18.

fn(x) = q

x2 + n1

, x R

32

19.

fn(x) =

x2 + nx + n

, 0 ≤ x < ∞;

n + x

20.

fn(x) =

nx + 1

, 0 ≤ x < ∞;

1 + n2x2

21.

fn(x) = n arctg

x

,

0 ≤ x ≤ a < ∞;

n

22.

sin nx

R;

fn(x) =

,

x

n2 + x2

23.

fn(x) = x arctg nx,

0 ≤ x < ∞;

24.

fn(x) =

n

, 1 ≤ x ≤ e;

1 + n + ln x

25.

n2

a) |x| ≤ a, a > 0;

б) x R;

fn(x) =

,

n2 + x2

n3/4xe−√

,

, q >

26.

f x

) =

nx

x

≥ 0

0

;

n(

x

27.

a) x [0; q], q > 0;

б) x [0; +∞).

fn(x) =

,

n + x

2.2 Равномерная сходимость функционального ряда

Пусть функциональная последовательность {fn(x)} определена на мно-

жестве X. Точка x0 X называется точкой сходимости функционально-
го	ряда		∞			если числовой ряд	∞
				fn(x),			fn(x0) сходится. Совокупность
			n=1				n=1	множеством сходимости
всех точекP				сходимости данного ряда называетсяP
									∞
его. Пусть				X1		X — множество сходимости ряда			nP	fn(x). Функция
					∞				=1
				7→nP		fn(x), называется суммой ряда на множестве X1. При
S :	x		X		=1

этом говорят. что функциональный ряд поточечно сходится (сходится) к S(x) на множестве X1.

33
Если Sn(x)−n−ая частичная сумма ряда и последовательность {Sn(x)}
∞	fn(x) рав-
равномерно сходится на множестве X1, то говорят, что ряд
nP
=1
номерно сходится на X1 (или ряд равномерно сходится на X1	к S(x)) и

∞X1

пишут: P fn(x) S(x).

n=1

В терминах ”ε − N” данное определение записывается следующим образом:

∞X1

P fn(x) S(x)

n=1

(ε > 0 N = N(ε) N : n > N, x X1 = |Sn(x) − S(x)| < ε)(ε > 0 N = N(ε) N : n > N, x X1 = |rn(x))| < ε).

(Здесь rn(x) − n−ый остаток ряда).

∞

Пример 2.3. Рассмотрим ряд P xn. Он является рядом геометрической

n=1

прогрессии, поэтому сходится в каждой точке x (−1; 1). Покажем, что

на отрезке [

−

q; q], где q

(0; 1), ряд сходится равномерно. Действительно,

q

n+1

q

n+1

rn(x) =

∞

xk =

,

поэтому

|

|

n+1

1

− x ≤ 1

− q

k=P

qn+1

≤ αn =

|rn(x)| ≤

0

sup

= 0.

1

−

q

x [−q;q]

Cледовательно, lim αn = 0 и ряд равномерно сходится на отрезке [−q; q].

Пусть теперь x (−1; 1).

Докажем, что ряд сходится неравномерно на

1

этом множестве. Если xn = 1 − n,

то

1

+1

1

!n+1 .

rn(xn) =

(1 − n)n

= n 1

1

1 − (1 − n)

− n

Так как lim 1

1

!n+1 =

1

, то

rn(xn) > 1,

n > n0, а поэтому ряд

e

− n

сходится неравномерно на интервале (−1; 1).

2.2.1. Найти множество сходимости (абсолютной и условной) ряда:

1)	∞		x			,
	nP n + x
	=1
3)	∞	2n sinn x						,
	nP	n		2	+ 1
	=1
5)	∞	n		,
	nP x		n
	=1
7)	∞			1			,
	nP x + 2
	=1				n
9)	∞	(−1)n					,
	nP x		2	+ n
	=1

∞x

11)P sin ,

n=1 n2

13)

∞

(−1)n

,

nP qn

4

+ √x

=1

15)

∞ n2e−nx,

=1

nP

∞

( 1)n

17)

−

,

nP arcsin x + n

=1

19)

∞

lnn x

,

=1

n

nP

21)

∞

cos nx

,

nP qn

2

+ |x|

=1

3

23)

∞

(−1)n sin nx

,

nP

√n

=1

342)	∞	(	−	1)nen sin x,
	nP
	=1

∞ (x + 1)n 4) P ,

n=1 n2 + ln n

√

6)

∞

n

,

nP n

2

+ x

2

=1

8)

∞

(−1)n

,

nP √n + x

=1

2

10)

∞

1

,

nP n

x

2

+ 1

=1

2

∞

1

12)

nP

,

1 + x

2n

=1

∞

x2n

14)

nP

,

1 + x

2n+1

=1

16)

∞

sin nx

,

nP qn + |x|

=1

3

18)

∞

arctgn x

,

nP n

2

+ |x|

=1

∞

xn

20)

nP

,

1 + x

2n

=1

∞

sin nx

22)

nP

,

2

x

2

1 + n

=1

∞

xn

24)

nP

,

1 − x

n

=1

35

∞

x(x + n)

n

n

25)

,

26)

∞

x

,

n

2

n

P

nP

(1 + x)(1 + x

) · · · (1 + x

)

n=1

=1

27)

∞

(x + n)n

.

nP

n

=1

n+x

При исследовании функциональных рядов на равномерную сходимость чаще всего используют достаточные признаки:

1. (признак Вейерштрасса) Пусть на множестве X определён функци-

∞

ональный ряд P fn(x) и cn = sup |fn(x)|, n ≥ 1. Если числовой ряд

n=1

x X

∞

P cn сходится, то функциональный ряд равномерно сходится на мно-

n=1

жестве X. Если cn 6→0, то функциональный ряд не является равно-

мерно сходящимся на множестве X. Если же cn → 0, но числовой ряд

∞

P cn расходится, то ничего определённого о равномерной сходимости

n=1

функционального ряда на множестве X сказать нельзя.

2.(Признак Дирихле) Пусть функции an(x) и bn(x), n N, определены на множестве X и удовлетворяют условиям:

∞

(a) Последовательность {Bk(x)}kk=1 частичных сумм ряда P bn(x)

n=1

∞

равномерно ограничена на множестве X, т. е. M > 0 : | P bn(x)| ≤

n=1

M, k N, x X;

(b)функциональная последовательность {an(x)}∞n=1 равномерно сходится к нулю на X;

(c)для каждого x0 X числовая последовательность {an(x0)}∞n=1 монотонна, т. е. {an(x)} монотонна относительно n в каждой точке множества X.

∞

Тогда ряд P an(x)bn(x) сходится равномерно на множестве X.

n=1

36

3. (Признак Абеля) Пусть функции an(x) и bn(x), n N, определены на множестве X и удовлетворяют условиям:

∞

(a) ряд P bn(x) равномерно сходится на множестве X;

n=1

(b)последовательность {an(x)} равномерно ограничена на множестве X;

(c)для каждого x0 X числовая последовательность {an(x0)} монотонна.

∞

Тогда ряд P an(x)bn(x) равномерно сходится на множестве X.

n=1

Заметим, что если признак Вейерштрасса применим к абсолютно сходящимся, в частности, знакопостоянным рядам, то признак Дирихле и Абеля – к неабсолютно сходящимся рядам.

Отметим также, что если при использовании последних признаков свойство монотонности последовательности {an(x)} относительно n очевидно, ни в коем случае нельзя опускать указание на то, что это условие выполнено.

2.2.2. Применяя определение или признак Вейерштрасса, исследовать ряд на равномерную сходимость:

∞

1

∞

1

P

| |

∞

nP

R;

1)

x

2

+ n

2

,

2)

n e

n=1

x

< +

;

=1

2 n2x2 , x

∞

sin nx

sin (n + 1)x

n

3)

−

, x

R;

4)

∞

(−1)

, x

(

−

2; +

∞

);

n

2

2

P √n + x

√n + 1 + x

nP

x + 2

n=1

=1

5)

∞

(1 − x)cos2 nxn

, x

[0; 1];

6)

∞

xn

, x

[

3/2; 3/2];

P

n√n

6

+ 1

nP n · 2

n

−

n=1

5

=1

∞

x

∞

sin nx

7)

, x

[0; +

);

8)

nP

, x

R;

2

2

∞

√n

4

+ sin nx

P √n(1 − x + n

x

)

n=1

=1

9)

∞

1

,

x

R;

10)

∞ xe−n2x,

0

≤

x < + ;

(n

3

2

2

2

nP

+ x

)(1 + n

x

)

P

∞

=1

n=1

37

11)	∞		xn		xn+1		, x		[ 1; 1];
	nP n − n + 1								−
	=1

∞sin nx

13)P nln2 n + x2 , |x| < +∞;

n=1

15)

∞

x ln n

, 0

≤ x ≤ a < +∞;

n=1 ln 1 +

n2

P

17)

∞

2n sin

1

, 0 < a

≤

x < +

∞

;

nP

3 x

=1

n

√

∞sin n x

19)

, 0

x < +

;

nP n

2

≤

∞

+ arctg nx

=1

21)

∞

(−1)n

, 1 < x < +

∞

;

nP qn + ln x

2

=1

5

23)

∞ n5 sin

1

, 0

≤

x < +

∞

;

nP

n + 3 + x

=1

n

∞

1

25)

nP

, x

[0; +

∞

);

(√x + n)(√x + n + 1)

=1

∞

1

27)

nP

,x

[0; +

∞

);

(x + 2n − 1)(x + 2n + 1)

=1

12)

∞

(−1)n

, x

10;

nP

√n

5

+ e−

x

|

| ≤

=1

14)

∞

(−1)n−1

, 0

x < +

;

nP

√n

3

+ x

3

≤

∞

=1

16)

∞

x2e−nx, 0 < x < +

∞

;

nP

=1

18)

∞

cos nx

,

x

R;

nP nln n

2

+ x

2

=2

∞

x

20)

nP

, 0

≤

x < +

∞

;

2

x

3/2

1 + n

=1

∞

x3/4e−nx

nP

√n

≤

∞

22)

=1

, 0

x < +

;

24)

∞

(−1)n sin nx

, x

R

;

nP

n

2

+ sin x

=1

∞

x

26)

nP

, x

R;

2

2

)

√n(1 + n

x

=1

28)

∞

(nxe−nx

−

x(n

−

1)e−(n−1)x),

a)x

[δ; +

), δ > 0;

б)

x

(0; +

∞

).

nP

∞

=1

2.2.3. Применяя признаки Дирихле и Абеля, исследовать на равномер-

ную сходимость ряд

1)

∞

sin nx

,

0 < ε

≤

x

≤

2π

−

ε;

2)

∞

(−1)n

, x

R;

nP

n

P n + sin x

=1

n=2

3)

5)

7)

∞

P

n=1

∞

P

n=1

∞

P

n=1

				38
cos 2nx			nx
√		· 2	n+1	, 0 < ε ≤ x ≤ 2π − ε;
	n + x

sin nx
√			, 0 < ε ≤ x ≤ 2π − ε;
	ln n + x
cos nπ4			· sin	nx		, x ≥ 1;
nx + ln x				nx + 1

∞

sin nπ12

4)

nP

, x

R;

√ln n + x

2

=2

+1)

, x

∞

(−1)

n(n

6)

2

R;

nP

3

+ e

=1

2

x

∞

( 1)

n(n+1)

2

8)

nP

−

arctg nx, x

0;

ln(n + x) ·

≥

=1

∞ ( 1)n−1

1

x

!

n

∞ sin n1

·

sin nx4

π

3π

9)

−

−

, 0

x

1;

10)

;

x

;

n=1

2n − 1 ·

1 + x

≤

≤

=1

ln(n + x)

≤

≤

4

P

nP

4

∞

(

1)n

2πn

∞

sin x

sin nx

11)

nP ln

−

cos

, x

R;

12)

P

·

, x

R;

2

2

·

√ln n + x

2

n + x

2n + 1

=1

n=2

13)

∞

sin nx

·

tg

x

, 0 < ε

≤

x

≤

2π

−

ε.

n + 3

nP ln n + x

=1

Для отработки навыков исследования равномерной сходимости функ-

ционального ряда предлагаем решить следующие примеры.

2.2.4. Исследовать на равномерную сходимость:

∞

cos nx

∞

nx

1)

P

arctg nx,

x

R;

2)

, x

0;

5

2

√n

+ x

nP 1 + n

x

≥

n=1

=1

3)

∞ (

−

1)nn5 sin

1

, x

≥

0;

n

=1

3 + x

nP

5)

∞

sin n

arccos

x

, x

≥

0;

=1

n + x

nP n + x

∞ sin nπ4

x

!

n

≤

≤

7)

1 +

, 0

x

a;

=1

ln n

n

nP

4)

∞

cos 2πn3

, x

R;

nP

√n

2

+ x

2

=1

6)

∞

cos nπ3

, x R;

nP n − cos x

=1

8)

∞

(−1)n−1

, x

≥

a > 0;

nP

nx

=1