3.1. Критическая длина волны в плоском волноводе

Выясним условия существования различных мод волн в зависимости от их индекса, ширины волновода и длины волны возбуждения.

Длиной волны возбуждения называется такая, которую будет иметь волна той же частоты в безграничном пространстве со свойствами среды заполнения волновода.

При решении этой задачи будем исходить из сформулированного ранее условия существования направляемых волн в плоском волноводе.

Для существования направляемых волн в плоском волноводе расстояние между плоскостями должно быть кратно половине длины волны.

В математической форме это условие описывается следующим выражением:

(3.1)

где	а	- ширина плоского волновода (расстояние между плоскостями);
	φ	- угол падения волны на стенки волновода;
	m	- количество полуволн стоячей волны, укладывающихся между плоскостями (индекс моды волны).

Эта формула связывает параметры волновода и волны. Нам надо соотнести угол отражения с остальными параметрами. Для этого перепишем условие (3.1) в следующем эквивалентном виде:

(3.2)

где

λ0

- длина волны возбуждения.

Длина волны возбуждения определяется путем деления фазовой скорости волны на частоту колебания, которое мы описываем.

Длиной волны возбуждения называется длина волны в свободном пространстве со свойствами среды заполнения волновода.

В данном случае мы приняли, что между пластинами - вакуум, параметрам которого соответствует нижний индекс 0.

Все величины, входящие в правую часть формулы (3.2), фиксированы. Индекс mвыбирается заранее, длина волны возбуждения определяется частотой колебания, а расстояние между пластинами волновода задается его конструкцией. Изменяться может только угол отражения. Эта особенность формулы (3.2) позволяет сделать следующий вывод.

При фиксированной длине волны возбуждения и расстоянии между стенками волновода каждому индексу моды соответствует значение угла падения, обеспечивающее выполнение условия существования направляемых волн.

Однако условие (3.2) может быть выполнено не всегда. Левая часть этого соотношения не может быть больше 1 и для любого индекса моды найдется такая длина волны возбуждения, что условие (3.2) будет выполняться только при cos φ = l. Такую длину волны называют критической.

Критической называется самая большая длина волны моды колебания, которая может существовать в волноводе заданной ширины

Формула для ее вычисления получается из выражения (3.2) подстановкой единицы вместо косинуса:

(3.3)

Если длина волны возбуждения больше критической, то эта мода колебания в волноводе существовать не может из-за того, что граничные условия на стенках волновода не будут выполняться ни при каком вещественном значении угла падения, и энергия электромагнитного поля рассеется в металле волновода.

На критической длине волны в волноводе происходит следующее. Так как угол падения равен нулю, в поперечной плоскости образуется стоячая волна. Волнового движения и переноса энергии вдоль оси zнет, и колебания вдоль всего волновода происходят в фазе. Это явление можно трактовать как бесконечную фазовую скорость.

При длине волны возбуждения, равной критической, продольное волновое число равно нулю, а фазовая скорость бесконечна.

Из этих рассуждений можно сделать следующий вывод.

Каждая мода колебания может существовать как бегущая волна в области длин волн, меньших критической.

Значит, для того чтобы волна распространялась в волноводе, должно выполняться следующее неравенство:

(3.4)

Волны длиннее критической по волноводу распространяться не могут. Поэтому весь диапазон длин волн обычно делят.

Областью прозрачности называется часть диапазона, в которой длина волны возбуждения меньше критической.

Областью отсечки называется часть диапазона, в которой длина волны возбуждения больше критической.

Границей между ними является критическая длина волны.

В большинстве случаев из всех мод наиболее важна та, у которой критическая длина волны максимальна. Она называется основной.

Основной называется мода, обладающая наибольшей критической длиной волны.

В плоском волноводе основных мод волн две - E₁и H₁. Для них λ_кр= 2а.

Таким образом, если длина волны возбуждения превосходит удвоенную ширину плоского волновода, то такая волна распространяться в волноводе не будет. Если длина волны возбуждения меньше удвоенной ширины волновода, но не меньше ширины, то в волноводе могут существовать только волны основных мод. В математической форме это условие записывается следующим образом:

(3.5)

При длине волны возбуждения меньшей, чем ширина волновода, появляется возможность возникновения еще двух мод волн, Е₂ и Н₂, но при этом могут существовать и основные моды. Если и дальше повышать частоту, то есть уменьшить длину волны возбуждения, появится возможность распространения волн с нижними индексами 3, затем 4 и так далее. Однако возможность распространения мод с меньшими индексами сохраняется.