Абанин, Калиниченко. Целые функции

18. ОЦЕНКИ СНИЗУ МОДУЛЯ ФУНКЦИИ

71

λ1 > λ2. Действительно, если бы λ1 было меньше λ2, òî êðóã Kλ2 áûë

бы уравновешенным или тяжелым по числу H

n

n

и системе точек

(ak)k=1,

а поэтому круг Kλ1 не был бы кругом максимального радиуса в B1.

Покажем, что Kλ1 ∩Kλ2

= . Предположим, что Kλ1 ∩Kλ2

6= . Тогда

найдется круг K, охватывающий Kλ1 Kλ2 , âåñ êî-

по числу H

e

n

λ1

ðà2-

торого

P не меньше суммы весов кругов K

è

Kλ

e

•b1

äèóñ

K. Заметим, что λ1 < λ < λ1 + λ2. Тогда

K

λ1

Kλ2

n

и системе точек {ak}k=1. Пусть

λ

круга

e

k .

e

e

>

, получим

e

e

•

e

P

λ

1

+ λ

2

> λ

K

b2

÷òîKè

K, а потому в B1 существует круг большего

K

H

(a )n

Изменяя центр и ради-

n

и системе точек

k=1

óñ

e

λ1

λ1.

уравновешенный круг того же веса,

радиуса, чем

, что противоречит выбору числа

Следовательно, круги

è

K

не имеют общих точек.

Kλ1

e

λ2

Åñëè âíå Kλ1

Kλ2 осталась хотя бы одна точка системы

(ak)kn=1,

то, продолжая процесс далее, получим совокупность m (6 n)

кругов

Kλj = {z C : |z − bj|

6 λj}

, уравновешенных по числу

H

n

n

è ñîîò-

ветствующему набору точек (ak)k=1 : ak / Kλ1

. . . Kλj−1 . Ïðè nýòîì

полученная совокупность кругов покрывает множество точек (ak)k=1 è

обладает свойствами: H > λ1 > . . . > λm; Kλj ∩ Kλi = , если i 6= j. Последнее означает, что каждая точка ak (k = 1, . . . n) попадает в един- ственный из кругов Kλj . Пусть nj число точек (ak)nk=1, попавших в êðóã Kλj , j = 1, . . . , m.

Построим концентрические с Kλ1 , . . . , Kλm круги 1, . . . , m вдвое больших радиусов и покажем, что система кругов ( j)mj=1 является иско-

мой. Сумма радиусов кругов j равна

m	n	H 2H			n
Xj	X				X
=1	2λj = 2 nj	n	=	n	nj = 2H .
	j=1				j=1

Фиксируем произвольную точку z0 / mj=1 j. Ниже будет установлено (см. лемму 18.2), что любой круг с центром в этой точке не может быть

ни уравновешенным, ни тяжелым по числу H	n
n	и набору точек (ak)k=1.

Будем считать, что точки ak (k = 1, . . . , n) перенумерованы в порядке удаления от точки z0, òî åñòü

0 < |a1 − z0| 6 |a2 − z0| 6 . . . 6 |an − z0| .

H	} (i = 1, . . . , n) содержитH
Каждый круг {z : |z − z0| 6 i n
	меньше, чем

i точек ak (k = 1, . . . , n). Поэтому в круге {z : |z − z0| < n } нет точек

R (λs0+1, λs0 ]; 3)

72 ГЛАВА 2. ФАКТОРИЗАЦИЯ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ

системы (ak)nk=1 и, значит, |z0 − a1| > Hn . В круге {z : |z − z0| 6 2Hn } содержится, самое большее, одна точка системы (ak)nk=1, а значит, точка a2

не принадлежит ему, то есть |z0 − a2| > 2Hn . Проводя далее аналогичные рассуждения, получим

|z0	− a1| · |z0	− a2| · . . . · |z0	− an| > n		· 2 n	· . . . · n n	= n!	n	.
				H	H	H		H	n

Согласно формуле Стирлинга n! > ne n. Поэтому вне системы кругов ( j)mj=1 имеем

|z0 − a1| · |z0 − a2| · . . . · |z0 − an| > H n . e

2. Пусть теперь λ1 = H. В этом случае круг Kλ1 содержит все точки ak (k = 1, . . . , n). Поэтому, если z0 / 1, òî |z0 − ak| > λ1 = H ïðè âñåõ

k = 1, . . . , n, и, значит,

|z0 − a1| · |z0 − a2| · . . . · |z0 − an| > Hn > H n . B e

Следствие. Каковы бы ни были число H > 0 и многочлен P (z) степени n N, существует такая система кружков, покрывающих корни многочлена P (z), с общей суммой радиусов 2H, что для всякой точки z, лежащей вне этих кружков, выполняется неравенство

|P (z)| > H n . e

Теперь докажем утверждение, использованное в доказательстве теоремы Картана.

Лемма 18.2. Если точка z0 лежит вне системы кругов ( j)mj=1, òî ëþ-

áîé êðóã KR = z		C : z		z0	6 R		не может быть ни уравновешенным,
числу			H|	− |		}	n
ни тяжелым по{
			n и набору точек (ak)k=1.

C Фиксируем произвольный круг KR. Òàê êàê λ1 > . . . > λm, òî возможны три случая: 1) R 6 λm; 2) существует s0 (1 6 s0 6 m − 1), для которого R > λ1. Рассмотрим каждый из них.

1). Пусть R 6 λm. Тогда круг KR не пересекает ни один из кругов Kλj , j = 1, . . . , m. Поэтому KR не сдержит ни одной точки ak и не является ни уравновешенным, ни тяжелым.

2). Пусть существует s0 (1 6 s0 6 m − 1) такое, что λs0 > R > λs0+1. Òàê êàê R 6 λs0 , òî êðóã KR не пересекает кругов Kλ1 , . . . , Kλs0 . Åñëè áû

18. ОЦЕНКИ СНИЗУ МОДУЛЯ ФУНКЦИИ		73
H		n
KR был уравновешенным по числу n и набору точек	(ak)k=1, òî îí áûë

бы уравновешенным и по системе точек из (ak)nk=1, которые не попали â sj=10 Kλj . Íî λs0+1 < R, и поэтому KR был бы кругом максимально-

го радиуса в Bs0+1, что противоречит выбору числа λs0+1. Êðóã KR íå может быть и тяжелым, так как сдвигом центра и увеличением радиуса его можно было бы сделать уравновешенным при сохранении веса. А

тогда он бы принадлежал классу Bs0+1, чего быть не может, поскольку

R> λs0+1.

3.Пусть R > λ1. Åñëè áû KR был уравновешенным или тяжелым кру-

гом по числу H	n	B1 был бы круг с большим
n и системе точек (ak)k=1, òî â
радиусом, чем λ1	(его радиус был бы не меньше R), что противоречит

выбору числа λ1. B

Заметим, что несколько иные доказательства теоремы Картана можно найти, например, в [3], с. 31 33 и в [2], с. 37 38.

Обычно понятие аналитичности функции определяется для области. Однако, часто говорят об аналитичности функции в замкнутой области. При этом подразумевают, что аналитичность имеет место в некоторой области, содержащей внутри себя рассматриваемую замкнутую область.

Например, аналитичность функции f в замкнутом круге {z : |z| 6 R} предполагает аналитичность ее внутри некоторого круга {z : |z| < R1},

ãäå R1 > R.

Оценку снизу модуля произвольной аналитической функции дает

Теорема 18.3 (Вл. Бернштейн). Пусть функция f аналитична в

круге {z : |z| 6 2eR} (R > 0), f(0) = 1 и η 0, 32 e . Тогда внутри круга {z : |z| 6 R}, но вне исключительных кружков с общей суммой

радиусов, не превосходящей числа 4ηR,

ln |f(z)| > −H(η) ln Mf (2eR) ,

ãäå H(η) = 2 + ln 23ηe .

C Пусть функция f в круге {z : |z| < 2R} имеет нули в точках

a1, . . . , an и только в них; при этом каждый нуль выписывается столько раз, какова его кратность. Рассмотрим функцию

ϕ(z) =

(−2R)n

n

2R(z − ak)

.

kY

·

·

(2R)2

−

a1

. . .

an

akz

=1

Она рациональна и аналитична в замкнутом круге {z : |z| 6 2R}, а в круге {z : |z| < 2R} имеет нули в тех же точках, что и функция f, причем той же кратности. Наконец, ϕ(0) = 1 и для любого θ [0, 2π]

|ϕ(2Reiθ)| = (2R)n

|a1| · . . . · |an|

ГЛАВА 2. ФАКТОРИЗАЦИЯ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ

74

(докажите это равенство). Следовательно, функция ψ(z) := f(z) , äî-

ϕ(z)

определенная в точках ak (k = 1, . . . , n), предельными значениями, аналитична в круге {z : |z| 6 2R}, не имеет нулей в открытом круге {z : |z| < 2R} è ψ(0) = 1. По теореме 18.1 для любого z из круга {z : |z| 6 R} имеем

2R

(2R)n

ln |ψ(z)| > −

ln Mψ(2R) = −2 ln Mf (2R) + 2 ln

>

2R − R

|a1| · . . . · |an|

> −2 ln Mf (2R) > −2 ln Mf (2eR) .

Оценим теперь |ϕ(z)| снизу. При |z| 6 R

n

(2R)2

− zak

6

n

4R2 + |z||ak| 6

n

4R2 + 2R2

= (6R2)n .

Y

Y

Y

k=1

k=1

k=1

По теореме Картана вне системы исключительных кружков, покрывающей точки ak (k = 1, . . . , n) с общей суммой радиусов 4ηR (здесь

H = 2ηR)

k=1 2R(z − ak) >

2 e

(2R)n =

4 e

.

Y

ηR n

ηR2

n

n

Следовательно,

в круге {z : |z| 6 R}, но вне указанной системы кружков

|ϕ(z)| > a1

(2. . .)

an

e

n

(6R2)n

> 3e

.

R n

4ηR2

1

2η

n

|

| · · |

|

Òàê êàê n число нулей f в круге {z : |z| < 2R} è f(0) = 1 6= 0, òî

n 6 nf (2R) (по определению nf (r) число отличных от нуля нулей f в круге {z : |z| 6 r}). По следствию 3 теоремы 17.1 nf (2R) 6 ln Mf (2eR).

Поэтому n 6 ln Mf (2eR), и, значит, для всех z из {z : |z| 6 R}, лежащих вне исключительных кружков,

ln |ϕ(z)| > −n ln	3e	> − ln	3e	· ln Mf (2eR) .
	2η		2η

Так как ln |ψ(z)| = ln |f(z)| − ln |ϕ(z)|, то в круге {z : |z| 6 R}, но вне системы исключительных кружков с общей суммой радиусов, не превосходящей величины 4ηR, имеем

3e

ln |f(z)| > −2 ln Mf (2eR)+ln |ϕ(z)| > −2 ln Mf (2eR)−ln 2η ·ln Mf (2eR) =

Определение19.1. Две целые функции

19. ХАРАКТЕРИСТИКИ РОСТА ПРОИЗВЕДЕНИЯ	75
= −H(η) ln Mf (2eR) ,

ãäå H(η) = 2 + ln 23ηe . B

С помощью теоремы Вл. Бернштейна доказывается следующая теорема М. Картрайт (доказательство имеется, например, в [6, стр. 17 20]).

Теорема 18.4. Пусть (an)∞n=1 последовательность отличных от ну-

ля комплексных чисел с показателем сходимости τ

= 1. Åñëè åå ïëîò-

ность = 0, то функция

f(z) = eaz n=1 1 − azn ean

∞

z

Y

= r

X|

.

+

|

1

является целой порядка ρ = 1 и типа σ

lim

a +

→ ∞

ak r

ak

6

19. Характеристики роста произведения целых функций

Пусть f и ϕ целые функции. Тогда по теореме 8.4 справедливо неравенство ρf·ϕ 6 max{ρf , ρϕ}. Уточним этот результат.

f è ϕ будем считать при-

надлежащими одной категории, если они одного порядка и обе либо нормального, либо минимального, либо максимального типа. В противном случае будем считать принадлежащей старшей категории ту из функций, которая имеет больший порядок, а в случае равных порядков ту, у которой больший тип.

Теорема 19.1. Если функции f и ϕ разных категорий, то произведение f ·ϕ имеет тот же порядок и тип, что и множитель, принадлежащий к старшей категории.

C Доказательство проведем в случае, когда f имеет порядок ρ (0, +∞) и нормальный тип σf , а ϕ порядок ρ и минимальный тип. Из определения типа целой функции следует, что для любого ε > 0 существует такое r0 = r0(ε) > 0, ÷òî

Mf (r) < exp(σf + ε)rρ ïðè âñåõ r > r0 .

(19.1)

Òàê êàê f {ρ, σf } è σf (0,		+∞), то для любого ε > 0 имеется такая
последовательность (r )∞	, 0	< r	n	↑			+ , ÷òî
n n=1							∞
Mf (rn) > exp σf −					ε		rnρ, n = 1, 2, . . . .
				2

76	ГЛАВА 2. ФАКТОРИЗАЦИЯ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ
Далее, ϕ {ρ, 0}. Поэтому для любого δ (0, 1) найдется R0 = R0(δ) > 0
такое, что
	Mϕ(r) < exp δrρ ïðè âñåõ r > R0 .
Пусть R1 := rn1 таково, что rn1 > R0. Положим R2 =							R1		. Áåç îãðà-
							−	δ
ничения общности можно считать, что ϕ(0) = 1 Â ñèëó
					1
штейна по числу η = 16				.			теоремы Берн-
			< 2e внутри круга {z : |z| 6 R2}, íî âíå
		δ	3

исключительных кружков с общей суммой радиусов, не превосходящей

4ηR2 =

δR2

, имеем

4

24e

ln |ϕ(z)| > − 2 + ln

ln Mϕ(2eR2).

(19.2)

δ

Поскольку ширина кольца {z : R1

< |z| < R2} равна δR2, а сумма

диаметров исключительных кружков не превосходит числа

δR2

, òî â

2

этом кольце найдется окружность z : z

= r1}, на которой справедливо

неравенство (19.2). Так как

R1 <{ r1 |<|

R2e =

R1

, то по принципу

1 −

δ

максимума модуля аналитической функции

e

ε

ε

ρ

Mf (r1) > Mf (R1) > exp σf −

R1ρ > exp σf −

(1 −

δ)r1

.

2

2

Поэтому, используя (19.2), имеем

e

e

M

r

max (ln

f(z)

+ ln

ϕ(z) )

>

ln

f·ϕ( e1) =

|z|=re1

|

24e|

|

|

max

ln

f(z)

2 + ln

ln M

(2eR

) =

δ

> |z|=r1 |

| −

ϕ

2

e

24e

= ln Mf (r1) − 2 + ln

ln Mϕ

(2eR2) >

δ

ε

e

ρ ρ

24e

> σf −

(1 − δ) r1 − 2 + ln

ln Mϕ(2eR2) .

2

δ

Оценим сверху

Mϕ(2eR2)

. Поскольку

R2 > R1 > R0

, òî

2eR2 > R0 è

e

Mϕ(2eR2) < exp δ(2eR2)ρ = exp δ 2eR1(1 − δ)−1 ρ < exp δ 2ere1(1 − δ)−1 ρ .

Откуда

ln Mf·ϕ(re1) > σf − 2ε (1 − δ)ρ − 2 + ln 24δe δ 2e(1 − δ)−1 ρ re1ρ .

есть целая

19. ХАРАКТЕРИСТИКИ РОСТА ПРОИЗВЕДЕНИЯ

77

Íî δ произвольное число из интервала (0, 1), поэтому его можно выбрать так, что

σf − 2ε (1 − δ)ρ − 2 + ln 24δe δ 2e(1 − δ)−1 ρ > σf − ε .

Заметим, что такой выбор δ не зависит от чисел R0, R1, R2. Èòàê, ñóùå- ствует re1 такое, что

Mf·ϕ(re1) > exp(σf − ε)re1ρ .

Теперь в последовательности (rn)∞n=1 выберем такое rn2 , ÷òî rn2 > R2.

	Проводя рассмотрения, аналогичные предыдущим, полагая								R1 = rn2 , à
	R2 =	R1	, ãäå δ		(0, 1), найдем r		(R1	, R2), а значит, r	> r	, такое,
		1 − δ
	÷òî				e2			e2	e1

Mf·ϕ(re2) > exp(σf − ε)re2ρ .

Продолжая этот процесс далее, получим последовательность (ren)∞n=1, ren ↑ +∞, для которой

ln Mf·ϕ(ren) > (σf − ε)renρ, n = 1, 2, . . . .

Отсюда, используя (19.1) и определение типа целой функции, имеем, что

f · ϕ {ρ, σf } . B

Теорема 19.2. Категория произведения целых функций не превосходит наибольшей из категорий сомножителей.

C Пусть f {ρf , σf }, ϕ {ρϕ, σϕ}. Если категории функций f è ϕ различны, то по теореме 19.1 доказываемое утверждение верно. Если же категории f è ϕ совпадают, то ρf = ρϕ = ρ. Для определенности будем считать, что функции f è ϕ имеют нормальный тип при порядке ρ

(0, +∞). Из определения типа целой функции следует, что для любого ε > 0 существует такое r0 = r0(ε) > 0, ÷òî ïðè âñåõ r > r0

Mf·ϕ 6 Mf (r)Mϕ(r) < exp(σf + σϕ + ε)rρ .

Поэтому σf·ϕ 6 σf + σϕ (0, +∞), что завершает доказательство. B

Теорема 19.3. Если частное двух целых функций ϕf

функция, то ее категория не больше старшей из категорий f и ϕ. При этом, если категории f и ϕ различны, то категория частного совпадает со старашей из категорий f и ϕ.

(ñì. [1, ñòð. 41).

тегория частного

78 ГЛАВА 2. ФАКТОРИЗАЦИЯ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ

C Пусть ψ := ϕf . Тогда f = ψ·ϕ и по теореме 19.2 категория функции f не превосходит наибольшей из категорий сомножителей ψ è ϕ. Åñëè

категория ψ больше категории функции ϕ, то по теореме 19.1 категория f равна категории ψ. Поэтому категория функции ψ не превосходит наибольшей из категорий f è ϕ, что доказывает первую часть теоремы.

Пусть теперь категории функций f è ϕ различны, например, категория f больше категории ϕ. Из теоремы 19.1 следует, что категория функции ψ совпадает с категорией f. Если же категория f меньше категории ϕ, то по теореме 19.1, примененной к произведению f = ψ · ϕ,

получим, что категория ψ совпадает с категорией ϕ. Следовательно, ка- ψ = ϕf совпадает с наибольшей из категорий функций

f è ϕ. B

Теперь докажем теорему Линделефа.

Теорема 19.4 (Линделеф). Если порядок ρ целой функции f не равен целому числу, а верхняя плотность множества ее нулей, то при = 0 функция f имеет минимальный тип, при = +∞ максимальный тип, а при (0, +∞) имеет нормальный тип.

C Так как порядок ρf целой функции f является нецелым числом, то по следствию теоремы 11.2 f имеет бесконечное множество нулей. При этом показатель сходимости τ последовательности нулей равен порядку

ρf (см. следствие из теоремы Бореля). По теореме Бореля функция f имеет представление (16.2):

f(z) = zmeP (z)π(z) ,

ãäå m кратность нуля функции f в начале координат, P многочлен степени q, причем ρf = max{q, τ} = τ. Поскольку каноническое произведение π(z), соответствующее последовательности нулей функции f,

имеет порядок, равный τ = ρf , то целые функции eP (z) è π(z) являются функциями разных категорий и категория eP (z) меньше категории π(z).

Поэтому по теореме 19.1 f имеет порядок и тип канонического произведения π(z). Привлекая теперь теорему 15.3, получаем требуемое. B

Упражнение 12. Пусть даны две функции f è ϕ èç [ρ, +∞). Пусть,

далее, z1, z2, . . . âñå íóëè f	кратностей m1, m2, . . ., соответственно,
а функция ϕ имеет в точках	z1, z2, . . . нули кратностей	не меньше
m1, m2, . . . (у нее могут быть и другие нули). Доказать, что		ϕ	[ρ, +∞)
		f

79

Глава 3. Индикатор целой функции

Первые три параграфа настоящей главы носят вспомогательный характер и посвящены необходимым для дальнейшего изложения сведениям из теории выпуклых множеств и их опорных функций. В следующем параграфе приводится подходящий для наших целей вариант принципа Фрагмена Линделефа. Наконец, начиная с пятого параграфа главы ( 24) мы переходим к исследованию вопросов, связанных с индикатором целой функции и теоремой Полиа.

20. Выпуклые множества

Определение 20.1. Множество D C называется выпуклым, åñëè

вместе с каждыми своими двумя точками z1 è z2 оно содержит и весь отрезок [z1 , z2], их соединяющий, то есть все точки вида tz1 + (1 − t)z2, ãäå t [0, 1], принадлежат D.

Пустое множество , а также одну точку считают выпуклыми мно-

жествами по определению.

Отметим некоторые простейшие свойства выпуклых множеств.

Лемма 20.1. Пусть I произвольное множество индексов i и мно-

жество Di выпукло в C для каждого i I . Тогда множество

\

D = Di

i I

также выпукло в C.

C Åñëè z1, z2 D, òî z1, z2 Di ïðè âñåõ i I. Следовательно, (tz1 + (1 − t)z2) Di äëÿ t [0, 1] ïðè âñåõ i I. Поэтому (tz1 + (1 − t)z2) содержится в D для любых t [0, 1]. B

Лемма 20.2. Если D1 è D2 выпуклые в C множества и c1, c2 вещественные числа, то множество

c1D1 + c2D2 := {z = c1z1 + c2z2 : z1 D1, z2 D2}

является выпуклым в C.

C Доказательство следует непосредственно из определения выпуклого множества. B

Определение 20.2. Говорят, что точка z C является выпуклой

комбинацией точек z1, z2, .m. . zm C, если найдутся такие неотрицатель-
	Xi
ные числа λ1, λ2, . . . λm ñ	λi = 1, ÷òî
	=1
z = λ1z1 + λ2z2 + . . . + λmzm .		(20.1)

80 ГЛАВА 3. ИНДИКАТОР ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ

Лемма 20.3. Если точки z1, z2, . . . zm принадлежат выпуклому множеству D C, то множество D содержит все их выпуклые комбинации.

C Доказательство удобно провести индукцией по числу точек.

Äëÿ m = 2 утверждение следует из определения 20.1. Пусть утверждение леммы справедливо для m = k, ãäå k N. Покажем, что точка

z = λ1z1 + λ2z2 + . . . + λkzk + λk+1zk+1

принадлежит множеству D для любых неотрицательных λi таких, что λ1 + λ2 + . . . + λk+1 = 1. Поскольку можно считать, что λi > 0, òî

1 − λk+1 = λ1 + λ2 + . . . + λk > 0 .

По предположению точка

			λ1						λk
w =					z1 + . . . +					zk
		1 − λk+1							1 − λk+1
принадлежит D, èáî
k		−				−			k
Xi							1		X
		λi		=					λi = 1 .
=1	1 λk+1					1 λk+1
									i=1

Но тогда z = (1 −λk+1)w + λk+1zk+1 принадлежит D по определению 20.1 выпуклого множества. B

Лемма 20.4. Замыкание и внутренность выпуклого множества выпуклы.

C Пусть D выпуклое в C множество. Как обычно, обозначим через int D внутренность D. Если z1, z2 int D, то существует ε > 0 такое, что

(z1 + εK1) D è (z2 + εK1) D, ãäå K1 = {z C : |z| < 1}. Пусть t [0, 1]. Тогда

t(z1 + εK1) + (1 − t)(z2 + εK1) = tz1 + (1 − t)z2 + εK1 D ,

òî åñòü (tz1 + (1 −t)z2) int D. Таким образом, мы доказали, что int D выпуклое в C множество.

Åñëè z1, z2 D, ãäå D замыкание D, то по определению замыкания

существуют последовательности точек			(z0 )∞	(z00)∞			D,
такие, что klim zk0			k k=1 è	k k=1, лежащие в
	= z1,	klim zk00 = z2. Пусть t [0, 1]. Тогда
→∞		→∞
	+ (1 − t)z2 = klim (tzk0		+ (1 − t)zk00)			,
tz1					D
		→∞