Абанин, Калиниченко. Целые функции

2. МАКСИМУМ МОДУЛЯ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ

11

инфимуму по всем z1 ñ |z1| = r1, получим, что |f(z2)|−Mf (r1) 6 Ar(r2−r1) ïðè âñåõ z2 ñ |z2| = r2. А тогда

Mf (r2) − Mf (r1) = sup |f(z2)| − Mf (r1) 6 Ar(r2 − r1) ,

|z2|=r2

что и требовалось установить.

B

Пример 4. Найдите максимум модуля следующих функций:

à) f(z) = eazn (a C, n N);

á) f(z) = sin z .

C a) Пусть a = |a|eiθ. Тогда для любого z = reiϕ

Re(azn) = Re(|a|rnei(θ+nϕ)) = |a|rn cos(θ + nϕ) .

Поэтому M

(r) = max eazn

= max eRe(azn) = max e|a|rn cos(θ+nϕ) = e|a|rn .

f

|z|=r

∞

|zk|=r

|z|=r

á) Òàê êàê sin z =

(−1)

z2k+1

(z

C

), òî

=0

(2k + 1)!

Xk

| sin z| 6

∞

1

r2k+1

ïðè âñåõ z = reiϕ .

=0

(2k + 1)!

Поскольку er = ∞

Xk

∞

rk

è e−r

=

(−1)krk

при любом r

[0, +

∞

), òî

k!

=0

=0

k!

Xk

Xk

|

sin z

|

6

er

− e−r

ïðè âñåõ z = reiϕ .

2

C другой стороны, если z

=

re−i

π2

=

−

ir, r

[0

,

+∞)

, то по формуле

Эйлера sin(re−i π2 ) =

e

r

− e−

r

, а значит,

2i

sin(rei π2 )

=

er − e−r

.

2

Таким образом,

Mf (r) =

er − e−r

. B

2

Упражнение 2.

1. Найдите максимум модуля следующих функций:

a) f(z) = cos z ;

á) f(z) = esin z .

2. Пусть g(r) возрастающая функция при r → +∞. Постройте такую целую функцию f(z), чтобы при всех r > 0 выполнялось неравенство

Mf (r) > g(r).

12 ГЛАВА 1. ПОРЯДОК И ТИП ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ

3. Асимптотическое поведение модуля многочлена

Изучим поведение модуля многочлена на бесконечности.

Теорема 3.1. Для многочлена P (z) = a0 + . . . + apzp степени p > 0 (ap 6= 0) справедливо асимптотическое равенство

|P (z)| = |ap||z|p + o(|z|p), z → ∞ .

C Напомним, что запись g(z) = o(f(z)) ïðè z → ∞, означает, что

zlim

g(z)

= 0. По условию ap 6= 0. Поэтому для p > 1 ïðè z → ∞ имеем

f(z)

→∞

p

a0

a1

ap−1

|P (z)| = a0 + a1z + . . . + ap−1zp−1 + apzp =

= |ap||z | ·

+

+ . . .

+ 1 =

apzp

apzp−1

apz

=

ap

z

p

=

ap

z

p

(1 + o(1)) =

p

+ o( z

p

) .

o(1) + 1

|

|

ap z

|

|

||

| · |

|

||

|

|| |

|

ßñíî, ÷òî åñëè p = 0, òî |P (z)| ≡ |a0| â C. B

Следствие 1. При выполнении условий теоремы 3.1 справедливы

следующие соотношения:

a) |P (z)| |ap||z|p, z → ∞ ;

á) MP (r) |ap|rp, r → +∞.

C Доказательство очевидно. Напомним лишь, что эквивалентность ( ) двух функций понимаем в том смысле, что их отношение стремится к 1 при стремлении аргумента к соответствующему пределу. B

Следствие 2. Пусть P (z) многочлен, удовлетворяющий условиям

теоремы 3.1. Тогда существуют положительные постоянные								m, M è r0
такие, что справедливы следующие неравенства:
a) m|zp|p 6 |P (z)| 6 M|pz|p (|z| > r0);
á) mr	6 MP (r) 6 Mr (r > r0).
C Действительно, по следствию 1 имеем, что |P (z)|								|ap||z|p ïðè
z → ∞. Тогда существует r0 > 0 такое, что при |z| > r0
				1	6	|P (z)|	6 2
èëè	2					|ap||z|p
	1
			|ap||z|p 6			|P (z)| 6 2|ap||z|p .
		2

1

Остается положить m = 2|ap| è M = 2|ap|, чтобы получить а).

3. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ МОДУЛЯ МНОГОЧЛЕНА 13

Утверждение б) является непосредственным следствием свойства а) (объясните, почему). B

Из утверждения б) предыдущего следствия непосредственным образом получаем

Следствие 3. Произвольный многочлен P (z) степени p > 1 удовлетворяет асимптотическому соотношению

ln MP (r) p ln r , r → +∞ .

Как обычно, будем обозначать через [x] целую часть действительного числа x.

Теорема 3.2. Если для целой функции f(z) при некоторых M > 0, q > 0 и r0 > 0 выполняется условие

Mf (r) 6 Mrq (r > r0) ,

(3.1)

то f(z) многочлен степени, не превышающей [q].

C Запишем неравенства Коши для тейлоровских коэффициентов fk (k = 0, 1, . . .) функции f:

|fk| 6	Mf (r)	(r > 0; k = 0, 1, . . .) .
	rk
Тогда в силу условия (3.1)
|fk| 6 Mrq−k		(r > r0; k = 0, 1, . . .) .

Зафиксировав в этом неравенстве любое k > q, ïðè r → +∞ получим, что fk = 0 ïðè k > q èëè, ÷òî îäíî è òî æå, ïðè k = [q] + 1 , [q] + 2 , . . .. B

Заметим, что при q = 0 имеем теорему Лиувилля.

Следующий результат обобщает теорему Лиувилля, известную из общего курса ТФКП.

Следствие 1 (критерий того, что целая функция является многочленом). Для того, чтобы целая функция f, отличная от тож-

дественного нуля, была многочленом степени p > 0, необходимо и до-

статочно, чтобы при некоторых положительных m, M и r0 имело место неравенство

mrp 6 Mf (r) 6 Mrp , r > r0.

(3.2)

C Необходимость установлена выше в следствии 2 из теоремы 3.1. Пусть теперь для функции f H(C) выполняется условие (3.2). То-

гда согласно теореме 3.2 f многочлен степени не выше p. Пусть s

14	ГЛАВА 1. ПОРЯДОК И ТИП ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ
степень этого многочлена. По следствию 1 из теоремы 3.1 Mf (r)						as	rs
ïðè r → +∞, ãäå as 6= 0 коэффициент f ïðè zs. Отсюда следует, | |
	÷òî ñó-
	1
ществует такое r1 (0, +∞), ÷òî |as|rs >			Mf (r) ïðè âñåõ r > r1. Тогда,
		2
	1
учитывая еще левую часть (3.2), получим |as|rs >					mrp ïðè r > r0	+ r1.
				2

Последнее возможно только при условии s > p. Cледовательно, с учетом предыдущего s = p. B

Замечание. Теорема 3.2 и следствие 1 из нее остаются справедливыми, если условия (3.1) и (3.2) заменить (на первый взгляд) более слабыми

(r )∞

0 < r

n

↑

+

∞

: M

(r

)

6

Mrq

(n = 1, 2, . . .) ;

(3.1)0

n

n=1

f

n

n

(r )∞

0 < r

+

: mrp

6

M

(r

)

6

Mrq

(n = 1, 2, . . .) . (3.2)0

n

n=1

n ↑ ∞

n

f

n

n

Такая возможность очевидным образом вытекает из метода доказательства этих результатов (проверьте).

Следствие 2. Для всякой отличной от тождественного нуля целой функции f существует (конечный или равный +∞)

			lim	ln Mf (r)	=: pf .
			r→+∞	ln r
Ïðè ýòîì:
a)	pf < +∞		f многочлен, степень которого совпадает с pf ;
á)	pf = +∞		f трансцендентная целая функция.

C 1) Åñëè f многочлен степени p, то по следствию 1 из теоремы 3.2 найдутся такие положительные m , M è r0, ÷òî

mrp 6 Mf (r) 6 Mrp , r > r0 .

Тогда

ln m	+ p 6	ln Mf (r)	6	ln M		+ p ,	r > r0 + 1 .
ln r		ln r			ln r

Отсюда следует, что

	lim	ln Mf (r)	=	p ,
		ln r
	r→+∞

òî åñòü pf = p < +∞.

2) Åñëè f трансцендентная целая функция, то

lim	ln Mf (r)		= +∞ .
	ln r
r→+∞

4. ПОРЯДОК ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ											15
			ln Mf (r)							= γ < +∞, то для некоторой после-
В самом деле, если бы			lim
						ln r
	)∞		r→+∞			n ↑		∞		выполнялись бы неравенства
довательности (r			ñ 0 < r				+
n	n=1
		ln Mf (rn)			6 γ + 1 (n = 1, 2, . . .) .
			ln rn
	γ+1		ïðè âñåõ n = 1, 2, . . ., и в соответствии с предше-
Тогда Mf (rn) 6 rn

ствующим доказываемому следствию замечанием функция f была бы многочленом степени не выше [γ] + 1, что противоречит ее трансцендентности. Остается заметить, что

	lim	ln Mf (r)		= +∞ r	lim		ln Mf (r)		= +∞	.
		ln r					ln r
					+	∞
	r→+∞				→

Таким образом, доказана достаточность утверждений а) и б).

3) Докажем их необходимость. Заметим, что если pf < +∞, то в соответствии с 2) f многочлен, а тогда в силу 1) pf степень f.

Аналогично, если pf = +∞, то согласно 1) f трансцендентная целая функция, и в силу 2) pf = +∞. B

4. Порядок целой функции

Âсвязи с последним результатом (следствие 2 из теоремы 3.2) отметим, что сравнение роста функции Mf (r) ñ ln r имеет смысл лишь для

многочленов. Для трансцендентных целых функций можно утверждать лишь то, что ln Mf (r) растет быстрее ln r, или что то же самое, Mf (r) растет быстрее любой степени rq. Поэтому при изучении роста целых

трансцендентных функций следует использовать в качестве эталонов бо-

лее быстро растущие функции. Наибольшее распространение получила шкала сравнения ln Mf (r) ñ σrρ, èëè, ÷òî îäíî è òî æå, Mf (r) ñ eσrρ .

Определение 4.1. Говорят, что целая функция f имеет конечный порядок, если существует такое µ > 0, ÷òî

ln Mf (r) 6 rµ , r > r0(µ) .

(4.1)

Иначе говоря, f имеет конечный порядок, если при некотором ко-

нечном положительном µ величина ln ln Mf (r) не превосходит степенной функции rµ для всех достаточно больших r.

В противном случае, то есть если

rn ↑ +∞ : ln Mf (rn) > rnn (n = 1, 2, . . .) ,

16 ГЛАВА 1. ПОРЯДОК И ТИП ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ

говорят, что f имеет бесконечный порядок.

Пусть Bf совокупность тех µ > 0, для которых выполняется (4.1). В соответствии с введенным определением f имеет конечный порядок

тогда и только тогда, когда Bf 6= .

Естественно ввести следующую характеристику

ρf := inf{µ : µ Bf } , åñëè Bf 6=

ρf := +∞ , åñëè Bf = .

Очевидно,

f имеет конечный порядок ρf < +∞ ; f имеет бесконечный порядок ρf = +∞ .

Определение 4.2. Величина ρf называется порядком целой функции f .

ßñíî, ÷òî åñëè µ Bf è µ0 > µ, òî µ0 Bf . Поэтому в случае, когда Bf 6= , то есть когда f имеет конечный порядок, Bf промежуток неотрицательной полуоси вида [ρf , +∞) èëè (ρf , +∞).

Из определения 4.2 следует, что асимптотическое поведение ln Mf (r)

на бесконечности в определенном смысле близко к поведению функции rρf . Именно, справедливы следующие утверждения:

ρf = 0 ε > 0 rε > 0 : ln Mf (r) 6 rε , r > rε ;

			∞	1) ε > 0	rε > 0 : ln Mf (r) 6 r	ρf +ε	ε, r > rε
0 < ρ		< +				ρ
	f			2) ε > 0	rn ↑ +∞ : ln Mf (rn) > rnf −		, n N ;

ρf = +∞ rn ↑ +∞ : ln Mf (rn) > rnn (n = 1, 2, . . .) .

Отсюда, используя понятие верхнего предела функции, получаем следующее утверждение.

Теорема 4.1. Порядок целой функции, отличной от тождественной постоянной, находится по формуле

			ln ln Mf (r)	.
ρf = lim
r→+∞			ln r
Замечание. Всюду на окружности {z : |z| = r} выполняется					íåðà-
					0 èç
венство |f(z)| 6 Mf (r). Кроме того, в соответствии со свойством					3

§ 2 на этой окружности имеется точка zr, в которой |f(zr)| = Mf (r). Поэтому во всех использованных выше утверждениях можно заменить r íà |z|, à rn íà |zn|. Например,

0 < ρf < +	∞		10) ε > 0	rε > 0 : ln |f(z)| 6 |z|ρf +ε , |z| > rε
			20) ε > 0	zn → ∞ : ln |f(zn)| > |zn|ρf −ε , n N .

5. ТИП ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА

17

5. Тип целой функции конечного порядка

Пусть целая функция f имеет порядок ρf . Величина ρf характеризу- åò ðîñò ln Mf (r) посредством его сравнения с rρf ±ε (ε > 0). Более точную

информацию можно получить, расширив шкалу роста с помощью функ- öèé âèäà σrρ. По аналогии с понятиями функции конечного порядка и

порядка введем следующие определения.

Определение 5.1. Будем говорить, что целая функция f порядка ρf (0, +∞) имеет конечный тип при этом порядке, если

a > 0 r0 > 0 : ln Mf (r) 6 arρf , r > r0 .

(5.1)

В противном случае будем говорить, что f имеет бесконечный тип при порядке ρf .

Пусть Df совокупность тех a > 0, для которых имеет место (5.1). Ясно, что

Df 6= f имеет конечный тип .

Положим

σf := inf{a : a Df }, åñëè Df 6= ;

σf := +∞ , åñëè Df = .

Определение 5.2. Величина σf называется типом функции f (при порядке ρf ). Ïðè ýòîì, åñëè σf = 0 (0 < σf < +∞ èëè σf = +∞), òî f называют функцией минимального (соответственно нормального èëè

максимального) типа при порядке ρf .

Заметим, что если σf < +∞ , òî åñòü åñëè f имеет конечный тип, òî Df промежуток неотрицательной части вещественной оси вида

[σf , +∞) èëè (σf , +∞).

Из определения 5.2 следуют такие утверждения:

σf = 0 ε > 0 rε > 0 : ln Mf (r) 6 εrρf , r > rε ;
0 < σf < +	∞		1)	ε > 0 rε > 0 : ln Mf (r) 6 (σf + ε)rρf ρ,f	r > rε
			2)	ε > 0 rn ↑ ∞ : ln Mf (rn) > (σf − ε)rn	, n N ;

σf = +∞ rn ↑ ∞ : ln Mf (rn) > nrnρf (n = 1, 2, . . .)

Отсюда, используя понятие верхнего предела, получаем следующий результат.

Теорема 5.1. Тип целой функции f порядка ρf (0, +∞) находится по формуле

				ln Mf (r)	.
	σf = lim
	r→+∞			rρf

18ГЛАВА 1. ПОРЯДОК И ТИП ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ

Âряде вопросов удобно рассматривать тип произвольной целой функции f при формальном порядке ρ (0, +∞). Именно, если ρ > 0 любое

фиксированное число (ρ не обязательно совпадает с ρf ), то величина

				ln Mf (r)
	σf [ρ] = lim
				rρ
	r→+∞

называется типом f при порядке ρ.

Упражнение 3. Докажите справедливость следующих импликаций:

a) ρf < ρ σf [ρ] = 0;	ã) σf [ρ] = 0 ρf 6 ρ;
á) ρf > ρ σf [ρ] = +∞ ; ä) σf [ρ] = +∞ ρf > ρ ;
â) ρf = ρ σf [ρ] = σf ;	e) 0 < σf [ρ] < +∞ ρf = ρ è σf = σf [ρ].

Рассмотрим примеры вычисления порядка и типа целых функций. Пример 5. Найдите порядок и тип следующих целых функций:

p					p
a) P (z) = akzk ;	á) f(z) = eP (z), ãäå P (z) = akzk , p > 1 , ap 6= 0 ;
k=0			z ;		k=0
X		e		ä)		sin z.
â) f(z) = sin z ;	ã) f(z) = e				f(z) = e
							p
C a) Докажем, что произвольный многочлен P (z) =							akzk ÿâëÿ-
							=0
							Xk

ется целой функцией нулевого порядка. Отметим сразу, что справедливость этого утверждения очевидна для P (z) ≡ 0.

Åñëè P (z) отличен от тождественного нуля, то по следствию 2 из теоремы 3.1

M > 0 r0 > 0 : MP (r) 6 Mrp , r > r0 ,

ãäå p степень многочлена P (z). Тогда для любого ε > 0 существует такое r1(ε) > 0, ÷òî

ln MP (r) 6 ln M + p ln r 6 rε , r > r1(ε) .

Следовательно, ρP = 0.			eP (z)		= eRe P (z), òî
á) Òàê êàê	|	f z		|		ln M	f (	r	) =	max Re P (z). Èñ-
		( )| = |								z	=r
пользовав теорему 3.1, получим										| |
		ln Mf (r) 6 |ap|rp + o(rp) , r → +∞ .									(5.2)

C другой стороны,

Re P (z) = Re(a0 + a1z + . . . + ap−1zp−1) + Re(apzp) > Re(apzp) − |P1(z)| ,

5. ТИП ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА

19

ãäå P1(z) = a0 + a1z + . . . + ap−1zp−1 .

Äëÿ zr := reiα, ãäå α := − arg(ap/p), имеем, что Re(apzp) = |ap|rp. Ïî

теореме 3.1	|	P (z )		|	= a	p−1|	rp−1 + o(rp−1) = o(rp−1) , r	→	+	∞	. Поэтому
		1 p	r		p|
Re P (zr) > |ap|r			+ o(r ) ïðè r → +∞. Отсюда
			ln Mf (r) > |ap|rp + o(rp) , r → +∞ .								(5.3)

Учитывая (5.2) и (5.3), окончательно заключаем, что

ln Mf (r) = |ap|rp + o(rp) , r → +∞ .

Последенее соотношение означает, что σf [p] = |ap| (0, +∞). Следова-

	тельно, ρf = p è σf = |ap|.						r		r
	â) Åñëè f(z) = sin z, òî Mf (r) =						e − e−			(см. пример 4 б)). Следова-
							2
	тельно,
	ρf =				ln ln Mf (r)					= 1
		lim
	r→∞						ln r
	è					ln Mf (r)
	σf =
			lim						= 1 .
							r
		r→∞

г) В этом случае f(r) = eer при любом r > 0. Поэтому ln ln Mf (r) > r

ln ln Mf (r)

= +

∞

, òî

(на самом деле ln ln Mf (r) = r). А тогда ρf =

lim

есть целая функция f(z) = eez имеет

бесконечный порядок.ln r

r

д) При любом r > 0 имеем, применив формулу Эйлера,

2

−

2i

2

sin

π

ir

=

ei( π2 −ir) − e−i( π2

−ir)

=

er

+ e−r

.

Поэтому при всех r > 0

π

π

er + e−r

er

Òàê êàê

esin( 2

−ir) = exp

2

> exp

2

.

2

− ir 6 2r ïðè âñåõ r > 1, òî

ln ln Mf

(r)

ln ln Mf (2r)

r

−

ln 2

lim

=

lim

> r

lim

= +

∞

.

r

ln r

ln 2r

ln r + ln 2

→

+

∞

r +

→

+

∞

→ ∞

Следовательно, f имеет бесконечный порядок, то есть ρf + ∞ . B

Упражнение

4. Найдите порядок и тип следующих функций:

a) f(z) = cos az ;

á) f(z) = ez ;

â) f(z) = ecos z ;

ã) f(z) = sh z ;

ä) f(z) = ch z ;

å) f(z) = ez sin z ;

æ) f(z) = ez cos z .

20ГЛАВА 1. ПОРЯДОК И ТИП ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ

6. Максимальный член целой функции

Xp

Выше было показано, что рост многочлена P (z) = akzk, ap 6= 0 ,

k=0

определяется наибольшим по росту членом его тейлоровского разложе- íèÿ apzp. В случае трансцендентной целой функции, когда ненулевых

членов тейлоровского разложения бесконечно много, выбор одного наибольшего по росту члена невозможен. В связи с этим, полезным оказалось понятие максимального члена степенного ряда.

p

X

Определение 6.1. Пусть степенной ряд

anzn имеет радиус схо-

димости R , 0 < R 6 +∞. Тогда функция

n=0

µ(r) = sup |an|rn ,

n>0

ãäå 0 6 r < R, называется его максимальным членом.

Так как радиус сходимости степенного ряда равен

R, òî, êàê èç-

n

∞

X

вестно, числовой ряд

anrn сходится при любом r [0, R). Поэто-

nlim |an|r = 0 ,

n=0

ìó

ïðè âñåõ r [0, R). Cледовательно, величина

→∞

µ(r) не только конечна, но и существует такой номер

N = n(r), ÷òî

µ

r

) = |

a

N |

rN . Таким образом, всегда µ

r

) =

max

a

rn .

(

(

n>0 |

n|

X∞

Åñëè f(z) = fnzn целая функция, то максимальный член ее ря-

n=0

да Тейлора обозначается через µf (r) и называется максимальным членом функции f.

Отметим, что функция µf (r) определена и не убывает на промежутке [0, +∞) (докажите).

Установим связь между ростом максимума модуля и максимального члена целой функции.

Теорема 6.1. Для любой целой функции f

µf (r) 6 Mf (r) , r > 0 .

C Из неравенств Коши для тейлоровских коэффициентов имеем

|fn| 6	Mf (r)	, r > 0 , n > 0 .
	rn
Поэтому |fn|rn 6 Mf (r), r > 0		, n > 0, и, значит, µf (r) 6 Mf (r) ïðè

âñåõ r > 0. Наконец, µf (0) = |f0| = Mf (0). B