Фарковка

Определим математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины:

/ 4

/ 4

M ( X ) xf (x)dx

0dx

x cos 2xdx

0dx

/ 4

/ 4

x sin 2x

/ 4

/ 4

sin 2x

cos 2x

/ 4

dx

0.

2

2

4

/ 4

/ 4

/ 4

/ 4	u x;	dv cos 2xdx;
x cos 2xdx				sin 2x
/ 4	du dx;		v		;
				2

/ 4

/ 4

/ 4

M ( X 2 ) x 2 f (x)dx

0dx x 2 cos 2xdx

0dx

x 2 cos 2xdx

/ 4

/ 4

/ 4

u x 2

;

dv cos 2xdx;

x 2 sin 2x

/ 4

u x;

sin 2xdx dv;

2

/ 4

sin 2x

x sin 2xdx

cos 2x

du 2xdx;

v

;

2

/ 4

/ 4

du dx; v

;

16

2

2

x cos 2x

/ 4

/ 4

cos 2x

2

sin 2x

/ 4

2

1

dx

0,1163.

2

2

16

4

16

2

/ 4

/ 4

/ 4

D(X ) M (X 2 ) M (X ) 2 0,1163 0 0,1163.

9.5. Для нахождения средней цены продовольственной корзины жителей сельской местности России было отобрано случайным образом 50 населенных пунктов. Полученные данные представлены в таблице:

Стоимость	Менее	2 – 3	3 – 4	4 – 5	5 – 6	6 – 7	7 – 8	Больше	Итого
продовольст-	2							8
венной
корзины,
тыс. руб.
Число	2	5	6	11	13	7	5	1	50
городов

1.Постройте полигон и гистограмму относительных частот (частностей);

2.Найдите выборочную среднюю, дисперсию, «исправленную» выборочную дисперсию;

3.Найдите доверительный интервал для оценки с надежностью 0,95 неизвестного математического ожидания а нормально распределенного признака X генеральной средней.

4.Используя 2 - критерий Пирсона, на уровне значимости = 0,05 проверить

гипотезу о том, что случайная величина X – стоимость продовольственной корзины – распределена по нормальному закону.

81

Решение.

1. Для удобства вычислений построим следующую таблицу 1. Таблица 1.

	xi		1,5	2,5	3,5	4,5	5,5	6,5	7,5	8,5
mi			2	5	6	11	13	7	5	1
i			0,04	0,10	0,12	0,22	0,26	0,14	0,10	0,02
	i		0,04	0,10	0,12	0,22	0,26	0,14	0,10	0,02
	h
		В качестве значений			xi берем средние значения из каждого интервала, при

этом крайние интервалы (-∞; 2) и (8; +∞) заменяем на интервалы (1; 2) и (8; 9).

Тогда полигон относительных частот будет следующий:

i

0,28

0,24

0,20

0,16

0,12

0,08

0,04

0

1

2

3 4

5

6

7 8

9 10 xi

82

Гистограмма же относительных частот будет:

i h

0,28

0,24

0,20

0,16

0,12

0,08

0,04

	0						1			2	3 4			5				6							7 8		9 10		xi
	2. Для нахождения выборочного среднего воспользуемся формулой:
																		k
																		xi				mi
															xâ			i 1								,
																				n
									1,5 2 2,5 5 3,5 6 4,5 11 5,5 13 6,5 7 7,5 5 8,5 1																					4,92.
				x
	â																	50
	Для вычисления выборочной дисперсии воспользуемся формулой
																									2 .
														D X 2
																							X	â
														â				â
							1,52 2 2,52 5 3,52							6 4,52				11 5,52 13 6,52									7 7,52		5 8,52 1
	Найдем xâ2
																		50
		4,5 31,25 73,5 222,75 393,25 295,75 281,25 72,25																										27,49.
														50
	Тогда Dâ 27,49 4,92 2 3,2836.
	Так как исправленная выборочная дисперсия находится по формуле
										S 2	n		Dâ , то S 2						50			3,2836 3,35.
											n 1
																		49

83

Тогда исправленное среднее квадратическое отклонение S 1,83.

3. Для нахождения доверительного интервала для оценки с надежностью 0,95 неизвестного математического ожидания а нормально распределенного

признака X			генеральной средней воспользуемся тем, что a (xâ x; xâ x) ,
x t ( f )		S			.	Тогда	x t0,95	(48)	1,83			2,01 0,26 0,52.
			n					50

Поэтому a (4,40;5,44) .

4. Для проверки гипотезы о том, что случайная величина X – стоимость продовольственной корзины жителей сельской местности распределена по нормальному закону, составим таблицу 2.

Таблица 2.

N	x	i	x	i	1	m	i		u	i	u	i 1	Ô(u	)	Ô(u	i 1	)	p	i	np	i		(m np		)2
													i										i	i
																							npi
1	1 – 2					2
2	2 – 3					5		7	- ∞		-		-0,5		-0,3531			0,1469		7,345		0,02
											1,05
3	3 – 4					6			-		-		-0,3531		-0,1915			0,1616		8,08		0,54
									1,05		0,50
4	4 – 5					11			-		0,04		-0,1915		0,0160			0,2075		10,37		0,04
									0,50											5
5	5 – 6					13			0,04		0,59		0,0160		0,2224			0,2064		10,32		0,70
6	6 – 7					7			0,59		1,14		0,2224		0,3729			0,1505		7,525		0,04
7	7 – 8					5		6	1,14		+∞		0,3729		0,5			0,1271		6,355		0,02
8	8 – 9					1
Ито-																		1,0000		50		1,36
го

Для нахождения вероятности попадания значения случайной величины в нужный интервал, воспользуемся формулой pi = Ф( ui 1 ) – Ф( ui ), где

ui 1 =

xi 1 a

, а

ui

=

xi a

. В качестве математического ожидания a возьмем

xâ 4,92 , а

в качестве

S 1,83.

Найдем все значения ui , затем используя

Приложение 7 найдем Ф( ui ), затем pi , n pi .

Далее находим

íàáë2

.

mi npi 2

=

1,36 êðèò2

. 0,05;32

7,8.

k = m – 3 = 3.

npi

Так как íàáë2

. êðèò2

. , то гипотезу H 0

не отвергаем.

84

Приложение 1. Основные тождества

АЛГЕБРА

a 2 – b 2 = (a – b)·(a + b) (a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2 (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

(a – b) 3 = a 3 – 3a 2 b + 3ab 2 – b 3 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

a 3

– b 3

= (a – b)·(a 2

+ ab + b 2 )

a 3

+ b 3

= (a – b)·(a 2

– ab + b 2 )

am an

am n

a m

a m n

a n

am n

am n

an bn

ab n

a n

a n

bn

b

a n

1

a n

n ab n

a n b

n

n

a

a

b

n

b

m

nam a n

ТРИГОНОМЕТРИЯ

sin 2 cos2 1 sin 2 2sin cos cos 2 cos2 sin 2

tg 2		2tg
	1 tg 2
cos 2	1 cos 2
	2
sin 2	1 cos 2
	2

cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin

85

sin cos

sin( ) sin( )

2

sin sin cos( ) cos( ) 2

cos cos cos( ) cos( ) 2

sin sin 2sin		cos
		2		2
sin sin 2sin		cos
		2		2
cos cos 2cos cos
		2		2
cos cos 2sin sin
		2		2
sin(90	) cos
sin(90	) cos
cos(90 ) cos
cos(90	) cos
sin(180 ) sin
sin(180	) sin
cos(180	) cos
cos(180	) cos

86

Приложение 2. Таблица значений основных тригонометрических функций

		Градусы	0º	30º							45º					60º								90º
		Радианы	0
				6							4					3								2
	sin		0			1																		1
											2					3
				2
											2					2
	cos		1															1						0
				3							2
																2
				2							2
	tg		0	1							1													-
																3
				3
	ctg		-								1					1								0
				3
																3

87

Приложение 3. Основные правила дифференцирования

(u v) = u v (u v) = u v + u v

cu / c

u

v

u / , где c - константа

u v v u , если v 0 v2

88

Приложение 4. Производные основных элементарных функций

1)С = 0; 2)(xm) = mxm-1;

								1
3)			x
							2 x
4)		1						1
								x 2
	x

5)e x e x

6)a x a x ln a

7)ln x 1x

				1
	8) log a	x
				x ln a

9)sin x cos x

10)cos x sin x

1

11) tgx

cos 2 x

1

12) ctgx

sin 2 x

1

13) arcsin x

1 x2

1

14) arccos x

1 x2

1

15) arctgx

1 x2

1

16) arcctgx

1 x2

89

Приложение 5. Таблица основных неопределенных интегралов

0 dx C

sin xdx cos x C

dx x C

cos xdx sin x C

xm dx

xm 1

dx

C при m 1

tgx C

cos

2

x

m 1

dx

1

1

C

dx = -ctgx + C

x

2

x

sin

2

x

dx

dx

arcsin x C

2

x C

1 x2

x

dx

dx

arcsin

x

C

ln

x

C

x

a

a 2 x2

e x dx e x C

dx

arctgx C

1 x

2

a x dx

a x

C

dx

1

arctg

x

C

x

2

2

a

ln a

a

a

dx

dx

1

x a

C

ln

ln

x

x2 a

C

=

2

2

x a

x2 a

x

a

2a

tgxdx = -ln cosx +C

ctgxdx

= ln sinx + C

90