Абанин, Калиниченко. Целые функции
.pdf27. ФУНКЦИИ, АССОЦИИРОВАННЫЕ ПО БОРЕЛЮ |
121 |
зависит от того, по какому контуру, охватывающему Df , ведется инте- грирование. Поэтому в качестве C выберем окружность {t : |t| = R}, ãäå
R > σ, à σ тип (при порядке ρ = 1) функции f.
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
an |
( |
|
|
|
|
|
|
∞ |
an |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
X |
|
zn |
|
z C), òî ðÿä |
X |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Åñëè f(z) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
n! |
|
n=0 |
tn+1 сходится на окружно- |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ñòè {t : |t| = R} равномерно. Поэтому для всех z C |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1 |
Z |
|
|
|
1 |
|
|
Z |
∞ anezt |
|
∞ |
1 |
Z |
ezt |
||||||||||
|
|
|
|
F (t)ezt dt = |
|
|
|
|
|
dt = n=0 an |
|
|
dt . |
|||||||||||
2πi |
2πi |
n=0 |
tn+1 |
2πi |
tn+1 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|t|=R |
X |
|
|
|
X |
|
|t|=R |
|
|
||
Òàê êàê ïðè âñåõ z C è n N {0} |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
! |
Z |
|
|
dt = ezt |
(n) t=0 |
= znezt t=0 = zn , |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2πi |
|
tn+1 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
t =R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
ezt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
| | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
an |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
òî |
2πi |
ZC F (t)eztdt = n=0 |
n! |
zn = f(z) äëÿ âñåõ z C . B |
|
|
Следствие. Если f [1, +∞) и hf (ϕ) индикатор f (при порядке ρ = 1), то для всех ϕ [0, 2π]
hf (ϕ) 6 k |
|
f (−ϕ) . |
(27.5) |
D |
C Рассмотрим интегральное представление функции f, взяв в каче- стве контура интегрирования Cδ границу компакта Df + Kδ, ãäå δ > 0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ |
|
|
C : |
| |
|
| |
|
iϕ)}имеем согласно (27.4) |
|
|
|
||||||||||||||||||||
произвольно и Kδ = |
|
|
|
t |
|
|
t |
|
6 |
δ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
В каждой точке z C (z = re |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
· |
|
|
|
|
· |
|
| |
|
| |
|||||||||||||||||||||||
| |
|
| 6 |
2π |
|
|
δ |
· |
t Cδ |
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
δ |
|
t Cδ |
|
|
t Cδ |
|
|||||||||||||||||
|
f(z) |
|
1 |
l(C ) |
|
|
max |
|
eztF (t) |
|
|
|
1 |
|
l(C |
) |
|
max |
|
ezt |
|
max |
F (t) |
= |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
( |
|
|
|
t Cδ |
|
|
|
|
iϕ |
|
· |
t Cδ | |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
δ) · |
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
l C |
|
|
|
max |
|
eRe(re |
|
|
·t) |
|
max F (t) |
|
= |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
δ |
|
· |
t Cδ |
| |
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
t Cδ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
= |
|
|
1 |
l(C ) |
|
max |
F (t) |
|
exp |
r max Re (teiϕ) |
, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ãäå l(Cδ) длина контура Cδ.
Функция Re(teiϕ) является гармонической в C по переменной t при фиксированном ϕ [0, 2π]. Поэтому, применив принцип максимума гармонической функции и лемму 22.1, имеем
max Re(teiϕ) = |
max Re(teiϕ) = k |
|
|
|
|
(− |
ϕ |
) = |
k |
|
|
( |
− |
ϕ) + δ . |
||||
Df +kδ |
Df |
|||||||||||||||||
t |
Cδ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
t (Df +Kδ) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
122 |
|
|
ГЛАВА 3. ИНДИКАТОР ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ |
|||||||||||||||
Итак, для любого δ > 0 ïðè âñåõ z = reiϕ C |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|f(z)| 6 B(δ)exp r k |
|
|
f (−ϕ) + δ , |
|||||||||||
|
|
|
|
D |
||||||||||||||
ãäå B(δ) = |
1 |
l |
C |
|
max |
F (t) |
. Отсюда заключаем, что для любого δ > 0 |
|||||||||||
2π |
|
|||||||||||||||||
|
( |
|
δ) · t |
Cδ | |
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |f(reiϕ)| |
|
6 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
h |
(ϕ) = |
lim |
k |
|
|
( ϕ) + δ |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
f |
|
r→+∞ |
r |
|
Df |
− |
ïðè âñåõ ϕ [0, 2π] , а, значит,
hf (ϕ) 6 kDf (−ϕ) , ϕ [0, 2π] . B
28. Интеграл Лапласа и условия его существования
Z +∞
В курсе ТФКП рассматривался несобственный интеграл f(x)dx
0
от комплекснозначной функции f, непрерывной на положительной действительной полуоси Ox. Напомним, что этот несобственный интегралZ Rназывается сходящимся, если существует конечный предел
lim |
f(x)dx. Величиной сходяшего несобственного интеграла назы- |
|
R→+∞ |
0 |
|
вается значение этого предела, то есть |
Z Rf(x)dx . |
|
|
Z +∞ f(x)dx = lim |
0R→+∞ 0
Заметим, что |
+ |
|
f(x) = u(x) + iv(x) |
|
x [0, +∞) |
|
|
||||||
ный интеграл |
åñëè |
f(x)dx |
+ |
|
|
( |
+ |
|
|
), то несобствен- |
|||
Z0 |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
мости последних, |
|
|
|
сходится тогда и только тогда, когда сходятся |
|||||||||
|
|
|
Z0 |
∞ |
|
Z0 |
∞ |
|
|
||||
несобственные интегралы |
|
u(x)dx è |
|
|
|
v(x)dx, и, в случае сходи- |
|||||||
|
Z0 +∞ f(x)dx = Z0 +∞ u(x)dx + iZ0 +∞ v(x)dx . |
|
|||||||||||
Определение 28.1. Пусть функция f непрерывна на луче |
|
||||||||||||
|
lϕ0 = {z = reiϕ0 |
: r [0, +∞)} , |
ϕ0 [0, 2π] . |
(28.1) |
|||||||||
Символ |
|
|
Z |
|
|
|
Z ∞· eiϕ0 |
|
|
|
|||
|
|
|
f(z)dz |
èëè |
f(z)dz . |
|
(28.2) |
lϕ0 |
0 |
124 ГЛАВА 3. ИНДИКАТОР ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ
называется интегралом Лапласа от функции f ïî ëó÷ó lϕ0 .
Лемма 28.2. Пусть функция f непрерывна на луче lϕ0 (ϕ0 [0, 2π]) и существуют числа B > 0 и a R такие, что для всех z lϕ0 справед- ливо неравенство
|f(z)| 6 Bea|z| . |
(28.4) |
Тогда в полуплоскости
Πaϕ+0 δ = {t C : Re(teiϕ0 ) > a + δ} ,
где δ > 0 произвольно, интеграл Лапласа (28.3) сходится, представляет собой аналитическую функцию и имеет оценку
|
|
|
ezt |
|
|
B |
|
|
|
|
|
Оценим функцию |
|
|
|
a+δ |
), когда |
|
|||
|
|
в полуплоскости |
|
|||||||
|
|
Fϕ0 |
(t) |
6 |
δ . |
|
(28.5) |
|||
C |
|
|f(z)e− | |
|
|
|
|
Πϕ0 (δ > 0 |
|
z |
принадлежит lϕ0 , òî åñòü z = reiϕ0 , r [0, +∞). Согласно (28.4) имеем
f(z)e−zt = |f(z)|e− Re(zt) 6 Bea|z| · e−|z| Re(teiϕ0 ) 6
6 Bear−(a+δ)r = Be−δr ,
òî åñòü |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
ϕ0 |
|
|
Πϕ0 |
δr(28 |
1 |
||||
À òàê êàê äëÿ |
любого |
δ > 0 имеется такое r0 |
= r0 |
(δ) > 0, ÷òî e− |
< r2 |
|||||||
|
f |
z e−zt |
|
|
Be−δr |
ïðè âñåõ z l |
|
è t |
a+δ . |
|
.6) |
ïðè âñåõ r > r0, то по лемме 28.1 несобственный интеграл (28.3) сходится
для любых t Πϕa+0 |
δ. |
|
|
|
|
ϕ0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ0 |
. Òàê êàê |
|
||||||||
|
Оценимiϕ0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
величину модуля |
|
F |
|
(t) в полуплоскости Πa+δ |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
Z0 |
|
e |
|
|
|
|
e |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iϕ |
|
|
||
|
|
∞· |
|
f(z)e−ztdz = |
z = reiϕ0 = Z0 |
|
∞ f(reiϕ0 )eiϕ0 e−rte |
|
0 dr , |
|
||||||||||||||||
то с учетом (28.6) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Z |
∞· eiϕ0 |
|
|
Z |
+∞ |
|
|
|
B |
|
|
+∞ |
|
B |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Be−δrdr = − |
δ e−δr |
|
|
= δ , |
t Πϕa+0 δ , |
|
||||||||||
|
|
0 |
|
|
f(z)e−ztdz 6 0 |
|
|
0 |
|
|||||||||||||||||
то есть выполнена оценка (28.5). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Покажем теперь, что функция Fϕ0 (t) аналитична в поплоскости Πϕa+0 |
δ. |
||||||||||||||||||||||||
Íà ëó÷å l |
ϕ0 |
выделим |
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
( |
a |
n)n∞=0 так, чтобы |
|
|||||||||||
|
|
|
последовательноть точек |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 = |a0| < |a1| < . . . < |an| < . . . , |an| → +∞ .
|
|
|
|
|
28. ИНТЕГРАЛ ЛАПЛАСА |
|
|
|
|
125 |
||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞· eiϕ0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Fϕ0 (t) = Z0 |
f(z)e−ztdz + Zan |
|
f(z)e−ztdz , n N . |
|
||||||||||||||||||||||
e |
|
|
|
|
∞· eiϕ0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Положим In(t) = Zan |
|
f(z)e−ztdz |
(n N) и покажем, что функци- |
|||||||||||||||||||||||
ональная последовательность |
|
I |
(t) |
|
∞ |
равномерно сходится к нулю на |
||||||||||||||||||||
полуплоскости |
|
a+δ |
|
|
{ |
n |
|
|
}1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|||||
âñåõ t Πϕa+0 |
δ |
Πϕ0 |
. Действительно, согласно (28.6) при любом n N |
|
||||||||||||||||||||||
|In(t)| = |
|
+∞ |
|
|
|
|
iϕ |
0 eiϕ0 dr |
6 |
+∞ |
|
|
|
|
|
B |
|
|||||||||
|
an |
|
f(reiϕ0 )e−tre |
|
an |
|
Be−δrdr = |
|
e−δ|an| . |
|
||||||||||||||||
|
| |
|
| |
δ |
|
|||||||||||||||||||||
|
Z| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
|
|
ε > 0 |
|
N = N(ε) |
N |
: |
n > |
N |
è |
|
t |
|
Πa+δ |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ0 |
|
|In(t)| 6 Bδ e−δ|an| < ε ,
откуда следует, что In(t) 0 на полуплоскости Πaϕ+0 δ, èëè, ÷òî îäíî è òî же, что функциональная последовательность
Fn(t) := Z0 an f(z)e−ztdz , n N , |
|
|||
равномерно сходитсяeк функции Fϕ0 (t) на полуплоскости Πϕa+0 |
δ. |
|||
скими в полуплоскости |
a+δ |
e Fn(t) (n N), являются аналитиче- |
||
Докажем теперь, что функции |
e |
|
||
дующего утверждения (которое |
|
|
Πϕ0 . Доказательство проведем с помощью слевытекает из теорем Монтеля и Витали,
ñì. [5] , ò.1, ñ. 368-372).
Утверждение*. Пусть (ϕn(z))∞n=1 последовательность функций, аналитических в области G, равномерно ограниченная внутри G, то есть
для любого компакта K G имеется такое M > 0, что |ϕn(z)| 6 M ïðè âñåõ z K è n N. Åñëè (ϕn(z))∞n=1 сходится на некотором множестве D G, имеющем хотя бы одну предельную точку, принадлежащую G,
òî (ϕn(z))∞n=1 сходится равномерно внутри G.
По условию функция f(z) непрерывна на луче lϕ0 . Поэтому функция
f(z)e−zt непрерывна на отрезке [ 0, |an|eiϕ0 ] ëó÷à lϕ0 для любого t Πaϕ+0 δ. По определению криволинейного интеграла от непрерывной функции
по спрямляемой кривой для любого фиксированного n N функция
e
Fn(t) является пределом интегральных сумм, составленных по функции
29. ТЕОРЕМА ПОЛИА |
127 |
является аналитической в полуплоскости
Πhϕf0(ϕ0) := {t C : Re (teiϕ0 ) > hf (ϕ0)} .
C Фиксируем ε > 0. По определению индикатора целой функции существует такое r0 = r0(ε) > 0, ÷òî ïðè âñåõ r > r0
f(reiϕ0 ) < e(hf (ϕ0)+ε)r . |
|
Поскольку функция f непрерывна |
íà ëó÷å lϕ0 , а, следовательно, на от- |
резке [0, r0eiϕ0 ], лежащем на луче lϕ0 , то существует такое D > 1, ÷òî
Поэтому |
|
|
|
|
|
r [0, r0] . |
|
|
|
|
|
|
f(reiϕ0 ) 6 D , |
|
|
||
f(reiϕ0 ) 6 D 1 + e−r0(hf (ϕ0)+ε) er(hf (ϕ0)+ε) , r [0, +∞) . |
||||||||
Применяя |
к функции |
|
Fϕ0 (t) следствие из леммы 28.2, получаем, что |
|||||
функция |
Fϕ0 (t) |
|
|
e |
|
Πϕ0 |
. B |
|
|
|
e |
является аналитической в полуплоскости |
|
|
|||
|
|
|
|
|
29. Интегральное представление функции, ассоциированной по Борелю. Теорема Полиа
Теорема 29.1. Пусть f {1, σf } è hf (ϕ) индикатор f. Тогда функ- öèÿ Fϕ0 (t) (ϕ0 [0, 2π]) является аналитическим продолжением функ-
öèè F |
t), ассоцированной по Борелю с f, из области |
t |
| |
> σ |
|
в полуплос- |
||||||||
костьe( |
hf (ϕ0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
f |
|
|
Πϕ0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
ak |
|
|
n ak |
|
|
|
|
|
||||
|
f(z) = |
|
|
zk = |
|
|
zk + Rn(z) (z C; n N {0}) , |
|||||||
|
k! |
=0 |
k! |
|||||||||||
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xk |
|
|
|
|
|
Xk |
|
|
|
|
|
||
|
∞ |
|
ak |
|
k. Так как любой многочлен можно рассматри- |
|||||||||
ãäå Rn(z) := |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X
k=n+1
вать как целую функцию нулевого типа при порядке ρ = 1, то согласно лемме 28.2 интегралы Лапласа
Z0 |
zke−tzdz (k N {0}) è |
Z0 |
k=0 |
k! zke−tzdz (n N {0}) |
|
∞· eiϕ0 |
|
∞· eiϕ0 |
n |
ak |
|
|
|
|
X |
|
|
128 |
ГЛАВА 3. ИНДИКАТОР ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ |
|
сходятся в полуплоскости Πδ |
δ > 0 и являются в ней ана- |
|
|
ϕ0 |
при каждом |
литическими функциями. Более того, учитывая произвольность δ > 0,
получаем, что эти функции аналитичны в полуплоскости Π0ϕ0 . Функция Rn(z) имеет тот же рост, что и f(z), поэтому Rn {1, σf }
при любом |
n N {0} |
. По лемме 28.2 интеграл Лапласа от этой функ- |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
σf +δ |
|
|
|
|||||||||
ции сходится в полуплоскости Πϕ0 |
при любом δ > 0, а, значит, в по- |
|||||||||||||||||
луплоскости Πϕσf0 . Поэтому он (интеграл) является в Πϕσf0 аналитической |
||||||||||||||||||
функцией. Поэтому для любого t Πϕσf0 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∞· eiϕ0 |
n |
ak |
|
|
|
∞· eiϕ0 |
|||||||
Fϕ0 (t) = Z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
zke−ztdz + Z0 |
Rn(z)e−ztdz = |
||||||||
|
|
|
|
|
|
k=0 |
k! |
|||||||||||
e |
ak |
∞· e |
iϕ0 |
|
|
X |
|
iϕ0 |
|
|||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞· e |
|
Rn(z)e−ztdz , n N {0} . |
||||||
= k=0 |
k! |
Z0 |
|
|
|
zke−ztdz + Z0 |
|
|
||||||||||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оценим интеграл Z0 |
∞· eiϕ0 |
Rn(z)e−ztdz в полуплоскости Πϕ3σ0f , считая, что |
||||||||||||||||
|
|
|
∞ ak |
|
|
( |
|
N {0}), сходится абсолютно в каждой точке |
||||||||||
σf > 0. Ðÿä |
|
|
|
zk |
|
|
n |
|||||||||||
|
|
k! |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
=n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
z C. Поэтому в каждой точке z C |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
ak |
z C . |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Rn(z) 6 kX |
|k!||z|k , |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=n+1
Используя неравенство Коши для тейлоровских коэффициентов функции f
|
|
|
|ak |
| |
Mf (r) |
, r > 0 , |
|
k |
|
0 |
|
|
, |
|
|
||||
|
|
k! |
6 |
rk |
|
|
|
} |
− |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
N { |
|
|
|||||||||
получаем, что при всех z C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
R (z) |
∞ |
Mf (2|z|) |
z k = |
∞ |
1 |
M (2 z ) = |
1 |
|
M (2 z ) , n |
0 . |
|||||||||
kX |
|
X |
|
|
|||||||||||||||
| n |
| |
| |
·| | |
|
|
2k |
f | | |
2n · f | | |
N { } |
||||||||||
| 6 |
(2 z )k |
|
|
k=n+1 |
|||||||||||||||
|
=n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Далее, по определению типа целой функции для любого ε > 0 существует такое D = D(ε) > 0, ÷òî
Возьмем ε |
0, 2 |
Mf (r) 6 De(σf +ε)r , r > 0 . |
σf . Тогда при некотором D > 0 è âñåõ z C |
||
|
1 |
|
Mf (2|z|) 6 De2(σf +ε)|z| ,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29. ТЕОРЕМА ПОЛИА |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
129 |
||||||||||||||||||||||||||||
и, следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|Rn(z)| 6 D |
|
|
|
e2(σf +ε)|z| , |
|
|
z C , n N {0} . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Отсюда для всех t Πϕ3σ0f = {t C : Re teiϕ0 |
> 3σf } è z lϕ0 имеем |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Rn(z)e−zt 6 2n · e2(σf +ε)|z| · e−3σf |z| |
|
|
= 2n e−(σf −2ε)|z| , |
|
n N {0} . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда |
|
|
|
Z |
∞· eiϕ0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rn(z)e−ztdz |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e−(σf −2ε)rdr = |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
2n |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
n |
N |
|
|
0 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2n · σf − 2ε |
|
|
|
|
|
} |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞· eiϕ0 |
|
|
|
|
|
Поэтому функциональная последовательность |
|
|
Z |
Rn(z)e− dz |
|
n=0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
zt |
∞ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
сходится |
равномерно |
|
ê íóëþ |
|
â |
|
полуплоскости |
|
|
|
Πϕ3σ0f , |
и, значит, |
ðÿä |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
k=0 |
k! Z0 |
∞· eiϕ0 |
zke−ztdz сходится равномерно к Fϕ0 (t) в полуплоскости |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∞ |
ak |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
X3σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
||
Πϕ0f . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Вычислим несобственные интегралы Z0 |
∞· eiϕ0 |
zke−ztdz (k N {0}). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Åñëè k = 0, òî |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Z0 |
∞· eiϕ0 |
e−ztdz = z = reiϕ0 |
= eiϕ0 |
Z0 |
+∞ e−rteiϕ0 dr = |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eiϕ0 |
|
|
|
iϕ |
|
|
|
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Åñëè k , то, интегрируя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
по частям |
k раз, получаем |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
N |
|
|
|
|
= |
−teiϕ0 e−tre |
|
|
0 0 |
|
|
|
= t |
, |
t |
6= 0 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Z0 |
∞· eiϕ0 |
zke−ztdz = z = reiϕ0 |
|
= ei(k+1)ϕ0 |
Z0 |
+∞ rke−rteiϕ0 dr = |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iϕ |
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
0 dr! = |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rke−rte |
0 |
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
iϕ |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
= ei(k+1)ϕ0 |
− |
|
|
teiϕ0 |
|
|
0 |
|
|
+ |
teiϕ0 |
|
|
0 |
|
|
rk−1e−rte |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|