Абанин, Калиниченко. Целые функции

25. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ИНДИКАТОРА			111
Это неравенство при ρ 0,	1	заменяется более сильным
	2
0 6 hf (ϕ) 6 σ , ϕ [0, 2π] .			(25.20)

Заметим, что для целых функций порядка ρ (0, +∞) и минимального типа из (25.19) и (25.20) следует, что

hf (ϕ) = 0 , ϕ [0, 2π].

(25.21)

Теорема 25.9. Если f целая функция порядка ρ (0, +∞) и конечного типа σ, то

max hf (ϕ) = σ .

(25.22)

ϕ [0,2π]

C Действительно, допустим, что max hf (ϕ) = σ1 < σ. Тогда, поло-

ϕ [0,2π]

жив в теореме 25.7 h1 = h2 = σ1 и применив неравенство (25.6) (с учетом (25.5)), получим, что для любого ε > 0 существует такое R(ε), ÷òî ïðè

âñåõ r > R(ε)

ln

sin ρ(ϕ2

− ϕ1)

·

σ

1

f(reiϕ) <

sin ρ(ϕ2

− ϕ) + sin ρ(ϕ − ϕ1)

+ ε rρ

cos ρ

2

ϕ2+ϕ1

ϕ

ρ

2

· σ1 + ε! r

π

=

cos ρ

ϕ2−ϕ−1

,

ãäå 0 < ϕ2 − ϕ1 <

è ϕ1 6 ϕ 6 ϕ2.

ρ

Положим

ϕ1 + ϕ2

= ϕ0

è

ϕ2 − ϕ1

= δ. Тогда на отрезке

2

2

[ϕ0 − δ, ϕ0 + δ] имеем

cos ρδ−

· σ1 + ε rρ , r > R(ε) .

ln f(reiϕ) <

cos ρ (ϕ0

ϕ)

=

[ϕ1, ϕ2] =

	ßñíî, ÷òî ϕ	→	ϕ	0	ïðè δ	→	0 è lim	cos ρ(ϕ0 − ϕ)	= 1 .
								cos ρδ
							δ→0

Поэтому при δ → 0 и ε → 0 выражение в скобках в правой части последнего неравенства стремится к σ1 (равномерно относительно ϕ0 è

ϕ) и, следовательно, при достаточно малых δ = δ0		è ε = ε0 оно может
быть сделано меньше, чем σ2, ãäå σ1 < σ2 < σ.
Èòàê,		(25.23)
ln f(reiϕ) < σ2rρ ,

112

ГЛАВА 3. ИНДИКАТОР ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ

ïðè âñåõ r > R

= R

(ϕ ) è ïðè ϕ

0 −

δ

0 6

ϕ

6

ϕ

+ δ

. Заметим, что

0

0

0π

0

0

δ0 можно взять равным

, ãäå m достаточно большое натуральное

2m

число. Тогда во всех углах

kπ

6 ϕ 6

(k + 1)π

, k = 0, 1, . . . , 2m − 1 ,

m

m

неравенство (25.23) выполняется при достаточно больших r. Поэтому ln |f(reiϕ)| < σ2rρ , r > R , ϕ [0, 2π], и, значит,

				ln Mf (r)		6 σ2, ,
	σ = lim
				rρ
	r→+∞

что невозможно. Теорема доказана. B

Отметим без доказательства некоторые свойства индикатора, связанные с его дифференцируемостью.

Теорема 25.10. Пусть f целая функция порядка ρ (0, +∞) и

конечного типа. Тогда

1) индикатор hf (ϕ) имеет в каждой точке производную справа и сле-

âà;

2) в каждой точке производная индикатора слева h0−(ϕ) не превосходит его производной справа h0+(ϕ), òî åñòü

h0−(ϕ) 6 h0+(ϕ) ïðè âñåõ ϕ [0, 2π] ;

3) производная h0+(ϕ) непрерывна справа, а производная h0−(ϕ) непрерывна слева в каждой точке;

4) индикатор hf (ϕ) имеет производную всюду, кроме, быть может, счетного множества точек;

5) åñëè ϕ0 точка локального максимума или минимума функции

π

hf (ϕ), òî ïðè |ϕ − ϕ0| 6 ρ

h(ϕ) > h(ϕ0) cos ρ(ϕ − ϕ0) .

Доказательства приведенных в теореме 25.10 свойств индикатора имеются в [3].

Упражнение 16.

1. Пусть f целая функция порядка ρ (0, +∞) и конечного типа.

Докажите, что	ϕ + ρ			> 0 .
hf (ϕ) + hf
		π

hψ(ϕ)

26. ИНДИКАТОРНАЯ ДИАГРАММА

113

2. Пусть f целая функция порядка					ρ (0, +∞), для которой
hf (ϕ) = −∞ ïðè α 6 ϕ 6 β. Докажите, что
	ln |f(reiϕ)|		[α,β]	ïðè r			.
	rρ		−∞			→ ∞

3. Докажите, что для целой функции f(z) = sin z ïðè âñåõ z = reiϕ справедливы неравенства:

a) | sin z| 6 er| sin ϕ|;

{

: |

−

|

}

Z

б) вне окрестностей

z

z

kπ

< ε

(k

) нулей f при некотором

>

(ñì. [1]).

A(ε) > 0 имеет место неравенство

|

sin z

|

A(ε)er| sin ϕ|

26. Индикаторная диаграмма целой функции экспонециального типа

Целая функция называется целой функцией экспонециального типа (цфэт), если ее порядок меньше единицы, или равен единице,но тогда тип (при порядке единица) конечен.

Класс всех целых функций экспоненциального типа обозначается символом [1, +∞) .

Пусть f [1, +∞) è hf (ϕ) ее индикатор. Так как hf (ϕ) является 2π-периодической и тригонометрически выпуклой функцией, то по характеристическому свойству опорной функции выпуклого компакта заключаем, что существует выпуклый компакт If , для которого hf (ϕ) является опорной функцией. При этом If называется индикаторной диа- граммой функции f.

Отметим некоторые свойства индикаторных диаграмм.

Теорема 26.1. Если f [1, +∞) и ψ(z) = eazf(z) (a C), то индикаторная диаграмма Iψ целой функции ψ получается сдвигом индикаторной диаграммы If функции f на вектор a¯.

C Заметим, что ψ [1, +∞). Пусть a = |a|eiϕ0 , тогда

ln

f(reiϕ)eareiϕ

ln

f(reiϕ)

h

ϕ

lim

=

lim

+ a cos (ϕ + ϕ

) =

ψ(

|

|

) = r +

r

r +

r

| |

0

→ ∞

→ ∞

= hf (ϕ) + |a| cos (ϕ + ϕ0) , ϕ [0, 2π] .

Íî |a| cos (ϕ + ϕ0) есть опорная функция множества, состоящего из одной точки a¯ (см. пример 12а)). Таким образом, является опорной функцией арифметической суммы выпуклых компактов If è {a¯} (по лемме 22.1 и следствию к лемме 22.2), то есть Iψ = If + a¯. B

114	ГЛАВА 3. ИНДИКАТОР ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ

Теорема 26.2. Индикаторная диаграмма произведения целых функций экспоненциального типа содержится в арифметической сумме их индикаторных диаграмм.

C В самом деле, индикатор произведения целых функций одного по-

рядка и конечного типа при этом порядке не превосходит суммы индикаторов сомножителей. Остается применить леммы 22.1 и 22.2, чтобы

получить утверждение теоремы. B

Теорема 26.3. Индикаторная диаграмма суммы целых функций экспоненциального типа содержится в наименьшем выпуклом компакте, охватывающем индикаторные диаграммы слагаемых, то есть в выпуклой оболочке объединения индикаторных диаграмм слагаемых.

C Утверждение следует из того, что индикатор суммы целых функций одного порядка и конечного типа при этом порядке не превосходит наибольшего из индикаторов слагаемых, и из леммы 21.1. B

27. Функции, ассоциированные по Борелю с целыми функциями экспоненциального типа

Пусть f [1, +∞) имеет тип σ при порядке ρ = 1, è f(z) = X∞ ann! zn,

n=0

z C. Тогда согласно теореме о связи типа целой функции с ее тейло- r

n n

|an|

ровскими коэффициентами получаем

lim

= σe, откуда

n!

n→∞

n

n|

lim

a

= σ .

(27.1)

n→∞ p|

Отметим, что если f имеет порядок ρf < 1, òî σ = 0.

Положим

∞

an

X

F (t) =

.

(27.2)

n=0

tn+1

В силу (27.1) ряд (27.2) сходится при

|t| > σ и расходится при |t| < σ.

Поэтому его сумма F (t) аналитична в области {t : |t| > σ} и имеет по меньшей мере одну особенность на окружности {t : |t| = σ} (исключая тривиальный случай, когда f(z) ≡ 0).

Функция F называется преобразованием Бореля функции f èëè ассоциированной по Борелю ñ f.

Пример 14. Найти функцию, ассоциированную по Борелю со следующими целыми функциями экспоненциального типа:

1) f(z) = Aeaz (A, a 6= 0);

27. ФУНКЦИИ, АССОЦИИРОВАННЫЕ ПО БОРЕЛЮ

115

2)f(z) = Af1 + Bf2(z) (A, B 6= 0), ãäå f1, f2 [1, +∞);

3)f(z) = sin z;

4)f(z) = cos z.

C 1) Òàê êàê f(z) = A

∞ an

(z C), то функция F , ассоцииро-

zn

n=0

n!

X

ванная с f по Борелю, имеет вид

∞

an

F (t) = A

, |t| > |a| .

tn+1

n=0

X

Åñëè |t| > |a|, òî

∞ an

1

·

1

1

=

=

,

tn+1

t

1

a

t a

n=0

−

t

−

A

X

поэтому F (t) =

, |t| > |a|.

t − a

Заметим, что функция

A

аналитична в C\{a}, то есть является

t a

аналитическим

продолжением функции

из области

â

.

−

F

|t| > |a|

C\{a}

Ïðè ýòîì, F имеет единственную особенность z = a на окружности {t :

|t| = |a|}.	an		n è	∞	bn		n тейлоровские разложе-
∞
X				X
2) Пусть f1(z) =		z	f2(z) =			z
n=0	n!			n=0	n!

ния функций f1 è f2. Обозначим через σ1 è σ2, соответственно, их типы при порядке ρ = 1. Тогда функции, ассоциированные по Борелю с f1 è

∞	an	∞	bn
X		X

f2, имеют вид: F1(t) =			(|t| > σ1) è F2(t) =			(|t| > σ2).
		tn+1			tn+1
	n=0			n=0

Функция f(z) =	Af1(z) + Bf2(z), очевидно, принадлежит классу
[1, +∞), è åå òèï σ	при порядке ρ = 1 удовлетворяет неравенству

X	Aan + Bbn
∞			,
σ 6 max{σ1, σ2}. Далее, f(z) =	n!	zn		z C. Поэтому для
n=0

функции F , ассоциированной по Борелю с f, при всех |t| > max{σ1, σ2} имеем

∞	Aan + Bbn	= A	∞ an		+ B	∞ bn		= AF1(t) + BF2(t) .
F (t) =
	n+1			n+1			n+1
n=0	t		t				t
			n=0			n=0
X			X			X

3) Поскольку sin z = eiz − e−iz , и каждая из функций eiz è e−iz ÿâëÿ-

2i

ется целой функцией порядка ρ = 1 è òèïà σ = 1, то, используя предыдущие примеры, получаем, что функция, ассоциированная по Борелю с

116

ГЛАВА 3. ИНДИКАТОР ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ

f(z) = sin z, имеет вид

1

1

1

1

1

F (t) =

·

−

·

=

,

|t| > 1 .

2i

t − i

2i

t + i

t2 + 1

4) Аналогично для f(z) = cos z получаем, что F (t) =

t

, |t| > 1. B

t2 +

1

Упражнение 17. Найти функции, ассоциированные по Борелю со следующими целыми функциями экспоненциального типа:

1)f(z) = sh z;

2)f(z) = ch z;

Xk

3) f(z) = Ajeajz, ãäå Aj 6= 0, (j = 1, . . . , k) è aj вершины

j=1

выпуклого многоугольника.

Существует определенная связь между ростом целой функции экспоненциального типа по лучам и выпуклой оболочкой множества особенностей функции, ассоциированной с ней по Борелю.

Определение 27.1. Пусть f [1, +∞) è F ассоциированная c f по Борелю функция. Наименьший выпуклый компакт, содержащий все особенности функции F , называется сопряженной диаграммой функции

f. Будем обозначать его через Df .

Ранее было показано, что если f [1, +∞) имеет тип σ (при порядке ρ = 1), то функция F , ассоциированная с f по Борелю, аналитична при |t| > σ и на окружности |t| = σ ó F имеются особенности. Поэтому Df лежит в круге |t| 6 σ и имеет с окружностью |t| = σ, по меньшей мере, одну общую точку. Отметим также, что на каждой опорной прямой к

множеству Df находится хотя бы одна особая точка функции F .

Пример 15. Найти сопряженные диаграммы для следующих целых функций экспоненциального типа:

1) f(z) = Aeaz (A, a 6= 0); 2)f(z) = sin z.

C 1) Äëÿ f(z) = Aeaz ассоцированной по Борелю является функция

		A
F (t) =			(|t| > |a|). Следовательно, Df = {a} .
	t	a
		−		1
2) Äëÿ f(z) = sin z имеем F (t) =								(|t| > 1). Поэтому Df			=
				t2 + 1

[−i, i]. B

Рассмотрим примеры расположения особых точек функции F на границе сопрÿæенной диаграммы.

Пусть Df = [α, β]. Тогда α è β особые точки функции F . Действительно, если предположить, например, что α правильная точка функции F , то существует окрестность Uα(δ) = {z C : |z − α| < δ} (δ > 0)

27. ФУНКЦИИ, АССОЦИИРОВАННЫЕ ПО БОРЕЛЮ						117
такая, что F аналитична в Uα(δ). А, следовательно, все особые точки
	Df êàê				T
функции F лежат на отрезке [α1, β], ãäå α1 = [α, β]					{z C : |z−α| < δ},
что противоречит определению				наименьшего выпуклого замкну-
того множества, содержашего все особенности F .
				β
		α1	p
	αp
		lp

Пусть Df выпуклый многоугольник с вершинами в точках Ak (k = 1, . . . , n). Тогда Ak (k = 1, . . . , n) особые точки функции F . Если допустить, например, что A1 правильная точка функции F , òî

существует окрестность UA (δ) (δ > 0) такая, что F аналитична на мно-

T 1

жестве G = UA1 (δ) Df . Тогда F аналитична вне множества Df \G, что противоречит определению Df .

lpA1

pA@ p p 5pDf@A2

A4 A

@ 3

Определение 27.2. Точки границы выпуклого множества, не являющиеся внутренними точками прямолинейного отрезка границы, называются его крайними точками.

Справедливо следующее утверждение.

Лемма 27.1. Любая крайняя точка сопряженной диаграммы целой функции экспоненциальго типа является особой для функции, ассоции-

рованной с ней по Борелю.

Заметим, что остальные точки границы сопряженной диаграммы могут быть как особыми, так и правильными.

Лемма 27.2. Для любого выпуклого компакта Q C существует функция f [1, +∞) такая, что ее сопряженная диаграмма Df совпадает с Q, и при этом любая точка z ∂Q является особой для функции, ассоцированной с f по Борелю.

C Пусть (λn)∞n=1 какое-либо подмножество попарно различных то- чек границы ∂Q, которое всюду плотно в ∂Q. Возьмем произвольную

последовательность отличных от нуля комплексных чисел (An)∞n=1 òà-

X∞

кую, чтобы ряд

|An| сходился.

n=1

118	ГЛАВА 3. ИНДИКАТОР ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ
	∞
	X		и докажем, что ϕ A0	(C\Q).
		−
	Рассмотрим функцию ϕ(z) =	z Anλn
	n=1

Здесь и далее A0(C \ Q) пространство всех функций, аналитических вне Q и исчезающих в бесконечности (то есть, бесконечно удаленная

точка является правильной для функций из этого пространства и они обращаются в ней в нуль).

Для любого z C\Q расстояние ρ(z, ∂Q) = d > 0, а поэтому

|z − λn| > d > 0 è

z

Anλn

6 |

dn|

äëÿ âñåõ n N .

−

A

∞

∞

An

X

X

. Поэтому

z

−

λn

Òàê êàê ðÿä |An| сходится, то сходится и ряд

n=1

n=1

функция ϕ(z) определена на C \ Q. Рассмотрим произвольный компакт

потому z λn

dK > 0 è T

An

|An|

ïðè âñåõ z

K è n N.

K C \ Q, для которого K

Q = . Äëÿ íåãî ρ(K, ∂Q) = dK

> 0, à

| − | >

6

z

−

λn

dK

∞

An

Тогда по признаку Вейерштрасса

ðÿä

сходится абсолютно и

z

−

λn

X

n=1

равномерно на K. В силу произвольности K он равномерно сходится

внутри C \ Q, и, значит, ϕ является аналитической функцией на C \ Q.

(

)

ïðè z

→ ∞

. Пусть R >

2

z Q | |

. Тогда

Рассмотрим поведение ϕ z

max z

ïðè |z| > R

|z − λn| > |z| − |λn|

> R −

R

R

=

.

2

2

2

∞

X

Поэтому |ϕ(z)| 6

R

|An| ïðè |z| > R. Отсюда, очевидно, следует, что

n=1

lim |ϕ(z)| = 0. Значит, бесконечно удаленная точка является правильной

z→∞

äëÿ ϕ è ϕ(∞) = 0.

Из наших рассмотрений следует, что все особые точки функции ϕ принадлежат Q. Теперь докажем, что каждая точка ∂Q является для

нее особой.

Зафиксируем точку λn0 ∂Q и проведем через нее одну из опорных прямых l множества Q и перпендикуляр p к l, лежащий в полуплоскости,

не содержащей Q.

Поскольку точки λn (n N) попарно различны, то |z −λn0 | < |z −λn| äëÿ âñåõ z p è n N, n 6= n0. Выберем натуральное число N > n0

	∞			An	0
настолько большим, чтобы	X	|An| <	|			|	.
				2

n=N+1

27. ФУНКЦИИ, АССОЦИИРОВАННЫЕ ПО БОРЕЛЮ

119

Представим функцию ϕ â âèäå

XN An

ϕ(z) =

n=1 z − λn

и оценим второе слагаемое для

∞	z Anλn		6
X
	−
n=N+1

∞				An
n X
			z	−	λn , z C \ Q ,
+
=N+1
z p :
∞		−			|		| −	|
n X |
		|An|			<		|An0 |		.
=N+1	z			λn			2 z	λn0

Тогда при всех z p имеем

|

ϕ(z)

=

An0

+

N

An

+

∞

An

>

|

z

−

λn0

n=1 z

−

λn

z

−

λn

n=n

n=N+1

X0

X

6

N

∞

>

|An0 |

−

An

An

>

|

z

−

λn0

|

n=1 z

−

λn −

z

−

λn

n=n

n=N+1

X0

X

6

An0

An0

N

An

>

|

|

|

|

|

|

=

|z − λn0 |

− 2|z − λn0 | −

n=1 |z − λn|

=n

nX0

6

|An0 |

N

|An|

=

.

2|z − λn0 |

− n=1 |z − λn|

=n

nX0

6

Устремим z ê λn0

по перпендикуляру p . Тогда

|An0 |

N

|An|

N

|An|

+

, à

(

R

) .

2|z − λn0 |

→

∞

− n=1 |z − λn|

→ − n=1 |λn0 − λn|

=n

n=n

nX0

X0

6

6

Поэтому lim

ϕ(z)

|

= +

∞

, откуда следует, что λ

особая точ-

z→λn0 , z p |

n0

ка функции ϕ. Итак, любая точка λn (n N) является особой точкой функции ϕ. А так как множество (λ)∞n=1 всюду плотно на ∂Q, то любая точка ∂Q является особой для ϕ.

Наконец, построим целую функцию экспоненциального типа, для которой ассоцированной по Борелю является функция ϕ. Положим

X∞

f(z) = Aneλnz	(27.3)
n=1

êàê äëÿ âñåõ z Kr è

120 ГЛАВА 3. ИНДИКАТОР ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ

и покажем, что f целая функция экспоненциального типа.

Рассмотрим круг Kr = {z C : |z| 6 r}, ãäå r > 0 произвольно. Так n N

|Aneλnz| 6 |An| exp(r max |t|) = |An|er·C ,

t Q

ãäå C	:=	max t , то ряд (27.3) сходится равномерно на K							. Следователь-
		t Q	| |					r
íî, f H(C) . Далее, при всех |z| 6 r
			∞					∞
			X					X
			|f(z)| 6 |An|erC = AerC , ãäå A :=					|An| ,
			n=1					n=1
и, следовательно,
			Mf (r) 6 AerC è			ln Mf (r)		6 C .
				lim
						r
			r→+∞

Таким образом, тип функции f при порядке ρ = 1 конечен, и, значит, f целая функция экспоненциального типа. Лемма доказана. B

Упражнение 18. Найдите сопряженные диаграммы следующих целых функций экспоненциального типа:

1)f(z) = cos z;

2)f(z) = cos z · cos(iz);

3)f(z) = sh z;

4)f(z) = ch z ;

Xk

5) f(z) = Ajeajz, ãäå Aj 6= 0 (j = 1, . . . , k), aj вершины выпук-

j=1

лого многоугольника.

Получим интегральное представление целой функции экспоненциального типа через функцию, ассоциированную с ней по Борелю.

Теорема 27.1. Если f [1, +∞) и F ее ассоциированная по Борелю, то

f(z) =	1	ZC F (t)eztdt , z C ,	(27.4)
	2πi

где C произвольный контур, содержащий внутри себя cопряженную

диаграмму Df функции f .

C Заметим, что под контуром мы понимаем замкнутую спрямляемую

простую (без точек самопересечения) кривую.

Для любого z C интеграл (27.4) имеет смысл и, поскольку контур C содержит внутри себя все особенности функции F , его величина не