Янко Слава (Библиотека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru |
118 |
190
7.8. Фазовое пространство
Рассмотрим возможности описания динамики частиц. Существует два подхода к решению такой задачи: механический и термодинамический. Эволюцию динамической системы можно анализировать в абстрактном пространстве состояний — фазовом пространстве, в котором можно ввести координаты, описывающие состояние системы, в частности фазу системы. Это понятие является обобщенным и широко используется в различных областях науки и даже нашей обычной жизни (фазовые состояния вещества, фазовый переход, фаза развития общества, фаза роста, фаза функции, фаза развития системы и т.д.). Для систем классической механики такими координатами является положение точек и их скорости в каждый момент времени. Совокупность последовательных положений системы в фазовом пространстве составляет фазовую траекторию. Выстраивая такую траекторию в фазовом пространстве, необходимо указывать направление перемещения системы по фазовой траектории во времени. Не останавливаясь далее на математической стороне дела, укажем, по крайней мере, на три полезных преимущества введения такого фазового пространства.
Во-первых, можно проще провести анализ движения, если перейти из обычного координатного пространства в фазовое. Например, если равномерное движение на пространственно-временной диаграмме переменных х, t изображается прямой линией, а равнопеременное — параболой (кривой второго порядка), то на фазовой плоскости ν, x (где ν — скорость, x — координата) такие движения изображаются соответственно точкой и прямой (кривой первого порядка). Для пружинного маятника фазовой плоскостью, как следует из уравнения его движения, будет плоскость: координата — скорость и вместо зависимостей x{t) и v(t) можно рассматривать фазовую траекторию v(x). Во-вторых, в фазовом пространстве также проще анализировать устойчивость решения задачи движения тела и исследовать проблему устойчивости—неустойчивости системы.
В основу классификации движений и их моделей положено условие воспроизводства решений по заданным начальным условиям. Так, колебания маятников с различными энергиями на фазовой плоскости изображают эллипсами, которые не пересекаются, что соответствует идеальным собственным колебаниям в консервативной системе без потерь. Анализ динами-
191
ки систем в таком предположении показывает, что с течением времени фазовые траектории из определенных областей пространства концентрируются вокруг некоторых точек — система как бы притягивается к этим точкам в процессе своего развития.
7.9. Аттракторы
Точки, притягивающие траекторию развивающейся динамической системы, получили название аттракторов (от английского attract — привлекать, притягивать). Кроме аттрактора типа «центр» (рис. 7.1, а) могут быть такие точки типа «фокус» (рис. 7.1, б), аттрактор с потерей энергии, диссипацией ее и типа «седло» (рис. 7.1, в). Из этих рисунков видно, что траектории притягиваются, но не пересекаются. Такой анализ на ранней стадии позволяет прогнозировать поведение исследуемой системы. Из аттрактора типа «седло» уже можно сделать вывод, что траектории могут и расходиться. Такие точки с расходящимися траекториями получили название странных аттракторов (термин ввели математики Д. Рюэль и Ф. Такенс в 1971 г.). Странный аттрактор — это, по существу, математический образ сложного движения, как выяснилось, именно в нелинейных диссипативных динамических системах. Странность аттрактора заключается в том, что в отличие от обычного аттрактора, который характеризует устойчивость динамической системы, все траектории вокруг него динамически неустойчивы, и эта неустойчивость проявляется в перемешивании траекторий в фазовом
Горбачев В. В. Концепции современного естествознания:—М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2003. — 592 с: ил.
Янко Слава (Библиотека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru |
119 |
Рис. 7.1. Изображение аттракторов на фазовых диаграммах.
192
пространстве. Отсюда появляется и третье преимущество фазового пространства, связанное с вышеизложенным: в нем можно анализировать не только линейные, но и нелинейные динамические системы. Примером аттрактора может быть поток быстротекущей воды в горных реках через камень. Струйки воды постоянно меняют траектории движения, но поток в целом устойчив на поверхности камня, не выходит за определенные пределы.
Согласно теории об устойчивости движения можно судить по знаку производной функции, описывающей это движение вблизи стационарной точки. Если смена знака первой производной определяет характер устойчивости, то при одних значениях параметров система устойчива, а при других — может наступить переход от устойчивого характера движения к неустойчивому, в общем случае — от одного режима к другому.
Можно ввести величину критического порогового параметра, когда система переходит в другое состояние, меняет характер динамического поведения при изменении управляющего параметра, которым, по существу, является рассмотренная ранее бифуркация.
Проблемой устойчивости решений уравнений динамики занимается раздел математики, называемый теорией катастроф [34], которая определяет скачкообразное изменение («катастрофу») параметров системы как ее внезапный ответ на плавные изменения внешних условий, что и ведет к потере устойчивости движения. С позиции математики — это обобщение определения экстремума исследования функции на случай многих переменных. Для разработки такой теории один из ее основоположников французский ученый Р. Том привлек топологическую концепцию структурной устойчивости. Теория катастроф объяснила зависимость экспериментально наблюдаемых форм неустойчивости от числа управляющих параметров. Если функция, описывающая движение, — полином со степенью больше единицы, то на бифуркационной диаграмме появляется несколько ветвей, часть из которых могут быть неустойчивыми. Происходит срыв, «катастрофа» — резкое переключение динамической системы из одного режима в другой при небольшом изменении управляющего параметра, причем этот переход может быть из устойчивого состояния как в устойчивое состояние, так и в неустойчивое. В таком понимании «катастрофа» и есть бифуркация.
193
Рис. 7.2. Бифуркационная диаграмма (А — характеристика системы, λ — управляющий параметр).
Происходящие в системе процессы, ее эволюция как рост разнообразия или
Горбачев В. В. Концепции современного естествознания:—М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2003. — 592 с: ил.
Янко Слава (Библиотека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru |
120 |
увеличение числа функциональных единиц изображаются на бифуркационной диаграмме ветвями (рис. 7.2). Изменяя управляющий параметр на такой диаграмме, мы меняем состояние системы, причем параметр может быть отличным для разных систем (физических, химических, биологических или социальных) и структур — это и время, размер, скорость реакции, рост ткани, стимул поведения и т. д. Когда значение управляющего параметра достигает критического значения, система попадает в точку бифуркации, наступает «катастрофический» срыв и система переходит в другое, раздвоенное состояние. Точки бифуркации — это точки ветвления линий поведения системы. Сплошным линиям на бифуркационных диаграммах соответствуют устойчивые состояния, устойчивое развитие; пунктирам — неустойчивые состояния. Причем ветвлений может быть много в зависимости от сочетания состояния системы и управляющих параметров. Такое поведение широко распространено в явлениях природы и техники: от полярных сияний и радуги в небе до опрокидывания буровых или нефтяных платформ на морском шельфе, от огромных нашествий саранчи до потери управления летательными аппаратами, в том числе и ракетами и др.
В дополнение к рассмотренным примерам существования аттракторов и бифуркаций можно привести и другие из явлений природы, техносферы, социологии и экономики. Природный
194
электрический разряд в атмосфере Земли — молния имеет вид зигзагообразных вспышек, точки поворота которых тоже есть бифуркации. Усталость металла в машинах и механизмах и последующая их поломка — накопление дефектов и смена упорядоченного состояния на неупорядоченное — это тоже бифуркация и возникновение странных аттракторов, расходящихся траекторий процессов (не предсказуемо, где сломается, прорвется).
Синергетику можно использовать и для описания социальных, экономических и политических систем. Малое возмущение в виде действия одного человека может разрастаться и влиять на макросоциальные образы поведения и даже приводить к смене макросоциальных структур, особенно если созданы условия для образования положительной обратной связи (в этом случае система сама подбирает условия, способствующие внешнему воздействию).
Для быстрого экономического роста нужно крупное первоначальное вложение капитала (толчок), для развития частного предпринимательства желательно, чтобы рост капитала был экспоненциально пропорционален капиталу, т.е. выполнялся закон нелинейного роста. Жесткий закон конкуренции, отбор и выживание сильнейших дают устойчивые формы социальной организации, но диссипативные процессы, связанные с усилением беспорядка, хаоса в момент неустойчивости (бифуркации), требуют учета структуры — аттракторов в своем развитии. Для России характерны обе тенденции: нелинейность экономического роста и кризиса, а также развития рыночных механизмов.
В советский период эта нелинейность была связана с предпочтением военного производства, что и привело к падению эффективности экономики, многочисленным дефицитам в гражданских областях, чрезмерным затратам на военные научные исследования, растрате природных ресурсов (как и сейчас!), резкому возрастанию антропогенных катастроф. Однако развитие России после 1991—1993 гг. показывает ущербность и односторонней либеральной экономической самоорганизации, принявшей во многом криминальный характер. Сильное сокращение оборонных производств и попытка поставить гражданские отрасли вне государственного регулирования привели к новому кризису. Введение отношений частной собственности и стремление «новых русских» к максимальной прибыли без контроля со стороны государства ведут к этому новому кризису. В нерегулируемом обществе экономическая деятельность приводит лишь к
195
криминалу, сокрытию доходов. Такого рода «самоорганизация без границ» в обществе, как и жесткая плановая экономика, ведут к срыву, катастрофе.
В политической структуре общества также возможна самоорганизация (самоуправление) вплоть до локальных гражданских систем и даже с представлением политических и экономических инициатив рядовым гражданам. Однако многие демократические идеалы (многопартийность, мажоритарный принцип избрания властей, либерализация экономики и т.д.) оказались социально не эффективными из-за отсутствия настоящей самоорганизации на местах. Именно поэтому и возникают точки бифуркации в развитии социума, угрожая его деградацией, распадом. В связи с этим возрастает
Горбачев В. В. Концепции современного естествознания:—М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2003. — 592 с: ил.
Янко Слава (Библиотека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru |
121 |
необходимость понимания роли самоорганизации для повышения оптимальных качеств социума.
Можно привести примеры и из области психологии. Вы помните не очень давние российские очереди за дефицитным товаром? Если хвост очереди невелик, товара достаточно, то напряжение невелико и система находится на участке устойчивого равновесия. Это означает, что в очереди сохраняется порядок, благодаря которому каждому достается равная с остальными доля. Любые попытки отдельных несознательных граждан обойти порядок естественным образом пресекаются — равновесие в системе устойчиво. А что произойдет, если продавец объявит о том, что торговля подходит к концу? Напряжение в очереди резко возрастет, система окажется в состоянии неустойчивого равновесия — стоит только кому-нибудь одному попытать счастья в обход очереди, как это произведет эффект детонатора — порядок оказывается безвозвратно утерянным, система разделяется на группы: одной, благодаря их физической силе и наглости, достанется все, другая окажется оттесненной. При чрезмерном напряжении состояние «порядка» в очереди становится неустойчивым.
Можно рассмотреть с этой точки зрения и историческую ситуацию. В 1380 г. на Куликовом поле сошлись полки Древней Руси и войско степных кочевников, державших уже три века княжества Руси под своим игом. Битва длилась долгое время, не принося никому преимущества. Напряжение нарастало, но паритет противоборствующих сторон сохранялся. Когда напряжение достигло высшей точки (бифуркации!), неожиданно появился засадный полк русского князя, внесший замешательство в лагерь противника и обратил противника в бегство.
196
Интересно здесь, что сам по себе засадный полк не представлял значительной силы. Если бы он участвовал в битве с самого начала или был бы введен в бой раньше времени, то не оказал, скорее всего, никакого влияния на результат, Все дело оказалось в том, что этот полк был задействован именно в тот момент, когда система оказалась за критической точкой, в состоянии неустойчивого равновесия. Он оказался тем малым управляющим параметром, который и вызвал резкий перелом событий в системе противоборствующих сторон.
Даже к такому прекрасному чувству, как любовь, можно применить понятия синергетики и теории катастроф. Если объект ваших воздыханий находится в состоянии душевного покоя, никакое ухаживание не даст желаемого результата — легкая симпатия, не больше. Вы встретили человека и полюбили его с первого взгляда. Как вам добиться взаимности? Сразу начинать «завоевывать» его? Это не обещает ничего хорошего для вас. Действительно, если объект ваших мечтаний к вам абсолютно равнодушен, то даже сверхусилия не приведут к сколько-нибудь значительной симпатии к вам с его стороны
— ваши отношения не отклоняются от среднего нейтрального положения. Другое дело, если вам удалось сначала вывести полюбившегося вам человека из равновесия. Кстати, мальчишки с этой целью в юном возрасте дергают девочек за косички, бросаются снежками и т.п., еще неосознанно стараясь таким образом обратить на себя их внимание. В зрелом возрасте мужчина — опытный знаток женской души просто демонстрирует, что достоинства партнерши ему совершенно безразличны. Конечно, женщина не может спокойно воспринимать равнодушное отношение со стороны мужчины, это задевает ее достоинство, лишает душевного равновесия и может довести до точки, когда нейтральное до сих пор отношение к партнеру становится неустойчивым. Мужчине очень важно поймать этот момент — даже совсем малое проявление внимания может теперь зажечь женщину страстной любовью.
Любопытный пример изменения состояния можно привести из психологии спорта айкидо. Этот японский вид единоборства основывается на неожиданности поведения спортсмена. Можно считать, что айкидо использует свойства катастроф — борец должен победить не за счет большой физической силы или мощного удара. Борец айкидо вообще не должен себе позволить нападение на человека. Цель борца айкидо — своими неожиданными
197
движениями вывести нападающего на него соперника из состояния равновесия. После этого противника уже можно будет обезоружить и уронить движением, которое не потребует большой силы. Высшим мастерством считается добиться победы, совершенно не касаясь соперника!
Самоорганизующимся системам нельзя навязывать пути их развития. Тут важнее понять пути совместной жизни природы и человека, пути их совместной эволюции,
Горбачев В. В. Концепции современного естествознания:—М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2003. — 592 с: ил.