n(n−1)

2

x

39

9)

∞

(−1)

2

tg

n

, x

≥

0;

n

nP n + 2−

x + 3

=1

nx

2

∞

x sin nx

11)

nP

, x

R;

2

2

)

√1 + n

(1 + nx

=1

∞

−

n

1

x

·

n+x

|

| ≤

13)

nP

− sin n

3n+1

1;

=1

(

1)

, x

∞

(

−

1)n−1

x

≤

≤

15)

2

nx

arcsin

, 0

x

1;

e

n

nP n + x

=1

17)

∞

sin nx

(en

1), 0

x

a < +

;

nP

√

x

−

≤

≤

∞

n

2

+ x

2

=1

10)

∞

xe−n3x2 , x

≥

0;

nP

=1

12)

∞

sin 2nx

, x

≥

0;

nP (n + x)

2

=1

14)

∞

(−1)n−1

, x

≥

a > 0;

nP

n

x

=1

16)

∞

sin n

·

x

·

e−n5x2 , x

R;

nP

=1

∞

sin nx

18)

nP

, x

≥

1;

2

x

2

1 + n

=1

19)

∞

cos nx2

sin

n + x

, 0 < ε

≤

x

≤

2π

−

ε;

nP n − ln n n + x + 1

=1

cos nx 5n2+1

20)

∞

, 0 < ε

x

2π

ε.

nP

n

≤

≤

−

ln n + x

=1

2.3 Степенные ряды.

Ряд

∞ an(x − a)n,	(2)
nX
=1

где {an} — числовая последовательность, a — некоторое фиксированное число, называется степенным рядом, а числа an — коэффициентами сте-

пенного ряда.

∞

Если положить x − a = t, то получим степенной ряд P antn. Те

n=0

свойства степенного ряда, которые инвариантны относительно линейного преобразования, удобнее рассматривать для рядов вида

∞ anxn.	(3)
nX
=0

40

Теорема 2 (1-ая теорема Абеля). Если степенной ряд (3) сходится в точке x0(6= 0), то он абсолютно сходится в каждой точке x такой, что |x| < |x0|.

Теорема 3. Для степенного ряда (3) существует R ≥ 0 - число или бесконечный символ +∞, такое, что

1.ряд (3) абсолютно сходится на интервале (−R; R) и расходится во множестве |x| > R, если R 6= 0, +∞;

2.ряд (3) cходится в единственной точке x = 0, если R = 0;

3.ряд (3) сходится для любого x R, если R = +∞.

Число или символ R называют радиусом сходимости ряда (3) . Если R (0; +∞), то интервал (−R; R) называют интервалом сходимости ряда 3. Если R = +∞, то для единообразия интервал (−∞; +∞) также называют интервалом сходимости ряда (2). Если R (0; +∞), то область сходимости степенного ряда получается присоединением к его интервалу сходимости тех крайних точек x = R, x = −R, в которых степенной ряд сходится.

Заметьте, что интервал сходимости степенного ряда входит во множество абсолютной сходимости этого ряда.

Радиус сходимости R степенного ряда определяется через коэффициенты an с помощью формулы Коши-Адамара:

1

= lim q|an|.

R

n

q

= 0, т. е. lim q

= 0, то считаем R = +∞; если же

n

|an|

|an|

lim

(Если

n

n

q|

n| = +∞

, то считаем R

= 0

).

n→∞

lim

a

q

n→∞

|an|

|

n|

=

Известно, что если существует

lim

|an+1|

= A, то существует lim n a

A. Поэтому в этом случае R = lim

|an|

.

n→∞

|an+1|

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 2.4. Найти множество сходимости степенного ряда

∞ (1 + n2 )n2 (x

−

2)n

nP

=1

B lim q|an| = lim

1 + n

n

= e

2 41

n

2= e

. Следовательно, R = e−2

и

n

2

lim n ln(1+

2 )

2

в каждой точке промежутка (2 − e− , 2 + e− ) ряд сходится абсолютно, а на множестве {x : |x − 2| > e−2} — расходится.

Исследуем поведение ряда на концах промежутка сходимости. В точке x = 2 + e−2 общий член данного ряда имеет вид :

2

!n2

e−2n = en2 ln(1+ n2 )−2n = en2(n2 −

4

+

(

1

))−2n = e−2+

(1)

un = 1 +

o

o

2n2

n2

n

при n → ∞.Поэтому un 6→0 при n → ∞ и рассматриваемый ряд в точке

x = 2+e−2 расходится. В точке x = 2 e−2 получим ряд

∞ (

1)nun, поэтому

−

=1

−

nP

в ней степенной ряд также расходится.

Таким образом, область сходимости степенного ряда совпадает с

интервалом сходимости.

C

Пример 2.5. Найти область сходимости степенного ряда ∞

2k

x

.

2 k

=1

k 3

X

B В рассматриваемом ряде коэффициенты определяются законом :

an =

0,1

если n = 2k − 1,

,

если n = 2k,

k

.

N

k23k

Поэтому

k

1

1

n

lim

an

= lim 2v

=

,

q|

n

|

√3

→

∞

u

t

т.е. R =

√

√

√

3, интервал сходимости ряда совпадает с интервалом (− 3;

3).

√

∞ 1

Если x = ± 3, то имеем ряд

=1

,

который сходится. Поэтому отрезок

k2

√

√

kX

C

[− 3;

3] является множеством сходимости изучаемого ряда.

∞ (3 − (−1)n)n n

X

Пример 2.6. x .

k=2 ln n

B Так как

42

=

3

(−1)n

= lim

1

1)n) = 4,

lim n a

lim

lim (3

(

n→∞q|

n|

n→∞

−√n ln n

√n ln n

·

−

−

то R =

1

. Поэтому интервал сходимости ряда совпадает с

−

1

;

1

! . Изучим

4

4

4

поведение ряда на концах интервала сходимости.

kX

Пусть x = 41

, тогда имеем ряд

∞

(3 − (−1)n)

n

1 Заметим, что

=2

4

·

ln n

bn :=		(3 − (−1)n)	n
		4

Если положить

1						1		2k	1		,
						2				ln (2k)
=									1
·
	ln n
											,

ln (2k + 1)

n = 2k,

n = 2k + 1, k N

d

=

0,

1

n = 2k,

, c

=

1

!2k

ln (2k), n = 2k, k

N

,

n

n

2

, n = 2k + 1, k

N

·

ln (2k + 1)

0,

n = 2k + 1,

то bn = dn + cn, n N. Поскольку cn ≥ 0, n N, то bn ≥ dn ≥ 0, n N.

∞

∞

1

∞

X

kX

P

Но ряд n=1 dn =

=1

ln (2k + 1)

расходится, поэтому ряд n=1 bn

расходится,

т.е. исследуемый ряд расходится в точке x =

1

.

4

nP

−

−

Если x =

41 , то рассматриваемый ряд совпадает с рядом

∞ (

1)nbn =

∞

∞

∞

=2

(cn

dn). Так как ряд

dn расходится, а ряд

cn сходится, то ряд

P

−

P

kP

n=1

n=1

=1

∞ (

1)nbn расходится.

=2

−Таким образом, множество сходимости исследуемого ряда совпадает

nP

с его интервалом сходимости −41 ; 41 .

C

2.3.1. Найдите область сходимости следующего степенного ряда:

1)

∞

xn

;

2)

∞

xn

;

P

n

nP ln (n + 1)

n=1

=1

3)

∞

xn

;

3

n

nP

n

=1

5)

∞

xn

;

nP n(n + 2)

=1

∞

x2n−1

7)

nP

;

2

n

n

+ 3

=1

9)

∞

n!

(x

−

1)n;

n

nP n

=1

n

3

n

11)

∞

(

2

+

)(x

−

5)n;

2

n

nP

n

=1

13)

∞

(−1)n + 5n

xn;

nP

ln (n + 1)

=1

∞

(1 + (−1)n√

15)

3)n

xn;

nP

3

n

=1

∞ sin (√

√

)xn;

17)

n + 1

n

nP

−

=1

19)

∞

(2 + (−1)n)n

xn;

nP

n

=1

nP

n

−

1)xn;

21)

(3ln n

∞

=2

∞

xn

23)

nP

;

6

√n

2

+ 1

=1

2n

25)

∞

n2

x2n

;

· 4

nP (n + 1)

2

n

=1

43

4)

∞

cos nπ12

·

xn;

nP

n

2

=1

6)

∞

(3n − 2)(x − 5)n

;

nP

(n + 1)

2

· 2

=1

8)

∞

(−1)n(x + 5)2n

;

nP

n(2

n

+ 5 )

=1

10)

∞

(

2n

+

3n

)xn;

n

nP

n

=1

2

∞

x3n

12)

nP

;

3

· n

=1

n

nP

n

−

1)xn;

14)

(3ln n

∞

=2

16)

∞

xn!

;

n!

nP

=1

18)

∞

ln (n + 1)

x2n+1;

nP

3

n

=1

20)

∞ n tg

1

xn;

nP

ln n

=2

22)

∞

3n + ln5 n

(x

−

5)n;

nP

n

3

− ln n

=1

24)

∞

ln

n

(x

−

2)n;

3

nP

n

=2

26)

∞

n!

(x

−

1)n;

nP n

n

=1

27)

∞

(x + 1)3n

;

2

n ln n

nP

3n

=2

29)

∞

(−1)n

(x

−

2)2n;

nP

n4

n

=1

31)

∞

(−1)n · n

(x

−

5)n+1;

nP

(n + 1)!

=1

33)

∞

(2n − 1)n

(x + 1)n;

nP

2

−

n

n

=1

n 1

35)

∞

n!

x2n;

2n

nP

=1

2

∞

(1 + √

cos nπ3 )n

xn;

37)

3

nP

3

=1

n

39)

∞

(n!)2

xn;

nP

(2n)!

=1

∞√

41)P e nxn;

n=1

43)	∞	7n + (−6)n								xn;
	nP						n
	=1
45)	∞			xn				;
				1			n
	nP	1+(				)
	=1				2
	∞			(x + 1)n
47)	nP										;
		2		−nn(n + 1)
	=1		n 1
51)	∞			x					;
	nP n			n+1/n
	=1

44

28)

∞

ln (n + 1)

xn+1;

nP

n

=1

30)

∞

(−1)n

x2n−1;

nP

3

−

n√n

=1

n

1

32)

∞

n − 1

(x + 3)n;

nP

3

−

1

=1

n

34)

∞

(−1)n(2n − 1)2n

(x

−

1)n;

(3n − 2)

nP

=1

2n

36)

∞

3n arctg

1

(x + 2)n;

nP

7

n

=1

38)

∞

(−1)n−1

x2n−1;

nP

2n + 1

=1

3−√

∞

n

xn;

40)

nP

√n

2

+ 1

=1

42)

∞

2ln nxn;

nP

=1

∞

xn

44)

nP

;

n

1 + 2

=1

46)

∞ n!xn;

nP

=0

50)

∞

((−1)n + 3)n

xn ;

P

nπ

n=1

ln n

52)

∞

sin 3

xn;

nP

2

=1

n

∞

n

x

)n;

4554)

∞

ln n

√n

53)

(

nxn;

nP n + 1 2

P

n

=1

n=1

(x + 2)n2

∞ √3

n

∞

n + 1

55)

P

;

56)

nP

x

.

n

n

n

n=1

=1

2.3.2. Используя разложения элементарных функций в ряд Тейлора, разложите в степенной ряд функцию f(x) по степеням x, укажите область сходимости полученного ряда:

1) f(x) = e−3x;

3) f(x) = ln 1−13x;

	1
5) f(x) =						;
			1−2x2
7) f(x) =		x			;
		2−x
9) f(x) = 2x · 3−x;
11)	f(x) = sin x cos 2x;
13)	f(x) = cos x cos 3x;
15)	f(x) =				x3		;
				1+x−2x2

2) f(x) = sin2 x;

4) f(x) = x ln (1 + x33 );

√

6) f(x) = 3 1 − 2x;

8)f(x) = e3x − 2e−x.

10)f(x) = 10x;

12)	f(x) = sin3 x;
			x
14)	f(x) =	√		;
			1−2x
16)	f(x) =	12−5x			2	;
		6−5x−x

2.3.3. Используя разложения элементарных функций в ряд Тейлора, разложите в степенной ряд по степеням (x − x0) функцию f(x), укажите область сходимости полученного ряда.

1) f(x) = ex−1, x0 = 4;	2) f(x) =	1	, x0 = −1;
		23x−2
3) f(x) = 2x · ex−1, x0 = 1;	4) f(x) = ln x, x0 = 4;

						46
5) f(x) = ln (2x + 3), x0 = −1, x0 = 4;							6) f(x) = ln (3 − 4x), x0 = −2;
7) f(x) = ln (x2 − 5x + 6), x0 = 1;							8) f(x) =	1		, x0 = 2;
								2x+3
9) f(x) =	1			, x0 = 2;			10) f(x) =		x		, x0 = −1;
	1−x								x+2
11) f(x) = x6 − 2x2 + 4, x0 = 1;							12) f(x) = sin πx4 , x0 = 2;
13) f(x) = cos2 x, x0 = π4 ;							14) f(x) = sin x, x0 = π4 ;
15) f(x) =		1 , x0 = 3;					16) f(x) = 1 + 2x3, x0 = 1;
		x							x
17) f(x) =		1			, x0	= 6.
		√
			x2−12x+40

2.3.4. Используя методы дифференцирования или интегрирования степенного ряда, разложить функцию f(x) в степенной ряд по степеням x и

указать его множество сходимости:
1) f(x) = arctg x;			2) f(x) = arcsin x;
3) f(x) = ln (x + √			4) f(x) = x arcsin x + √		;
	1 + x2	);		1 − x2

5)	f(x) = arctg x2;
	f(x) = x arctg x − ln √									;
7)								1 + x2
9) f(x) = ln (x + √									);
							16 + x2
11)		f(x) =	x ln (1+t)			dt;
			R
			0	t
13)		f(x) = arccos x;

6) f(x) = arcsin x3;

8) f(x) = arctg 21+4−2xx;

10) f(x) = arccos (1 − 2x2);

12) f(x) = (x + 1) ln (x + 1) − x;

14) f(x) = Rx sintt2 dt;

0

x

15) f(x) = R arctgt tdt.

0

2.3.5. Найти сумму ряда:

∞

x2n−1

1)

nP

;

2n − 1

=1

∞

n

1 x2n−1

3)

nP

(

−

1) −

;

2n − 1

=1

5)

∞ nxn;

=1

nP

7)

∞ n(n + 1)xn;

=1

nP

9)

∞

(2n + 1)x2n

;

nP

n!

=0

11)

∞

(−1)n lnn n

;

=1

n

2

n!

nP

13)

∞

(−1)n

;

=0

n · 3

n

nP

15)

∞

2n(n + 1)

;

nP

n!

=0

∞ (−1)nn 17) P .

n=0 (2n + 1)!

47

∞	x2n
2)		;
=1
nP	(2n!)
∞	xn
4)			;

P

n=1 n(n + 1)

6) ∞ (−1)n−1n2xn;

P

n=1
∞	x4n+1
8)		;
nP	4n + 1
=0

∞ 2n + 1 10) P ;

n=1 3n

∞

12) P 1 ;

n=1 n(2n+1)

∞n2

14)P ; n=1 n!

∞n

16)P ; n=1 3n

Список литературы

48

[1]Кудрявцев Л.Д. Математический анализ, т.1.–М.: Высшая школа, 1973. –614с.

[2]Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2.–М.: Наука, 1966. –800с.

[3]Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу, –М.: Наука, 1990. –624с.

[4]Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д. и др. Сборник задач по математическому анализу. Интегралы. Ряды. –М.: Наука, 1986. –527с.

[5]Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А., Задачи и упражнения по математическому анализу, к.2.–М.: Высшая школа, 2000. –711с.

[6]Абанин А.В., Коршикова Т.И., Спинко Л.И. Ряды. Методические указания. – Ростов-на-Дону: УПЛ РГУ, 1983. –32с.

Содержание

1 Числовые ряды и их сходимость.

4

1.1Сходимость положительных рядов. . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2Сходимость знакопеременных рядов. . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3Исследование ряда на абсолютную и условную сходимость. . 19

2 Функциональные последовательности и ряды

25

2.1Поточечная и равномерная сходимость функциональной последовательности . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2Равномерная сходимость функционального ряда . . . . . . . . 32

2.3Степенные ряды. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39