- •Экономико-математические методы и модели (курс лекций)
- •Isbn 5-7369-0373-3 © Векленко в.И., 2006 введение
- •Часть I. Экономико-математические
- •Классификация экономико-математических методов
- •1. Методы классической математики
- •Леция 2. Основы линейного программирования
- •1. Общие сведения о линейном программировании
- •2. Задача линейного программирования
- •3. Постановка задачи линейного программирования
- •Лекция 3. Решение и анализ задачи линейного программирования
- •Графический способ решения задачи
- •Симплексный метод и его алгоритм
- •Решение задачи симплексным методом
- •4. Симплекс-метод с искусственным базисом или м-метод
- •Оптимальных решений задач линейного программирования
- •Двойственная задача линейного программирования
- •2. Экономические свойства двойственных оценок
- •3. Анализ оптимального решения по последней симплексной таблице
- •Лекция 5. Распределительный метод решения задачи линейного программирования
- •Постановка и экономико-математическая модель распределительной (транспортной) задачи
- •2. Общая характеристика метода потенциалов
- •3. Решение транспортной задачи
- •Особые случаи решения транспортной задачи
- •Дополнительные ограничения в транспортной задаче
- •Лекция 6. Методы теории игр
- •Основные понятия теории игр
- •Матричные игры
- •Критерии оптимизации в играх с природой. Принятие решений в условиях неопределенности
- •Лекция 7. Методы управления запасами
- •Системы регулирования товарных запасов
- •Модель Уилсона
- •Задача 1
- •Решение
- •Модель планирования экономичного размера партии
- •Формулы модели экономичного размера партии:
- •Задача 2
- •Решение
- •Лекция 8. Балансовые методы и модели
- •Балансовый метод. Принципиальная схема межотраслевого баланса
- •2. Экономико-математическая модель межотраслевого баланса
- •3. Расчеты по модели межотраслевого баланса
- •Определение обратной матрицы Еn-а методом Жордана-Гаусса:
- •Задача 1.
- •Задача 2
- •Лекция 9. Сетевое планирование
- •Основные понятия сетевых методов
- •Методы построения сетевых моделей
- •Основные понятия сетевых методов
- •Методы построения сетевых моделей
- •Задача 1
- •Решение
- •Анализ сетевых моделей
- •Задача 2
- •Решение
- •4. График взаимосвязи работ во времени
- •Задача 3
- •Лекция 10. Методы и модели теории массового обслуживания
- •1. Общие понятия, определения и классификация методов и моделей в системах массового обслуживания
- •2. Модели разомкнутых систем
- •Часть II. Экономико-математические
- •2. Экономическая система
- •Моделирование экономических процессов
- •4. Экономико-математические модели
- •1. Законы спроса и предложения
- •2. Рыночная цена
- •3. Эластичность
- •Закон убывающей предельной полезности. Потребительское поведение
- •2. Эффект дохода и эффект замещения
- •3. Кривые безразличия
- •4. Бюджетные линии
- •Лекция 14. Модели издержек фирмы
- •2. Предельные издержки фирмы
- •Модели поведения фирмы в условиях совершенной конкуренции
- •2 Способ:
- •1 Подход:
- •2 Подход:
- •2. Модели поведения монополии
- •Лекция 16. Оптимальное распределение ресурсов фирмой
- •1. Предельная доходность ресурса
- •2. Предельные издержки ресурса
- •3. Выбор варианта сочетания ресурсов
- •Проектирования
- •1. Принципы анализа инвестиционного проекта
- •2. Стоимость денег во времени. Сложный процент и дисконтирование
- •3. Показатели эффективности в проектном анализе
- •1. Способы представления производственных функций
- •2. Экономико-статистическое моделирование
- •3. Экономические характеристики производственных функций
- •Лекция 19. Модель общего рыночного равновесия эрроу-гурвица
- •1. Алгоритм построения модели
- •2. Проведение модельных расчетов
- •Р. Солоу
- •1. Накопление капитала
- •2. Рост народонаселения
- •3. Научно-технический прогресс
- •Содержание
Модели поведения фирмы в условиях совершенной конкуренции
Спрос на продукцию отдельной фирмы в условиях чистой конкуренции является абсолютно эластичным. Если цена 1 кг яблок составляет Ро, то кривую спроса на них можно изобразить в виде горизонтальной линии d, показывающей, что любое количество предлагаемой продукции будет продаваться по цене Ро (рис. 35, а). Напротив, график рыночного спроса на яблоки D будет наклонным, отражая готовность потребителей приобрести различное количество яблок при всех возможных уровнях цен (рис. 35, б): при цене Ро будет приобретено Qo яблок.
Рис. 35 - Спрос на продукцию конкурентной фирмы (а)
и отраслевой спрос (б)
Поскольку цена продукции конкурентной фирмы является внешним фактором и не зависит от объема производства, общий (валовой) доход фирмы TR будет равен произведению цены на количество продукции:
TR=Q P.
При этом предельный доход MR (прирост дохода, связанный с выпуском каждой дополнительной единицы продукции) будет равен цене продукции:
MR=TR(Q) - TR(Q - 1)=QP - (Q - 1)P=P.
Средний доход (валовой доход, деленный на количество проданных товаров) фирмы в условиях совершенной конкуренции также будет равен цене:
ATR=TR/Q=Q P/Q=P.
Пример. На рынке продали 5 кг яблок по рыночной цене 7 руб. за 1 кг. Общий (валовой) доход составит 35 руб. (5х7), средний и предельный доходы будут равны 7 руб. На графике кривые среднего и предельного дохода совпадают между собой, а также с горизонталью спроса на продукцию конкурентной фирмы, валовой доход линейно зависит от объема проданной продукции (рис. 36).
Рис. 36 - График валового TR и предельного MR доходов конкурентной фирмы
Объем выпуска и реализации в условиях совершенной конкуренции. Для определения объема производства фирмой позволяющий получить, максимальную прибыль необходимо учитывать различия во временных интервалах. В краткосрочном периоде, недостаточном для вхождения новых производителей в отрасль или выхода из нее, фирма определяет объем производства двумя способами. Первый состоит в том, что фирма сравнивает получаемый ею валовой доход при различных объемах выпуска с валовыми издержками, соответствующими каждому из возможных объемов. Фирма выберет вариант, когда разница между валовым доходом и валовыми издержками будет максимальной, иными словами, будет достигнут максимальный объем прибыли (рис. 37, а):
max π = max (TR-TC).
Однако на практике, когда фирма уже занимается производством, важно определить, что ей даст производство еще одной дополнительной единицы продукции, в какой пропорции расширение производства увеличит доход и издержки. Для этого фирма должна сравнить предельный доход и предельные издержки. До тех пор, пока расширение производства будет обеспечивать более быстрый рост дохода по сравнению с ростом издержек, фирма будет наращивать производство. Когда же дополнительная продукция будет больше добавлять к издержкам, чем к доходу, фирма прекратит расширять объем выпуска. То количество продукции, при котором обеспечивается это равенство, и будет выбрано фирмой (рис. 37, б):
max π: MR=MC.
Для конкурентной фирмы MR=P, следовательно, max π: MC=P.
Этот объем будет соответствовать точке оптимального выпуска.
Любой объем производства от Q1 до Q2 принесет фирме прибыль (рис. 37, а), однако лишь в точке Qo эта прибыль будет максимальной. Именно при Qo предельный доход будет равен предельным издержкам (рис. 37, б). На участке Q1Qo фирма будет недополучать возможную прибыль, а на промежутке QoQ2 предельные издержки превысят предельный доход и эффективность снизится.
Рис. 37 - Выбор объема производства фирмой путем сопоставления
валовых (а) и предельных (б) дохода и издержек:
ТС - валовые издержки; TR - валовой доход; МС - предельные издержки; MR - предельный доход
В краткосрочном периоде фирма может столкнуться с ситуацией убытков, например при снижении рыночной цены. Поведение фирмы может быть двояким: либо она продолжит производство, несмотря на убытки, либо прекратит свою деятельность и закроется.
В случае возникновения временных убытков, фирма предпочтет производить. При этом ее задачей станет минимизация убытков.
Возможны три ситуации, с которыми сталкивается фирма в условиях совершенной конкуренции. Производя продукцию в количестве Qo, при котором обеспечивается равенство цены (предельного дохода) и предельных издержек, фирма получает прибыль, поскольку сложившаяся на рынке цена Ро превышает минимальные средние валовые издержки (рис. 38).
Рис. 38 - Максимизация прибыли фирмой в условиях совершенной
конкуренции Заштрихованный прямоугольник показывает размер прибыли
Предположим, что по каким-то причинам рыночная цена продукции упала до уровня P1 и стала ниже минимума средних валовых издержек фирмы, однако выше минимума средних переменных издержек. В этом случае фирма продолжит производство в объеме, который позволит минимизировать возникшие убытки и хотя бы частично компенсировать постоянные издержки (затраты на аренду помещения, оборудование и т.п.).
Потери показаны заштрихованным прямоугольником на рисунке 39.
Рис. 39 - Минимизация убытков фирмой в условиях
совершенной конкуренции
Если рыночная цена снизится до уровня Р2 и окажется ниже минимальных средних переменных издержек, то фирма не сможет компенсировать даже части своих постоянных затрат и единственным приемлемым выходом для нее станет прекращение производства. Подобная ситуация отражена на рисунке 40.
Рис. 40 - Соотношение цены и издержек, когда единственным выходом
для фирмы является прекращение деятельности
Из рисунков 38 и 39 видно, что при более высокой рыночной цене равенство предельного дохода (цены) и предельных издержек будет достигаться при большем объеме производства данной фирмы. Учитывая это обстоятельство, можно построить график предложения конкурентной фирмы при всех возможных вариантах рыночных цен (рис. 41).
Рис. 41 - График предложения фирмы в условиях совершенной конкуренции
Фирма начнет производство при цене не ниже минимума средних переменных издержек (P1) и будет продолжать увеличивать выпуск до Q3 при цене Рз, минимизируя убытки, затем при росте цены до Р4 и далее до Р5 будет производить от Q4 до Q5, максимизируя прибыль. Кривая Х1 Х2 будет кривой предложения фирмы при всех возможных ценах от Р1 до Р5.
Рассмотрим действия фирмы, имеющей издержки, рассмотренные выше, при разных ценах, складывающихся на рынке.
Цена 500 руб. за единицу продукции.
1 подход определения оптимального объема производства продукции, максимизирующего прибыль:
π=500Q-(1406+198Q+10,3Q2),
π =302Q-1406-10,3Q2,
max π:=302-20,6Q=0,
Q=14,7.