oin

14.7. z = x2 + 9 y2 ,

z = 3.

14.8.

x2

+ y2 - z2 =1, z = 0, z = 3.

4

14.9.

x2

+

y2

-

z2

= -1,

z =16.

9

16

64

14.10.

x2

+

y2

+

z2

=1,

z = 2, z = 0.

16

9

16

x2

+

y2

=1,

z = y

z = 0 ( y ³ 0).

14.11.

3,

3

4

14.12. z = 2x2 + 8 y2 , z = 4.

14.13.

x2

+

y2

- z2 =1, z = 0,

z = 2.

81

25

14.14.

x2

+

y2

-

z2

= -1, z =12.

4

9

36

14.15.

x2

+

y2

+

z2

=1,

z = 3, z = 0.

16

9

36

x2

+

y2

=1,

z = y

z = 0 ( y ³ 0).

19.16.

3,

3

16

14.17. z = x2 + 5 y2 ,

z = 5.

14.18.

x2

+

y2

- z2 =1, z = 0,

z = 4.

9

4

14.19.

x2

+

y2

-

z2

= -1, z = 20.

9

25

100

14.20.

x2

+

y2

+

z2

=1,

z = 4, z = 0.

16

9

64

14.21.

x2

+

y2

=1,

z =

y

, z = 0 ( y ³ 0).

3

27

25

14.22. z = 4x2 + 9 y2 , z = 6.

61

14.23. x2 +

y2

- z2 =1,

z = 0, z = 3.

4

14.24.

x2

+

y2

-

z2

= -1, z = 20.

25

9

100

14.25.

x2

+

y2

+

z2

=1,

z = 5, z = 0.

16

9

100

14.26.

x2

+ y2 =1, z =

y

, z = 0 ( y ³ 0).

3

27

14.27. z = 2x2 +18 y2 ,

z = 6.

14.28.

x2

+

y2

- z2 =1,

z = 0, z = 2.

259

14.29.x2 + y2 - z2 = -1, z =16. 16 9 64

14.30.

x2

+

y2

+

z2

=1,

z = 6,

z = 0.

16

9

144

Задача 15. Вычислить объёмы тел, образованных вращением

фигур, ограниченных

графиками функций. В вариантах 1–16 ось

вращения Ox , в вариантах 17–30 ось вращения Oy .

15.1. y = -x2 + 5x - 6,

y = 0.

15.2. 2x - x2 - y = 0,

2x2 - 4x + y = 0.

15.3. y = 3sin x,

y = sin x,

0 £ x £ π .

15.4. y = 5cos x,

y = cos x,

x = 0, x ³ 0.

15.5. y = sin2 x,

x = π 2,

y = 0.

15.6. x = 3

x =1,

y =1.

y - 2,

15.7. y = x ex ,

y = 0,

x =1.

15.8. y = 2x - x2 , y = -x + 2,

x = 0.

62

15.9. y = 2x − x2 ,

y = −x + 2.

15.10. y = e1− x ,

y = 0,

x = 0,

x = 1.

15.11. y = x2 ,

y2 − x = 0.

15.12. x2 + ( y − 2)2 = 1.

15.13. y = 1 − x2 ,

x = 0,

x =

x = 1.

y − 2,

15.14. y = x2 ,

y = 1,

x = 2.

15.15. y = arccos( x 3),

y = arccos x,

y = 0.

15.16. y = sin (π x 2),

y = x2 .

15.17. y = x3 ,

y =

x.

15.18. y = arcsin ( x 5),

y = arcsin x,

y = π 2.

15.19. y = x2 ,

x = 2,

y = 0.

15.20. y = x2 + 1,

y = x,

x = 0,

y = 0.

15.21. y =

y = 0,

y = 1,

x = 0,5.

x −1,

15.22. y = ln x,

x = 2,

y = 0.

15.23. y = ( x −1)2 ,

y = 1.

15.24. y2 = x − 2,

y = 0,

y = x3 ,

y = 1.

15.25. y = x3 ,

y = x2 .

15.26. y = arccos( x 5),

y = arccos( x 3), y = 0.

15.27. y = arcsin x,

y = arccos x,

y = 0.

15.28. y = x2 − 2x + 1,

x = 2,

y = 0.

15.29. y = x3 ,

y = x.

15.30. y = arccos x,

y = arcsin x,

x = 0.

63

Задача 16

Варианты 1–10 Вычислить силу, с которой вода давит на плотину, сечение

которой имеет форму равнобочной трапеции (рис. 30). Плотность воды ρ = 1000 кг/м3, ускорение свободного падения g положить равным 10

м/с2. У к а з а н и е. Давление на глубине x равно ρ gx .

h

			a
			Рис. 30
16.1. a = 4,5 м,	b = 6,6 м,	h = 3,0 м.
16.2. a = 4,8 м,	b = 7,2 м,	h = 3,0 м.
16.3. a = 5,1 м,	b = 7,8 м,	h = 3,0 м.
16.4. a = 5, 4 м,	b = 8, 4 м,	h = 3,0 м.
16.5. a = 5,7 м,	b = 9,0 м,	h = 4,0 м.
16.6. a = 6,0 м,	b = 9,6 м,	h = 4,0 м.
16.7. a = 6,3 м,	b = 10,2 м,	h = 4,0 м.
16.8. a = 6,6 м,	b = 10,8 м,	h = 4,0 м.
16.9. a = 6,9 м,	b = 11, 4 м,	h = 5,0 м.
16.10. a = 7,2 м,	b = 12,0 м, h = 5,0 м.

Варианты 11–20 Определить работу (в джоулях), совершаемую при подъёме

спутника с поверхности Земли на высоту H км. Масса спутника равна m т, радиус Земли Rз = 6380 км. Ускорение свободного падения g у

поверхности Земли положить равным 10 м/с2.

64

16.11. m = 7,0 т,	H = 200 км.	16.12. m = 7,0 т,	H = 250 км.
16.13. m = 6,0 т,	H = 300 км.	16.14. m = 6,0 т,	H = 350 км.
16.15. m = 5,0 т,	H = 400 км.	16.16. m = 5,0 т,	H = 450 км.
16.17. m = 4,0 т,	H = 500 км.	16.18. m = 4,0 т,	H = 550 км.
16.19. m = 3,0 т,	H = 600 км.	16.20. m = 3,0 т,	H = 650 км.

Варианты 21–30 Цилиндр наполнен газом под атмосферным давлением (103,3

кПа). Считая газ идеальным, определить работу (в джоулях) при изотермическом сжатии газа поршнем, переместившимся внутрь цилиндра на h м (рис. 31). У к а з а н и е. Уравнение состояния газа pV = const , где p – давление, V – объём.

h

	2R
				H
				Рис. 31
16.21. H = 0, 4 м,	h = 0,35 м, R = 0,1 м.
16.22. H = 0, 4 м,	h = 0,3 м,			R = 0,1 м.
16.23. H = 0, 4 м,	h = 0,2 м,			R = 0,1 м.
16.24. H = 0,8 м,	h = 0,7 м,			R = 0,2 м.
16.25. H = 0,8 м,	h = 0,6 м,			R = 0,2 м.
16.26. H = 0,8 м,	h = 0, 4 м,			R = 0,2 м.
16.27. H = 1,6 м,	h = 1,4 м,			R = 0,3 м.
16.28. H = 1,6 м,	h = 1,2 м,			R = 0,3 м.
16.29. H = 1,6 м,	h = 0,8 м,			R = 0,3 м.
16.30. H = 2,0 м,	h = 1,5 м,			R = 0, 4 м.

65

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1 «Таблица неопределённых интегралов»

1)

∫uα du =

uα +1

+ c ,α ¹ -1;

10)

∫

du

= −ctgu + c

α + 1

sin2 u

∫du = u + c ; ∫

du

= 2

+ c

u

u

2)

∫

du

= ln

u

+ c

11)

∫

du

= ln

tg

u

+ c

u

sin u

2

u

au

du

u

π

3)

∫a

du =

+ c

12)

∫

= ln

tg

+

4

+ c

ln a

cosu

2

4)

∫eu du = eu + c

13)

∫

du

= arcsin

u

+ c

a2 − u2

a

5)

∫sin udu = − cosu + c

14) ∫

d (u )

= ln

u +

u

2

± a

2

+ c

u2 ± a2

6)

∫cosudu = sin u + c

15)

du

1

u

∫ a 2 + u 2

= a arctg a

+ c

7)

∫tgudu = − ln

cosu

+ c

16)

∫

du

=

1

ln

a + u

+ c ;

a2 − u2

2a

a − u

∫

du

1

u − a

=

ln

+ c

u2 − a2

2a

u + a

8)

∫ctgudu = ln

sin u

+ c

∫

du =

u

+

17)

a2 − u2

a2 − u2

2

+

a2

arcsin

u

a

2

∫

du

= tgu + c

∫

u

9)

18)

u 2

± a

2 du =

u

2 ± a 2

±

cos

2

2

u

±

a2

ln

u +

u2 ± a2

2

66

Приложение 2 «Преобразования дифференциала»

1)	du = d (u + a) , a - число										7)			du			= d (tgu )
												cos2 u
2)	du =			1		d (au ) , a ¹ 0					8)		1				= −d (ctgx)
												sin2 x
				a
3)	udu =				1		d	(	u2	)	9) sin 2xdx = d (sin2 x)
	2
4)	cosudu = d (sin u )										10)		sin 2xdx = −d (cos2 x)
5)	sin udu = −d (cosu )										11)				dx			= d (arctgx) = −d (arcctgx)
														1 + x2
6)		1	du = d (ln u )								12)				dx					= d (arcsin x) = −d (arccos x)
		u												1 − x2

67

Приложение 3 «Несобственные интегралы»

y

y=f(x)

+∞

β

∫ f (x)dx = βlim→+∞ ∫ f (x)dx

a

a

a

b → ∞ x

y

		y=f(x)	b		b
			∫	f (x)dx = lim	∫ f (x)dx
			−∞	ε →−∞	ε
a→ ∞		b	x

y

			b	b
y=f(x)			∫ f (x)dx = lim	∫ f (x)dx
			ε →0	a+ε
			a
a ε	b		x

y

		y=f(x)	b	b−ε
			∫ f (x)dx = lim	∫ f (x)dx
			ε →0	a
			a
		ε b
a			x

y

b

с

b

∫ f (x)dx =∫ f (x)dx +∫ f (x)dx

a

a

с

a

c

b

x

68

Приложение 4 «Вычисление площадей плоских фигур»

b

1.a) S = ∫ y(x) dx

a
x = x(t)	t2
	′
1.b)	, S = ∫ y(t) x (t) dt
y = y(t)	t
	1

b

2. S = ∫[ y2 (x) − y1 (x)] dx

a

d

3. S = ∫ x( y) dy

c

d

4. S = ∫[x2 ( y) − x1 ( y)] dy

c

β

5. S = 1 ∫ ρ 2 (ϕ ) dϕ 2 α

β

6. S = 1 ∫ρ22 (ϕ) − ρ12 (ϕ) dϕ 2 α

69

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. − М.: Изд-во «Высшая школа», 1966.− 460 с.

2.Кузнецов Л. А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчёты). − Спб.: Издательство «Лань», 2005. − 246 с.

3.Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 1курс. − М.: Рольф, 2001. −

576 с.

4.Подольский В.А., Суходский А.М., Мироненко Е.С. Сборник задач по математике: учеб. пособие. − 2- е изд., перераб. и доп. − М.:

Высш.шк., 1999. − 495 с.

5.Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: В 3-х ч. / А.П. Рябушко, В.В.Бархатов, В.В. Держовец, И.Е. Юруть / под

ред. А.П. Рябушко. – Минск: Высш. шк, Ч. 2. − 1991. − 352 с.

70