Абанин, Калиниченко. Целые функции
.pdf22. ОПОРНАЯ ФУНКЦИЯ ВЫПУКЛОГО КОМПАКТА |
91 |
|||||||||||||||
С другой стороны, из непрерывности функции |z| |
во всей комплекс- |
|||||||||||||||
ной плоскости и компактности множества G следует, что имеется такая |
||||||||||||||||
точка z0 G, ÷òî |
α |
|
z |
| = |
max z |
|
z |
. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
= sup | |
z |
G | |
| = | 0| |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
z G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Åñëè z0 = |z0|eiϕ0 , òî |
|
|
|
> |
|
|
|
= | |
0| |
|
|
|||||
|
G( |
|
0) = z G |
|
0 |
|
|
|||||||||
k |
|
ϕ |
|
sup Re ze−iϕ0 |
|
Re z |
e−iϕ0 |
|
z |
|
= α . |
|
||||
Таким образом, |
|
|
sup kG(ϕ) 6 α 6 kG(ϕ0) , |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
ϕ [0,2π] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
откуда следует, что |
sup |
kG(ϕ) достигается в точке ϕ0 и равен α. B |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
ϕ [0,2π] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лемма 22.5. Для того чтобы функция k(ϕ) была опорной функ-
цией некоторого выпуклого компакта, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:
a) k(ϕ + 2π) = k(ϕ) , ϕ R;
á) ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 : ϕ1 6 ϕ2 6 ϕ3 , ϕ2 − ϕ1 < π , ϕ3 − ϕ2 < π
|
k(ϕ1) |
cos ϕ1 |
sin ϕ1 |
|
> 0 |
||
3 |
|
3 |
|
3 |
|||
|
k(ϕ2) |
cos ϕ2 |
sin ϕ2 |
|
|||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k(ϕ ) |
cos ϕ |
|
sin ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
или (в развернутой форме)
k(ϕ1) sin(ϕ2 − ϕ3) + k(ϕ2) sin(ϕ3 − ϕ1) + k(ϕ3) sin(ϕ1 − ϕ2) 6 0 . (22.1)
C Необходимость. Пусть k(ϕ) опорная функция выпуклого компакта G C. Тогда для всех ϕ R
k |
ϕ |
π sup Re |
ze−i(ϕ+2π) |
|
= sup Re |
ze−iϕ |
= k(ϕ) , |
( |
|
+ 2 ) = z G |
|
z G |
|
|
то есть условие а) выполнено.
Чтобы доказать условие б), зафиксируем три луча {z : arg z = ϕi}
(i = 1, 2, 3) так, чтобы ϕ1 < ϕ2 < ϕ3 è ϕ2 − ϕ1 < π, ϕ3 − ϕ2 < π. Проведем опорную прямую lϕ2 компакта G в направлении ϕ2 и возьмем его опорную точку z0 = x0 + iy0 в данном направлении. Напомним, что эта точка принадлежит G и удовлетворяет равенству
x0 cos ϕ2 + y0 sin ϕ2 = k(ϕ2) . |
(22.2) |
92 |
ГЛАВА 3. ИНДИКАТОР ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ |
|
Òàê êàê z0 |
G, то по определению опорной полуплоскости z0 |
Πϕ1 è |
z0 Πϕ3 . Поэтому |
|
|
|
x0 cos ϕ1 + y0 sin ϕ1 6 k(ϕ1) , |
(22.3) |
|
x0 cos ϕ3 + y0 sin ϕ3 6 k(ϕ3) . |
(22.4) |
Умножив равенство (22.2) на |
|
cos ϕ1 |
|
sin ϕ1 |
|
= sin(ϕ1 − ϕ3) , |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos ϕ3 |
|
sin ϕ3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
неравенство (22.3) на |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= sin( |
ϕ3 |
|
ϕ2) > 0 , |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
cos ϕ2 |
|
sin ϕ2 |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
неравенство (22.4) на |
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ1) > 0, |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= sin(ϕ2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
cos ϕ3 |
|
sin ϕ3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
cos ϕ1 |
|
sin ϕ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
получим |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
и, затем, сложив результаты, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
cos ϕ2 |
|
sin ϕ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
k(ϕ1) sin(ϕ3 − ϕ2) + k(ϕ2) sin(ϕ1 − ϕ3) + k(ϕ3) sin(ϕ2 − ϕ1) > |
||||||||||||||||||||||||||||
|
· |
cos ϕ |
|
cos ϕ |
|
|
sin ϕ |
|
|
|
|
· |
sin ϕ |
|
cos ϕ |
|
sin ϕ |
|
|
|
|
|||||||
> x0 |
|
cos ϕ1 |
cos ϕ1 |
|
sin ϕ1 |
|
|
|
|
sin ϕ1 |
cos ϕ1 |
sin ϕ1 |
|
|
|
|||||||||||||
|
3 |
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|||||
|
cos ϕ2 |
cos ϕ2 |
|
sin ϕ2 |
|
+ y0 |
|
sin ϕ2 |
cos ϕ2 |
sin ϕ2 |
|
= 0. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Остается заметить, что если два |
числа |
èç òðåõ |
ϕ1 |
, |
|
|
|
, |
ϕ3, ãäå |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ2 |
|
ϕ1 6 ϕ2 6 ϕ3, совпадают, то условие б) выполнено автоматически (в
данном случае неравенство (22.1) превращается в равенство). Необходимость доказана.
Достаточность. Пусть функция k(ϕ) удовлетворяет условиям а) и
б). Докажем существование выпуклого компакта, для которого k(ϕ) ÿâ-
ляется опорной функцией. |
|
|
ϕ \ |
Пусть G := |
Πϕ , ãäå Πϕ = {z C : x cos ϕ + y sin ϕ 6 k(ϕ)}. |
[0,2π]
Множество G является замкнутым ограниченным и выпуклым, то есть
выпуклым компактом (обоснуйте этот факт). Покажем, что G |
6= |
. Ôèê- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
сируем ϕ2; не нарушая общности можно считать, что ϕ2 = |
|
. Построим |
||||||||
2 |
||||||||||
в направлении |
π |
опорную прямую lπ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
иметь уравнение2 |
|
y = k |
2 , которая в данном случае будет |
|||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
При любом |
|ϕ1| < |
π |
открытые полуплоскости |
|
|
x cos ϕ1 + |
||||
2 |
|
|
||||||||
y sin ϕ1 > k(ϕ1) пересекают l 2 |
по интервалам (bϕ1 , +∞). При этом точки |
|||||||||
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22. ОПОРНАЯ ФУНКЦИЯ ВЫПУКЛОГО КОМПАКТА |
|
|
|
93 |
|||||||||||||||||||||||||||||
(x, y) интервала (bϕ1 , +∞) удовлетворяют системе |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = k |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
k |
|
π |
sin ϕ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
k (ϕ1) |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
x > |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
cos ϕ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0< ϕ < π (bϕ1 , +∞) = (b, +∞). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|[1| 2 |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
3π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Аналогично, при любом |
|
< ϕ3 < |
полуплоскости вида |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x cos ϕ3 + y sin ϕ3 > k(ϕ3) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−∞, aϕ3 ) |
è |
||||
пересекают прямую l 2 ïî |
бесконечным интервалам |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
π <ϕ < |
3π |
(−∞, aϕ3 ) = (−∞, a) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 [3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b, или совпадает с |
|||||||||||
Покажем, что точка a лежит на прямой lπ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
левее |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
нею. Предположим противное, то есть, что a лежит правее b íà lπ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
íà lπ |
|
|
z = (x, y) такая, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 . Тогда |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2 |
найдется точка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
x cos ϕ1 + y sin ϕ1 > k(ϕ1) , ϕ1 : |ϕ1| < |
π |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x cos ϕ2 + y sin ϕ2 = k(ϕ2) , ϕ2 = |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
x cos ϕ3 + y sin ϕ3 > k(ϕ3) , ϕ3 : |
π |
|
|
|
|
|
|
|
3π |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
< ϕ3 < |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
, à ϕ3 |
|
π |
. Умножим каж- |
||||||||||||||||||
Пусть для определенности ϕ1 |
|
0, |
|
|
|
|
|
, π |
|||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||
дое из полученных соотношений, соответственно, на |
sin(ϕ |
3 |
|
ϕ |
2) |
> |
, |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin(ϕ1 − ϕ3) è sin(ϕ2 − ϕ1) > 0, затем сложим и получим (как и при доказательстве необходимости), что
k(ϕ1) sin(ϕ3 − ϕ2) + k(ϕ2) sin(ϕ1 − ϕ3) + k(ϕ3) sin(ϕ2 − ϕ1) < 0 ,
что противоречит условию (22.1).
Следовательно, отрезок [a, b], лежащий на lπ
2 , не пуст и каждая его точка принадлежит полуплоскости Πϕ, задаваемой неравенством
x cos ϕ + y sin ϕ 6 k(ϕ), при каждом ϕ [0, 2π]. Поэтому G 6= . Наконец, покажем, что k(ϕ) опорная функция множества G. В силу
построения |
G( ) = z G |
|
|
|
6 |
( |
|
) |
|
ze−iϕ |
|
||||||
k |
ϕ sup Re |
|
|
|
k |
ϕ |
|
94 |
|
|
|
ГЛАВА 3. ИНДИКАТОР ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ |
|
||||||||||
ïðè âñåõ ϕ [0, 2π]. C другой стороны, в силу доказанного на каж- |
|||||||||||||||
дой прямой |
lϕ имеется |
отрезок |
[a, b], |
принадлежащий |
G. Поэтому |
||||||||||
Re (ze−iϕ) = k(ϕ) ïðè âñåõ ϕ |
|
[0, 2π] è z |
|
[a, b]. Отсюда |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
k |
|
ϕ |
|
sup Re |
ze−iϕ |
|
|
sup Re ze−iϕ |
= k(ϕ) , |
ϕ |
|
[0, 2π] . |
|||
|
G( |
|
) = z G |
|
> z [a,b] |
|
|
|
|
|
|
||||
Окончательно имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
kG(ϕ) = k(ϕ) , ϕ [0, 2π] . |
|
|
|
Лемма доказана. B
Свойство (22.1) функции имеет специальное название, которое нам будет удобно привести в несколько более общем виде.
Определение 22.1. Пусть ρ (0, +∞). Функция h(ϕ), ϕ R, удовлетворяющая условию
h(ϕ1) sin ρ(ϕ2 − ϕ1) + h(ϕ2) sin ρ(ϕ3 − ϕ1) + h(ϕ3) sin ρ(ϕ1 − ϕ2) 6 0
π
при любых ϕ1 6 ϕ2 6 ϕ3: ϕ3 −ϕ1 < ρ , называется ρ-тригонометрически выпуклой функцией. Ïðè ýòîì 1-тригонометрически выпуклые функции называют просто тригонометрически выпуклыми.
Следствие. Опорная функция kG(ϕ) выпуклого компакта G является тригонометрически выпуклой функцией.
Лемма 22.6. Опорная функция kG(ϕ) выпуклого компакта G непрерывна на [0, 2π].
C Зафиксируем ϕ1 è ϕ2 èç [0, 2π]. Пусть z1 точка компакта G такая,
÷òî |
|
|
|
|
|
|
|
G( |
|
1) = z G |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
ϕ |
|
|
sup Re ze−iϕ1 = Re z |
e−iϕ1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Тогда |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−z G |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
− |
|
1 |
|
|
|||||||
|
G |
1 |
|
|
G |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
ze−iϕ2 |
|
1 |
e−iϕ1 |
|
e−iϕ2 |
||||||||||||||
k |
|
(ϕ |
) |
|
k |
|
(ϕ |
) = Re |
|
z e−iϕ1 |
|
sup Re |
|
|
|
Re |
z |
|
|
Re |
z |
= |
||||||||||||
Пусть A = max |
z |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |z1| · |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z G | |
| |
|
|
|
e−iϕ1 − e−iϕ2 |
|
e−iϕ1 − e−iϕ2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= Re z1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В силу произвольности |
− |
è |
|
|
6 |
|
· |
|
− |
|
|
|
|
|
|
и, следова- |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ1 |
|
ϕ2 их можно поменять местами, |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kG(ϕ1) |
|
kG(ϕ2) A e−iϕ1 |
|
e−iϕ2 . |
|
|
|
|
|
|
|
тельно, kG(ϕ2) − kG(ϕ1) 6 A · e−iϕ2 − e−iϕ1 .
23. ПРИНЦИП ФРАГМЕНА-ЛИНДЕЛЕФА |
95 |
|||||||||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|kG(ϕ1) − kG(ϕ2)| 6 A · e−iϕ1 |
− e−iϕ2 |
, ϕ1 , ϕ2 [0, 2π] . |
|
|||||||||
А поскольку |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
6 | 1 − |
2| |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
e−iϕ1 |
|
e−iϕ2 |
= 2 |
|
sin |
ϕ1 − ϕ2 |
|
ϕ |
ϕ , |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
òî |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|kG(ϕ1) − kG(ϕ2)| 6 A|ϕ1 − ϕ2| |
ïðè âñåõ ϕ1, ϕ2 [0, 2π] . |
(22.5) |
Отсюда, очевидно, следует непрерывность функции kG(ϕ) íà [0, 2π]. B
Замечание. В процессе доказательства предыдущей леммы мы доказали более сильное свойство опорной функции выпуклого компакта, чем непрерывность. Именно, условие (22.5) означает, что она удовлетво-
ряет условию Липшица с показателем 1 на [0, 2π].
Упражнение 14.
1. Найти опорные функции следующих множеств:
a) G = [1, 3]; |
|
|
|
|
|
á) G = {z C : |Re z| < π , Im z > 0}. |
T |
6 |
|
||
что неравенство |
|
|
|
||
2. Пусть Q1 |
è Q2 выпуклые компакты и Q1 |
Q2 = |
. Докажите, |
||
|
kQ1 |
T Q2 (ϕ) < min{kQ1 (ϕ) , kQ2 (ϕ)} |
|
|
|
не может выполняться для всех ϕ [0, 2π]. |
|
|
|
23. Принцип Фрагмена-Линделефа
Принцип максимума модуля состоит, как известно, в том, что модуль функции f, аналитической в некоторой области и непрерывной в
ее замыкании, принимает наибольшее значение на границе этой области. Этот важный принцип был распространен Фрагменом и Лиделефом на тот случай, когда непрерывность функции нарушается в некоторых исключительных точках границы, при том однако условии, что при приближении к этим точкам модуль функции не слишком быстро растет.
Пусть f аналитическая функция в области D C и z0 некоторая точка границы этой области. Обозначим
lim |f(z)| = lim sup |f(z)| .
z→z0 |
δ→0 Uδ(z0) |
96 |
ГЛАВА 3. ИНДИКАТОР ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ |
Если во всех точках z0 границы ∂D области D выполнено неравенство
lim |f(z)| 6 M, то будем говорить, что |f(z)| 6 M на границе области
z→z0
D.
Заметим, что для аналитических в ограниченной области D функций
принцип максимума модуля может быть сформулирован так:
• Если |f(z)| 6 M на границе области D, то |f(z)| 6 M в D.
В данном параграфе мы рассмотрим принцип Фрагмена Линделефа для функций, аналитических в неограниченных областях специального вида.
Теорема 23.1. Пусть внутри угла |
D = {z : α < arg z < β} |
, ãäå |
||
|
π |
|
|
|
β − α < |
|
и ρ (0, +∞), аналитическая функция f удовлетворяет асим- |
||
ρ |
тотической оценке
|f(z)| < e|z|ρ ,
и на сторонах угла |f(reiα)| 6 M è |f(reiβ)| 6 M. Тогда |f(z)| 6 M при всех z D.
CπНе нарушая общности можно |
|
π |
|
α = −ϕ, β = ϕ è |
|
ρ1 , |
|||
|
|
|
считать, что |
|
÷òî |
||||
ϕ < |
|
. Выберем ρ1 так, чтобы ρ < ρ1 < |
|
. Пусть wδ(z) := f(z)e−δz |
|
||||
|
|
|
|||||||
2ρ |
|
2ϕ |
|
|
|
|
|||
ãäå δ > 0 произвольно. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Внутри угла D выполняется асимптотическое неравенство |
|
|
|||||||
|
|wδ(z)| < e|z|ρ−δ|z|ρ1 cos ρ1θ 6 e|z|ρ−δ|z|ρ1 cos ρ1ϕ, |
z = |z|eiθ , |z| > Rδ . |
|
|
Òàê êàê cos ρ1ϕ > 0, òî e|z|ρ−δ|z|ρ1 cos ρ1ϕ → 0 ïðè |z| → +∞. Поэтому при |z| = R > Rδ будет выполнятся неравенство
|wδ Reiθ | 6 M , θ (−ϕ , ϕ) .
Применяя принцип максимума модуля к аналитической функции wδ внутри сектора G1 = {z C : |z| 6 R , | arg z| 6 ϕ}, заключаем, что
|wδ(z)| 6 M , z int G1.
Следовательно, для всех z |
|
D выполняется неравенство wδ(z) |
| 6 |
M |
|||||||||||
или, что то же самое, |f(z)| |
|
|
ρ1 . В силу произвольности| |
|
|||||||||||
6 M · eδ|z| |
|
|
|
δ > 0, |
|||||||||||
получаем отсюда, что |f(z)| 6 M. Теорема доказана. B |
|
|
|||||||||||||
Теорема 23.2. |
Пусть |
ρ |
(0, +∞) |
è |
σ |
[0, +∞) |
. Если внутри угла |
||||||||
|
π |
|
|
|
|
|
|||||||||
D = z : | arg z| < |
|
для любого ε > 0 выполняется асимтотическое |
|||||||||||||
2ρ |
|||||||||||||||
неравенство |
|
|
|
|
|
|f(z)| < e(σ+ε)|z|ρ |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
è ïðè ýòîì |
f re±i 2πρ |
|
6 M ïðè âñåõ r > 0 , |
|
|
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23. ПРИНЦИП ФРАГМЕНА-ЛИНДЕЛЕФА |
97 |
|||||||
òî |
f re |
iθ |
|
6 Me |
|
|
(σ+ε)zρ ограничена на по- |
||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
σrρ cos ρθ ïðè âñåõ reiθ |
D . |
|
|||
|
C Аналитическая |
функция |
w(z) := f(z)e− |
|
|
|
|||
ложительном луче {z : arg z = 0} и на границе угла D. По преды- |
дущей теореме 23.1 она ограничена некоторой константой в каждом из |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
π |
|
||
углов {z |
: |
|
0 < arg z 6 |
|
} è {z : |
− |
|
6 arg z 6 0}, а, следователь- |
|||||
|
2ρ |
2ρ |
|||||||||||
íî, è âî âñåì óãëå D. Применяя снова теорему 23.1, получим, что внут- |
|||||||||||||
ðè óãëà |
D |
справедливо неравенство |
|
|w(z)| 6 M |
или, что то же самое, |
||||||||
|
|
(σ+ε)rρ cos ρθ ïðè âñåõ |
re |
iθ |
|
|
|||||||
|f(z)| 6 Me |
|
|
|
|
D. В силу произвольности ε > 0, |
получаем отсюда утверждение теоремы. B
Из теоремы 23.1 непосредственным образом вытекает следующее утверждение.
Теорема 23.3. Если модуль целой функции f, имеющей порядок
не выше ρ (0, +∞), ограничен на сторонах некоторого угла раствора πα (0 < α < ρ1) с вершиной в начале координат постоянной M, то он
(модуль) ограничен той же постоянной и внутри угла.
Из теоремы 23.3 следует, что если из начала координат проведена система лучей, делящая плоскость на углы раствора меньше, чем πρ êàæ-
äûé (ρ > 12), то, по крайней мере, на одном из этих лучей модуль целой транцендентной функции f порядка не ниже ρ должен быть неограни-
ченным. Допуская противное, мы получили бы по теореме 23.3, что f
ограничена в каждом из углов между соседними лучами и, следователь-
но, ограничена во всей комплексной плоскости, что невозможно, если f 6= const. Для целой функции f 6= const порядка 0 < ρ < 12 или поряд- êà ρ = 12 и минимального типа заключаем на основании теоремы 23.3, что она является неограниченной на каждом луче, выходящем из начала
координат.
Для целых функций порядка ρ = 12 è òèïà σ > 0 последнее утверждение уже не имеет места. Это показывает пример функции
sin (σ√z) |
|
f(z) = √z |
, σ > 0 . |
Она является целой (если доопределить ее в нуле предельным значением
1
σ), имеет порядок ρf = 2 è òèï σf = σ > 0. При этом она стремится к
98 ГЛАВА 3. ИНДИКАТОР ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ
íóëþ ïðè z → ∞ íà ëó÷å {z : arg z = 0}, и, следовательно ограничена на нем, но не является ограниченной в C.
24. Индикатор целой функции
Пусть f H(C). Функция Mf (r) характеризует рост целой функции f во всей плоскости. Однако она не дает сведений о том, как ведет себя
функция в той или иной неограниченной области, например, в некотором угле в вершиной в начале координат.
Рассмотрим функцию f(z) = ez, |
|
z = reiϕ. Òàê êàê |ez| = er cos ϕ, òî â |
||||||||||||||||||
каждом угле |
|
π |
|
ε 0, |
π |
модуль функции |
|
удовлетво- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
ряет условию |
{|ϕ| < 2 |
− ε} |
2 |
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
er sin ε < |ez| = er cos ϕ 6 er , |
|
π |
|
|
|
3π |
|||||||||
а значит |ez| → +∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ïðè z → ∞. А в углах вида |
|
+ ε < ϕ < |
|
|
|
− ε, |
||||||||||||||
2 |
2 |
|
||||||||||||||||||
ε 0, |
π |
, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
0 6 |ez| < e−r sin ε . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Откуда следует, что |ez| → |
0 ïðè z → ∞, когда |
π |
|
|
|
|
3π |
− ε. |
||||||||||||
|
+ ε < arg z < |
|
|
|||||||||||||||||
2 |
2 |
Итак, существуют два угла, каждый раствора π (правая и левая по-
луплоскости) такие, что в углах, лежащих вместе со сторонами внутри одного из них, функция стремится к ∞, а внутри другого к нулю.
Для более детального изучения поведения целых функций вводят характеристику их роста на каждом из лучей, выходящих из начала координат, ее индикатор.
Определение 24.1. Пусть f H(C) имеет конечный (ненулевой) порядок ρ (0, +∞). Функция
|
|
|
|
|
ln |f(reiϕ)| |
|
|
|
|
h |
(ϕ) := |
|
lim |
, ϕ |
[0, 2π], |
(24.1) |
|||
f |
|
r→+∞ |
rρ |
|
|
|
называется индикатором (èëè индикатрисой) роста целой функции f.
Заметим, что индикатор указывает лишь верхнюю границу роста модуля функции по каждому лучу. Если при некотором ϕ [0, 2π] ñóùå-
ствует предел, то можно выписать асимптотическое равенство для функции ln |f(reiϕ)| ïðè r → +∞ .
Отметим также, что понятие индикатора для целой функции нулевого порядка не используется, поскольку в данном случае индикатор не дает никакой дополнительной информации о поведении функции.
Пример 13. Найти индикаторы роста следующих целых функций:
|
|
|
|
|
24. ИНДИКАТОР ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ |
|
99 |
||||||
a) f(z) = ez; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
á) f(z) = sin z . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
C a) Åñëè f(z) = ez, òî ρf = 1, |
σf = 1 (см. пример 5б)) и |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
f reiϕ = er cos ϕ , ϕ [0, 2π] , r > 0. |
|
|
||||||
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
(ϕ) = |
|
|
ln |f(reiϕ)| |
|
= lim |
r cos ϕ |
= cos ϕ ïðè âñåõ ϕ |
|
|
|||
h |
lim |
[0, 2π] . |
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||
f |
|
r→∞ |
r |
r→∞ |
r |
|
Построим график индикатрисы роста hf (ϕ) функции f(z) = ez â ïî- лярной системе координат (r, ϕ), то есть график функции r = hf (ϕ). Ïðè ýòîì, åñëè hf (ϕ) < 0, то значение |hf (ϕ)| откладывается на про-
должении луча {z : arg z = |
ϕ} |
через начало координат. Нам удобно |
|||||
будет рассматривать ϕ |
−2 |
|
, |
32 |
. Линия r = cos ϕ совпадает с окруж- |
||
|
|
π |
|
|
π |
ностью, построенной на отрезке [0, 1] полярной оси как на диаметре, и |
||||||||||||||||||||||||||||
|
π |
3π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ h− |
2 |
, |
2 i, а второй раз при |
|||||||||
обойденной дважды первый раз при |
|
|
|
π |
|
π |
|
|||||||||||||||||||||
ϕ |
|
, |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
á) Åñëè f(z) = sin z, òî ρf = 1, σf = 1 (см. пример 5в)) и |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
f(reiϕ) |
= |
|
2 |
|
eir(cos ϕ+i sin ϕ) − e−ir(cos ϕ+i sin ϕ) = |
|
|||||||||||||||
|
|
|
= 2 |
|
e−r sin ϕ+ir cos ϕ − er sin ϕ−ir cos ϕ |
, |
ϕ [0, 2π], r > 0 . |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
π). Тогда sin ϕ > 0 è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Пусть ϕ |
|
|
(0 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
À òàê êàê |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
f(reiϕ) |
= |
2 |
er sin ϕ 1 − e−2r(sin ϕ−i cos ϕ) |
|
|
, r > 0 . |
|||||||||||||||
òî lim |
|
|
|
|
e−2r(sin ϕ−i cos ϕ) |
|
(учитываем, |
÷òî ϕ |
|
|
, π ). Поэтому |
|||||||||||||||||
|
|
|
1 − e−2r sin ϕ 6 |
1 − e−2r(sin ϕ−i cos ϕ) 6 1 + e−2r sin ϕ , r |
> 0 , |
|||||||||||||||||||||||
r→+∞ |
1 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(0 ) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |f(reiϕ)| |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
h (ϕ) = |
|
lim |
= sin ϕ , ϕ |
(0, π) . |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
r + |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
ГЛАВА 3. ИНДИКАТОР ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Åñëè ϕ = 0, òî f(reiϕ) = sin r, à ïðè ϕ = π |
f(reiϕ) = sin(−r). Òàê |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| sin(± |
)| 6 1 |
|
r→+∞ |
|
| |
|
r |
|
± |
|
| |
6 |
|
|
sin |
2 |
+ |
|
= 1 |
|
Z |
|||||||||||||||
êàê |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
sin( |
|
r) |
|
|
|
|
|
π |
|
|
. |
|
|
|
|
||||||
|
r |
|
|
|
, òî |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0. Íî |
|
|
|
kπ |
|
|
, k |
, |
||||||||
а значит, |
|
|
|
|
ln |
|
sin( |
|
|
r) |
|
|
|
|
|
|
, òî åñòü |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
lim |
|
| |
|
± |
|
|
| |
= 0 |
hf |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
(0) = hf (π) = sin 0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
r→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Поскольку sin ϕ < 0 ïðè ϕ (π, 2π) è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
то, проводя те |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
что и выше, заключаем, |
÷òî |
hf (ϕ) = |
||||||||||||||||||||||
же рассуждения, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
f(reiϕ) |
= |
2 |
e−r sin ϕ |
1 |
− e2r(sin ϕ−i cos ϕ) |
, |
r > 0 , |
|
|
|
|
|
− sin ϕ , ϕ (π, 2π).
Следовательно, hf (ϕ) = | sin ϕ| , ϕ [0, 2π]. При этом, график индикатрисы функции f(z) = sin z в полярной системе координат есть линия r = | sin ϕ| это две соприкасающиеся в начале координат окружности с ценрами на мнимой оси и диаметрами, равными 1. B
Упражнение 15.
1. Найдите индикатор роста следующих целых функций:
a) |
|
az , |
|
iθ; á) |
|
zn , |
n N |
; â) |
(a−ib)zρ ; |
||
|
f(z) = e |
|
a = αe |
|
f(z) = e |
|
|
f(z) = ez |
+ z |
2 ; |
|
ã) f(z) = sh z ; |
|
ä) f(z) = ch z ; |
e) f(z) = e |
|
æ) f(z) = cos z.
2. Пусть f целая функция порядка ρ и конечного типа при этом порядке. Пусть, далее, ее индикатор роста равен hf (ϕ). Докажите, что функция F (z) = f(z) + P (z), где P (z) произвольный многочлен, имеет
тот же индикатор hf (ϕ).
3. Докажите, что для целой функции f(z) = eP (z), ãäå P (z) ìíî-
гочлен степени n, существует 2n равных углов αj (j = 0, 1, . . . , 2n − 1) раствора πn каждый с общей вершиной в начале координат таких, что в
углах, лежащих вместе со сторонами внутри αj, функция стремится к ∞, если j четное число, и к нулю, если j нечетное число.
4. Докажите, что бесконечное произведение
∞ |
|
|
|
z2 |
|
|
|
k |
|
|
|
Y |
|
− |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
F (z) = |
1 |
2 |
, 0 < λk |
+ |
, lim |
|
= σ < + |
, |
|||
k=1 |
|
λk |
|
↑ ∞ |
k→∞ λk |
|
|
есть целая функция экспоненциального типа, индикатор роста которой
hF (ϕ) = πσ| sin ϕ| , ϕ [0, 2π] .