •1. Алгоритм построения модели
- •2. Проведение модельных расчетов
- •Р. Солоу
- •1. Накопление капитала
- •2. Рост народонаселения
- •3. Научно-технический прогресс
- •Содержание
2. Предельные издержки фирмы
В соответствии с законом убывающей отдачи (возрастающих затрат) непрерывное увеличение использования одного переменного ресурса в сочетании с неизменным количеством других ресурсов на определенном этапе приведет к прекращению роста отдачи от него, а затем и к ее сокращению.
Допустим, что фирма в своей деятельности использует только один переменный ресурс - труд, отдачей которого является производительность. При постепенном увеличении числа нанимаемых рабочих по мере загрузки оборудования выпуск продукции быстро нарастает, затем прирост постепенно замедляется до тех пор, пока рабочих станет достаточно для полной загрузки оборудования. Если продолжать нанимать рабочих, они уже ничего не смогут добавить к объему производимой продукции. В конце концов, рабочих станет так много, что они будут мешать друг другу и выпуск сократится (рис. 33).
Рис. 33 - Закон убывающей отдачи. Динамика выпуска продукции с увеличением численности рабочих (а) и динамика предельного продукта (б):
Q - объем выпуска, L - численность рабочих, МРL- предельный продукт труда
Предельный продукт. Прирост продукции за счет увеличения на единицу количества переменного фактора называется предельным продуктом этого фактора. Предельным продуктом труда МРL будет прирост объема производства за счет привлечения одного дополнительного рабочего. На графике (рис. 33, б) показаны изменения объема выпуска продукции с ростом численности рабочих L. Прирост производства, сначала быстрый, постепенно замедляется, затем останавливается и, наконец, становится отрицательным.
Фирма в своей деятельности сталкивается в первую очередь не с количеством используемых ресурсов, а с их денежной оценкой.
Предельные издержки. Прирост издержек, связанный с выпуском дополнительной единицы продукции, т.е. отношение прироста переменных издержек к вызванному ими приросту продукции, называется предельными издержками фирмы МС.
где МС - предельные издержки фирмы;
ΔVC - прирост переменных издержек,
ΔQ - вызванный ими прирост объема производства.
Предположим, что наем каждого рабочего обходится фирме в 1000 руб. В нашем примере один рабочий вообще не в состоянии произвести продукцию, двое рабочих могут произвести 5 единиц, трое рабочих - 15 единиц и т.д. (табл. 33).
Таблица 33 - Издержки и выпуск при одном виде переменных ресурсов
Численность рабочих, чел. |
Выпуск продукции, шт. |
Издержки фирмы, руб. | |
на выплату заработной платы |
предельные | ||
1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
0 5 15 35 50 60 65 65 55 |
0 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 |
- 400 100 50 66,7 100 200 - - |
Фирма не будет нанимать восьмого и девятого рабочих, так как восьмой не сможет обеспечить прироста производства, а девятый будет мешать, и производство сократится. Поэтому фирма либо примет решение о расширении производственных площадей, которые позволят эффективно использовать дополнительных рабочих, либо ограничится наймом 2-7 рабочих при уже существующих мощностях. Для ответа на вопрос, сколько конкретно рабочих будет нанято, необходима информация о спросе на продукцию и доходах фирмы от ее реализации.
На практике фирма сталкивается не с одним, а с несколькими переменными ресурсами. Часть же ее издержек останется постоянной. В краткосрочном периоде издержки можно разделить на постоянные и переменные.
Предположим, постоянные издержки фирмы равны 1000 руб.:
FC=1000.
Переменные издержки выражены следующей функцией:
VC=406+198Q+10,3Q2.
Тогда валовые издержки равны:
TC=FC+VC=1406+198Q+10,3Q2.
Предельные издержки для 1-й единицы продукции совпадают с переменными издержками:
MC(1)=VC(1).
Для 2-й и последующих единиц продукции предельные издержки равны:
MC(Q)==198+20,6Q.
Средние переменные издержки равны:
AVC=198+10,3Q+.
Средние постоянные издержки равны:
AFC=
Средние валовые издержки равны:
ATC=198+10,3Q+
Минимальное значение средних переменных издержек будет получено при следующем объеме:
Q=6,3, min AVC=328.
Минимальное значение средних валовых издержек будет получено при объеме производства, равном:
Q=11,7, min AТC=439.
Минимальное значение средние валовые издержки достигают в точке пересечения их кривой на графике с линией предельных издержек:
198+103,Q+ Q=11,7.
Минимальное же значение средних переменных издержек достигается при таком объеме производства, когда их величина равна предельным издержкам:
198+103,Q+ Q=6,3.
Изменение средних и предельных издержек фирмы зависит от изменения объема выпускаемой продукции (рис. 34). Взаимное расположение кривых на графике всегда подчинено определенным закономерностям. Когда кривая предельных издержек проходит ниже кривой средних переменных издержек, последняя всегда имеет характер понижающейся кривой, так как эти издержки сокращаются.
Рис. 34 - Кривые издержки фирмы в краткосрочном периоде:
С - издержки, Q - объем выпуска, AFC - средние постоянные издержки, AVC - средние
переменные издержки, АТС – средние валовые издержки, МС - предельные издержки
С момента пересечения кривой предельных издержек и кривой средних переменных издержек средние переменные издержки начинают возрастать. Такая же закономерность существует для кривых предельных и средних валовых издержек: кривая предельных издержек пересекает кривую средних валовых издержек в ее минимальной точке.
Лекция 15. МОДЕЛИ ПОВЕДЕНИЯ ФИРМЫ НА РЫНКЕ
1. Модели поведения фирмы в условиях совершенной конкуренции
2. Модели поведения монополии