5. Дифференциальные уравнения электродинамики второго порядка и их решение
В основе макроскопической электродинамики лежит полная система уравнений Максвелла. Однако непосредственно решать ее, как правило, трудно. Поэтому необходимо свести уравнения Максвелла к уравнениям математической физики, решения которых известны.
Предположим, что во всем пространстве или в какой-либо энергетически изолированной области сторонний ток отсутствует. Если при этом найдено физически осмысленное решение системы уравнений, то оно описывает свободное электромагнитное поле. Под действием сторонних сил происходит возбуждение электромагнитного поля источниками. Такое поле называетсявынужденнымилиполем излучения. И свободное поле, и поле излучения описываются дифференциальными уравнениями второго порядка в частных производных.
5.1. Дифференциальные уравнения второго порядка в частных производных.
Задачи без источников решать проще. Однако все электромагнитные поля, с которыми практически приходится иметь дело, являются вынужденными. Но если источники находятся достаточно далеко, их взаимодействием с полем в рассматриваемой области можно пренебречь и считать поле свободным. Поэтому решения для свободного поля также интересны.
Для получения уравнений второго порядка из системы уравнений Максвелла нужно исключить все неизвестные величины кроме напряженностей поля. А затем исключить один из векторов, ЕилиН. Получим:
|
|
(5.1) |
|
|
(5.2) |
|
где |
с – скорость света в вакууме: |
|
|
(5.3) |
Если токи и заряды отсутствуют, уравнения (5.1) и (5.2) утрачивают правые части. Такие однородные уравнения называют волновыми.
Комплексные аналоги этих уравнений второго порядка можно было бы получить, отталкиваясь от уравнений Максвелла в комплексной форме. Но проще добиться желаемого результата, если учесть, что использование метода комплексных амплитуд сводится к следующим заменам:
|
|
(5.4) |
В общем случае и проницаемости надо считать комплексными. Сделаем замены в уравнениях (5.1) и (5.2). При этом для преобразования правой части уравнения (5.2) привлечем также закон сохранения заряда в следующем виде:
|
|
(5.5) |
Получим:
|
|
(5.6) |
|
|
(5.7) |
Таким образом, мы получили уравнения, позволяющие анализировать характеристики электромагнитного поля. Если к ним добавить граничные условия, можно математически сформулировать подавляющее большинство задач электродинамики.
5.2. Решения волновых уравнений в декартовых, цилиндрических и сферических координатах
Электромагнитное поле, возникающее в некоторой области пространства, не заполняет его мгновенно, а распространяется с конечной скоростью, зависящей от свойств среды. При распространении периодического процесса с конечной скоростью происходит запаздывание его по фазе. Следствием этого являетсяволновой характер распространения электромагнитного поля.
С целью установления волнового характера электромагнитного поля рассмотрим гармонический во времени процесс в области, не содержащей источников. Кроме того, положим, что среда является идеальным диэлектриком. Для того чтобы учесть эти условия, вектор плотности сторонних токов и токов проводимости в уравнениях (5.6) и (5.7) надо положить равным нулю:
|
|
(5.8) |
|
|
(5.9) |
В уравнениях (5.8) и (5.9) введено обозначение γ. Это волновое число:
|
|
(5.10) |
Однородные уравнения (5.8) и (5.9) называют волновыми.В такой записи волновое число является действительным, однако может быть и комплексным. Действительное волновое число соответствует среде без потерь.
|
|
|
Рис. 5.1. Плоская волна |
|
|
(5.11) |
Оператор Лапласа существенно упростится:
|
|
(5.12) |
Упростятся и волновые уравнения. Например, уравнение (5.8) принимает следующий вид:
|
|
(5.13) |
Решение такого уравнения хорошо известно:
|
|
(5.14) |
|
где |
h0 - орт, указывающий ориентацию вектора напряженности магнитного поля в пространстве, |
|
|
АиВ- произвольные коэффициенты, |
|
|
ωt – γz– фаза процесса в момент времениtна расстоянииzот источника. |
Это решение описывает плоскую однороднуюволну. Смысл определения «плоская» состоит в том, что в любой плоскости, перпендикулярной направлению распространения, в фиксированный момент времени фаза процесса одинакова. Наблюдатель, двигающийся в такой плоскости, не обнаружит наличия волнового процесса. Этаповерхность равных фаз, в данном случае – плоскость,называется фронтом волны. Определение «однородная» отражает тот факт, что амплитуда волны на поверхности волнового фронта не зависит от координат.
Необходимо обратить внимание на следующее. В формулу (5.14) расстояние входит только в мнимый показатель степени экспоненты. Это значит, что амплитуда плоской волны в среде без потерь не зависит от расстояния.
Мы получили решение волновых уравнений в декартовой системе координат, у которой координатная поверхность – плоскость. Это наиболее простой, но весьма важный случай. Однако для описания всех случаев, встречающихся в практической радиотехнике одного приближения плоской волны недостаточно. Поэтому коротко рассмотрим еще два решения – цилиндрические и сферические волны.
У цилиндрической волныфронт имеет форму кругового цилиндра. Цилиндрические волны обладают осевой симметрией. Они могут возбуждаться, например, бесконечной прямой нитью источников.
Пусть источники расположены вдоль оси zцилиндрической системы координат. В этом случае на расстоянии от оси, значительно превышающем длину волны, справедливо следующее приближенное равенство:
|
|
(5.15) |
Значит, в среде без потерь амплитуда цилиндрической волны обратно пропорциональна корню квадратному из расстояния.
Сферические волнывозникают тогда, когда точечный источник возбуждает неограниченное однородное пространство. Зависимость комплексной амплитуды сферической волны от расстояния описывается следующей формулой:
|
|
(5.16) |
Следовательно, амплитуда сферической волны в среде без потерь обратно пропорциональна расстоянию.
Для того чтобы описать электромагнитное поле в естественных условиях, надо знать поведение векторов поля на границе раздела сред с разными электродинамическими характеристиками ε, μ и σ.