§ 6. Передаточные функции линейных систем

Рассмотрим линейную систему, находящуюся под влиянием задающего g(t) и возмущающегоf(t) воздействий (рис 6.1).

Рисунок 6.1 Структурная схема САР.

Передаточная функция регулятора:

ПФ объекта по регулирующему воздействию:

ПФ - ия объекта по возмущающему воздействию:

Операторное уравнение динамики объекта:

(1)

С учетом 1 структурная схема (рисунок 6.1) может быть представлена в виде (рис. 6.2).

Рисунок 6.2 Упрощённая структурная схема

Если разорвать главную обратную связь и положить F(р)=0, то получим ПФ разомкнутой системы по задающему воздействию:

При этом структурная схема ( рис 6.2) упрощается (рис 6.3).

Рисунок 6.3 Структурная схема САР

Если разорвать главную обратную связь, то при , получим ПФ разомкнутой системы по возмущающему воздействию:

Рассмотрим теперь замкнутую систему (рисунок 6.3).

Передаточная функция замкнутой системы по задающему воздействию(при F(p)=0):

Ф(p)

Учитывая, что

где N(p)- характеристический полином разомкнутой системы;

D(p)- характеристический полином замкнутой системы.

Рассмотрим возможные ПФ замкнутой системы. На основе схемы (рис. 6.3) составим сигнальный граф, где отобразим параметры системы .

Рисунок 6.4 Сигнальный граф САР

При , получим ПФ- замкнутой системы по возмущающему воздействию:

.

По формуле Мэзона имеем:

;; ;.

.

По полученным ПФ можно записать операторное уравнение относительно регулируемой величины:

.

Если в качестве выходной величины рассматривать сигнал ошибки , а в качестве входной - сигнал задающего воздействияполучим передаточную функцию замкнутой системы по ошибке от задающего воздействия.

Из рисунка 6.4 следует:

; ;

.

Найдем связь между и:

.

Учитывая, что возмущение также влияет на отклонение регулируемой величины, а, следовательно, и на сигнал ошибки, то определим ПФ замкнутой системы по ошибке от возмущающего воздействия:

.

Из рисунка 6.4:

; ;

.

Таким образом, результирующая ошибка системы имеет две составляющие:

.

§7 Временные характеристики линейных звеньев

В реальных условиях входные сигналы имеют произвольный характер. Для исследования динамических свойств звеньев (систем) следует выбирать такие типовые сигналы, которые по возможности наиболее близко отражали бы наиболее существенные особенности реальных сигналов. Кроме того, для сравнения отдельных элементов и систем между собой их также следует подвергать однотипным воздействиям. К числу наиболее часто применяемых типовых сигналов относятся:

- единичная ступенчатая функция 1(t);

- единичная импульсная функция ;

- гармоническая функция .

Временной характеристикой звена (системы) по какому-либо внешнему воздействию называют закон изменения выходной величины звена при изменении внешнего воздействия по определенному закону и при условии, что до приложения внешнего воздействия звено находилось в покое (нулевые начальные условия).

1. Реакцию звена на воздействия в виде единичной ступенчатой функции при нулевых начальных условиях называютпереходной функцией (рис. 7.1).

Графическое изображение переходной функции называют переходной характеристикой.

x(t)=1(t)

x

t

0

1

h(t)

t

Рисунок 7.1 Переходные характеристики линейных систем

Единичная ступенчатая функция определяется следующими условиями:

.

Согласно определению ПФ изображение выходного сигнала:

.

Учитывая, что ,

,

.

2. Реакция звена на воздействие в виде единичной импульсной функции при нулевых начальных условиях называетсявесовой или импульсной переходной функцией (рис 7.2).

Графическое изображение функции называетсяимпульсной переходной характеристикой.

x(t)

t

-δ(t)

ω(t)

t

0

Рисунок 7.2 Импульсная переходная характеристика

Единичная импульсная функция или дельта-функция представляет собой импульс бесконечно большой амплитуды и бесконечно малой длительности (рис. 7.2а).

;

Математически дельта - функцию можно представить как производную от единичной ступенчатой функции:

,

отсюда следует

Таким образом, площадь импульса имеет конечную величину, равную единице.

иявляются математической абстракцией реально существующих сигналов.

При экспериментальном исследовании систем за -функцию принимают всякое кратковременное ударное воздействие продолжительностью, которая значительно меньше длительности переходного процесса. В этом случае амплитуда импульса будет. При таком подходеможно трактовать как предел прямоугольного импульса (рис. 7.3), у которого амплитудастремится к бесконечности, а время его действия:

δ(t)

S=1

t

Δt→0

Рисунок 7.3 Экспериментальная трактовка -функции

.

Учитывая, что входной сигнал или,

Переходная и импульснаясвязаны соотношением:

или

Если момент приложения импульсной функции к звену принять за начало отсчета, равное (рис. 7.4), топриили.

x(t)

δ(t-τ)

τ

t

y (t)

τ

-ω(t-τ)

t

Рисунок 7.4 Изображение запаздывающих функций

Это условие является очевидным, так как выходной сигнал звена не может возникнуть раньше входного.

Весовая функция позволяет определить реакцию звена на входной сигнал произвольной формы.

Изображение входного сигнала имеет вид:

Тогда на основании теоремы свертывания выходной сигнал в любой момент времени t определится как:

,

где - вспомогательной время интегрирования, отсчитываемое от момента времениt назад, то есть справа налево.и иииио

Если входной сигнал определяется только для положительных значений аргумента, то в качестве верхнего предела интегрирования вместо t можно взять .

(1)

x

τ

0

τ₄

t₁

τ₃

t₂

τ₂

t₃

τ₁

t_ф

0

t

ω

x(t)

ω(τ)

x(t_ф-τ₄)

x(t_ф-τ₃)

x(t_ф-τ₂)

x(t_ф-τ₁)

Рис.7.5 Определение выходного сигнала по входному сигналу произв. Формы и весовой функции

Исходя из рисунка 7.5 и выражения (1), значение входного сигнала в фиксированный момент времени зависит от предыдущих значений входного сигнала умноженных на соответствующие значения весовой функции. Следовательно, функцияявляется для отдельных значений входного сигнала весовым множителем, т.е. множителем, определяющим степень влияния значения входного сигнала на величину выходного сигнала в момент времениt.

Поэтому функция называется функцией веса или весовой функцией.

Обе временные характеристики иявляются динамическими характеристиками и также полностью описывают свойства звена как ДУ и ПФ.