Пример 3. Точка движется согласно уравнениям:

2	y30sin	2
x 20cosсм,t		смt .

Определить уравнение траектории точки, её скорость и ускорение в момент времени t1 = 0,5 c.

Решение

x 20cos2 t, y 30sin2 t; 20x cos2 t; 30y sin2 t;

20x 30y cos2 t sin2 t 1; 20x 30y 1;

32

x 20cos2 t, y 30sin2 t;

v

x

dx 20 2cost

sint

20sin

2t;

dt

vy dy

30 2

sint cost

30

sin 2t;

x

1

dt

1

2 0,5

20sin

0;

v

t

20sin 2t 20sin

v

y

1

1

30sin

2

0;

t

30 sin 2t

0,5

v t1 vx

t1

2 vy t1

2 0;

vx

20sin 2t;

ax

dvx 20 cos2t 2

40cos

2t;

33

dt

	ay	dvy	30 cos2t	2	60	cos2t;
		dt

a

x

1

1

40cos

40;

t

40cos2t

2 0,5

ay t1

60 cos2t1

60

cos 2

0,5

60;

a t1

ax t1

2 ay

t1

2

402 602

72,11

см

;

с2

34

		x(t) 20 cos(t)2
20	20
	15
x(t)	10
	5
0	0	0	5	10	15	20
		0		t		20

35

			y(t) 20 sin(t)2
20	20
	15
y(t)	10
	5
0	0	0	5	10	15	20
		0		t		20

36

x(t) 20 cos(t)2					y(t) 20 sin(t)2
20	20
	15
y(t)	10
	5
0	0	0	5	10	15	20
		0		x(t)		20

37

Решить самостоятельно

Точка описывает фигуру Лиссажу согласно уравнениям:

x 2cost; y 4cos2t.

Определить скорость и ускорение точки в момент, когда она находится на оси y.

Ответ:	r	, x =
			1
	v 2 см/c, cos v

38

			Решение с использованием пакета Mathcad
	x(t) 2 cos(t)					vx(t) d		x(t) 2 sin(t)
	y(t) 4 cos(2					dt
						t)
	Given					vy(t) d		y(t) 8 sin(2 t)
						dt
	2 cos(t)		0
						v(t) vx(t)2 vy(t)2
	Find(t)		1
				2		v(t1) 2

t1 12

39

ax(t) ddtvx(t) 2 cos(t)

ay(t) ddtvy(t) 16 cos(2 t)

a(t) ax(t)2 ay(t)2

a(t1) 16

40

Пример 4. Точка движется согласно уравнениям:

x 6sin 2 tсм ;y 8cos 2t см .

Определить скорость, ускорение, нормальное ускорение, касательное ускорение и радиус траектории точки в момент t = 5 c.

Решение

Определим скорость точки.

dx

d

v

x

6sin

t

6

cos

t

dt

dt

2

2

2

dy

d

v

y

8cos

t

8

sin

t

dt

dt

2

2

2

3	cos
		t		;
		2
					;
4 sin				t
			2
			41

vx 5 3 cos 2 5 0;

vy 5 4 sin 2 5 12,57;

v 5

vx 5 2 vy 5 2

12,57;

Определим ускорение точки.

dv

d

x

a

x

3 cos

t

3 sin

t

dt

dt

2

2

2

3 2

sin

t

;

2

2

42

dvy

d

a

y

4 sin

t

4 cos

t

dt

dt

2

2

2

4 2

cos

t

;

2

2

a 5 3 2 sin 5 14,804; x 2 2

ay 5 422 cos 2 5 0;

a 5

ax 5 2 ay

5 2 14,804.

43