3.Координатный способ задания движения точки

Вчём заключается координатный способ задания движения точки?

При координатном способе задания движения положение точки

определяется путём задания трёх её координат как функций времени в декартовой системе координат, рис. 5:

	x f1(t);
	y f2 (t);	(4)
Рис. 5	z f3 (t); t 0.

12

Как называются уравнения (4)?

x f1(t); y f2 (t); z f3 (t); t 0.

(4)

Уравнения (4) называются кинематическими уравнениями движения точки в координатной форме и одновременно уравнениями траектории точки в параметрической форме. Параметром является скалярная переменная t.

Как получить уравнение траектории в явном виде?

Чтобы получить уравнение траектории в явном виде, необхо- димо исключить из уравнений (4) время t. Для этого выражают t из любого уравнения (4) и подставляют его в остальные уравнения. Например, найдём t из первого уравнения:

x f1(t)

t (x)

13

Подставим t в остальные уравнения:
y f2 (x) ; z f3 (x) .	(5)

Система уравнений (5) определяет в пространстве переменных xyz траекторию точки, как линию пересечения двух цилиндричес- ких поверхностей.

Как определяется скорость точки при координатном способе задания движения точки?

1. Определяют проекции скорости точки на координатные оси как первые производные от соответствующих координат:

vx dx	x&; vy dy	y&; vz dz	z&.
dt	dt	dt	14

2.Находят модуль скорость точки:

v vx2 v2y vz2

3.Находят величины направляющих косинусов:

r	r	v	x	r	r	vy	r	r	v	z
·	, i ) =			·	, j ) =		·	, k ) =
cos(v				; cos(v			; cos(v				.
		v				v			v

4. Находят величины углов , , , которые составляет вектор скорости соответственно с осями x, y, z:

æ v			æ	æ vy æ			æ v			æ
arccosæ		x	æ	; arccosæ		æ	; arccosæ		z	æ.
æ	v		æ	æ	v æ		æ	v		æ

15

Как определяется ускорение точки при координатном способе задания движения точки?

1. Определяют проекции ускорения точки на координатные оси как первые производные от проекций скорости, которые равны вторым производным от соответствующих координат:

аx

dv

x

d 2 x

&x;

аy

dvy

d 2 y

&y; аz

dv

z

d 2 z

&z.

dt2

dt

dt

2

dt2

dt

dt

2. Находят следующие величины:

1)модуль ускорения точки:

ааx2 а2y аz2

16

2) значения направляющих косинусов:

r

r

r

а

x

r

r

аy

r

а

z

·

, i ) =

·

, j ) =

·

,k ) =

cos(а

а

; cos(а

; cos(а

.

а

а

3)

величины

углов

,

,

,

которые

составляет вектор

æ

скорости соответственно с осями x, y, z:

a

a

a

y

arccos

arccos

;

arccos

z

x

;

.

1

1

1

a

a

a

Как определяется кинематические характеристики точки при движения точки в плоскости xОy?

При движении точки в плоскости x0y нахождение её кинема- тические характеристики имеют вид:

– уравнения движения точки	x f1(t);	y f2 (t);
– уравнение траектории точки	y = f2 [j (x)]
		17

– скорость точки					v vx2			v2y
направляющие косинусы вектора скорости
r	r	v	x		r	r		vy
·	,i ) =				·	, j ) =
cos(v				;	cos(v				.
		v						v
ускорение точки					а	аx2 а2y

направляющие косинусы вектора ускорения

r r		а	x		r	r	аy
·	,i ) =				·	, j ) =
cos(а				;	cos(а			.
		а					а

18

Как определяются кинематические характеристики точки при прямолинейном движения точки, если ось совмещена с траек- торией?

При прямолинейном движении точки, в случае совмещения координатной оси x с траекторией (прямой линией), получим:

уравнения движения точки:

x = f1(t);

Какой вид имеет уравнение прямолинейного равноперемен- ного движения если ось совмещена с траекторией?

Уравнение прямолинейного равнопеременного движения точки (а – const) имеет вид:

x = x0 +v0t + at22 ;

где v0 – начальная скорость, x0 – начальная координата.

19

скорость точки:	v vx dx	;
	dt

ускорение точки:	a ax	d 2 x			dv	x .
		dt	2
					dt

Векторы скорости и ускорения направлены вдоль оси координат. При vx > 0 точка движется по направлению оси x, а

при vx < 0 – противоположно направлению оси. Ускорение направлено в сторону оси x, если аx > 0, и противоположно оси x, если аx < 0.

Какой вид имеют кинематические характеристики прямоли- нейного равнопеременного движения точки, если ось совмеще- на с траекторией?

Уравнение траектории:

y =0; z =0.

20

Скорость точки равна:	v =vx = dx =v0 +at,
	dt

Ускорение точки:

a = ax = dvdtx =const.

Если знаки скорости и ускорения одинаковы, то точка движется с ускорением. В противном случае точка движется с замедлением.

Какой вид имеет уравнение прямолинейного равномерного движения точки, если ось совмещена с траекторией?

Уравнение движения точки:

x = x0 +v0t.

21