Тема 10. Множественная и частная корреляция

В настоящее время при построении корреляционных моделей исходят из условия нормальности многомерного закона распределения генеральной совокупности. Эти условия обеспечивают линейный характер связи между изучаемыми признаками, что делает правомерным использование в качестве показателей тесноты связи парного, частного коэффициентов корреляции и коэффициента множественной корреляции.

Частные коэффициенты корреляции характеризуют связи двух признаков из совокупности признаков при условии, что все связи этих признаков с другими признаками элиминированы, т. е. закреплены на условно-постоянном (среднем) уровне.

Если парный коэффициент корреляции между двумя случайными величинами оказался больше частного коэффициента между теми же случайными величинами, то это говорит о том, что третья фиксированная величина усиливает взаимосвязь между изучаемыми величинами, т.е. более высокое значение парного коэффициента обусловлено присутствием третьей величины.

Более низкое значение парного коэффициента корреляции в сравнении с соответствующими частными свидетельствует об ослаблении связи между изучаемыми величинами действием фиксируемой величины.

Частный коэффициент корреляции, например, характеризует степень линейной зависимости между двумя величинами yх₁ при исключенном влиянии третьей величины х₂, включенной в модель. Он определяется по формуле:

.

Тогда зависимость у отх₂ при исключении влиянияx₁:

.

Можно рассчитать взаимосвязь факторных признаков при устранении влияния результативного признака:

.

Частный коэффициент корреляции изменяется в пределах от -1 по +1. Если частный коэффициент корреляции равен ±1, то связь между двумя величинами функциональная, а равенство нулю свидетельствует о линейной независимости этих величин.

Если есть матрица парных коэффициентов корреляции R, то переход к матрице частных коэффициентов корреляции осуществляется на основании последовательного расчета коэффициентов частной корреляции и замены ими в матрицеR коэффициентов парной корреляции с использованием формулы

,

где r_ij - коэффициент частной корреляции междуi-м иj-u признаками;

А_ij - алгебраическое дополнение к элементуr_ij матрицы парных коэффициентов корреляции;

А_ii ,А_jj - дополнения к элементам матрицы парных коэффициентов корреляцииr_ii иr_jj соответственно. Знак частному коэффициенту корреляции присваивается по знаку соответствующего коэффициента регрессии в модели связи.

Частные коэффициенты корреляции как статистические величины подвергаются в анализе оценке на достоверность. С этой целью используется t-критерий Стьюдента, который определяется по формуле:

.

Значение t-критерия сравнивают с табличнымt_, где- заданный уровень значимости;= (n-k-1) — число степеней свободы.

Если выполняется неравенство t_расч> t_, , то значение коэффициента корреляции признается значимым, т.е. нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается и делается вывод о том, что между исследуемыми переменными есть тесная статистическая взаимосвязь.

Если частные коэффициенты корреляции возвести в квадрат, то получим частные коэффициенты детерминации.

Частный коэффициент детерминациипоказываетдолю вариации признака под действием одного из факторов при неизменном значении другого фактора.

В случае двухфакторной линейной модели коэффициент множественной корреляцииопределяется по следующей формуле:

.

Коэффициент колеблется в пределах от 0 до 1, чем ближе он к 1, тем в большей степени учтены факторы, влияющие на результативный признак

Когда известна матрица парных коэффициентов корреляции R, коэффициент множественной корреляции получают, решив матричное уравнение вида

,

где |R|— определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;

|R^* |— определитель матрицы парных коэффициентов корреляции, в которой вычеркнуты строка и столбец, характеризующие связи независимых переменныхx_j, с зависимой переменнойy.

Для проверки существенности коэффициента множественной корреляции можно использоватьF-критерий, который определяется по формуле:

,

при k и n - k - 1 степенях свободы.

Наиболее достоверные результаты при корреляционном анализе можно получить, когда число объектов наблюдения (n) превышает число анализируемых признаков (m) в 6-8 раз.